分數

更新 2026年10月13日

分數之所以讓人覺得難，幾乎都是因為一個想法被跳過了：下面那個數不是量，是單位。在 $\frac{3}{5}$3/5 裡，5 說的是你在數的塊有多大 —— 五分之一 —— 而 3 說的是你有幾塊。

中文本來就是這樣唸的：「五分之三」，先報單位，再說個數。這個順序，就是分數的真面目。只有用同一個單位量出來的東西才能相加 —— 通分的整個故事就是這一句。

分數到底在說什麼

把一樣東西切成大小相等的塊。下面那個數（分母）說的是整體被切成幾塊。上面那個數（分子）說的是你手裡拿著其中幾塊。

$\frac{3}{4}$3/4 的意思是：切成 4 等份，拿走其中 3 份。

分母越大，塊越小

8 比 3 大，可是 $\frac{1}{8}$1/8 比 $\frac{1}{3}$1/3 小。蛋糕切成八塊，每一塊比切成三塊時更小。

相等的分數

相等的分數是指表示同一個量的分數，把上下同乘或同除以一個數就能造出一個。拿 $\frac{3}{4}$3/4 來說，兩邊都乘 2，得到 $\frac{6}{8}$6/8，一條帶子的八分之六正好和四分之三蓋住的一樣多。每個四分之一都被切成了 2 個八分之一，所以份數變成兩倍，每份是原來的一半大。這就是量不變的原因：上下同乘 2，就是乘以等於 1 的 $\frac{2}{2}$2/2。如果只改其中一個數，或者用加法代替乘法，就會出錯。把 $\frac{1}{2}$1/2 的上下都加 1 會得到 $\frac{2}{3}$2/3，這比一半還大，所以兩者不相等。要檢驗兩個分數，就交叉相乘：$\frac{3}{4}$3/4 和 $\frac{6}{8}$6/8 的話，3 × 8 = 24，4 × 6 = 24，乘積相等，分數就相等。

完整的講解，附圖和練習：兩個分數怎樣才算相等？。

約分

要約分一個分數，把上下同除以一個數，一直除到沒有比1大的數能同時整除兩者為止。$\frac{12}{30}$12/30 的話，12 = 2 × 6，30 = 5 × 6，兩者都能被6整除，所以 $\frac{12}{30}$12/30 約分成 $\frac{2}{5}$2/5。上下同除以6，就是除以等於1的$\frac{6}{6}$6/6，所以量不變，只是每份變大了。最快的辦法是一次除以最大公因數。如果看不出最大公因數，就除以任意一個公因數再看看：$\frac{12}{30}$12/30 減半得 $\frac{6}{15}$6/15，$\frac{6}{15}$6/15 再除以3得 $\frac{2}{5}$2/5，分兩步得到同樣的答案。要留意的情況是像 $\frac{7}{12}$7/12 這樣已經是最簡形式的分數，除了1沒有別的數能同時整除兩者。要檢驗，先確認新的上下沒有公因數，再乘回去：2 × 6 = 12，5 × 6 = 30。

$\frac{18}{24}\to$18/24 → 上下同除以 $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4。 $\frac{8}{12}\to$8/12 → 上下同除以 $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3。

先對半除兩次，再除以5，能到達同樣的結果：$\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5。

怎麼比較兩個分數？

要比較兩個分數，先讓它們的分母相同，然後分子大的那個就是較大的分數。要比較 $\frac{2}{3}$2/3 和 $\frac{3}{4}$3/4，把兩者都改寫成十二分之幾：$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$3/4 = 9/12，所以 $\frac{3}{4}$3/4 更大。這樣成立，是因為份數大小一樣後，只需要數一數就行。有兩條捷徑可以省去改寫。如果分母已經相同，就直接比分子。如果分子相同，分母較小的那個更大，因為切得越少，每份越大：$\frac{2}{5}$2/5 比 $\frac{2}{7}$2/7 大。當兩者都不相同時，交叉相乘可以一步完成改寫：$\frac{2}{3}$2/3 和 $\frac{3}{4}$3/4 的話，2 × 4 = 8，3 × 3 = 9，較大的積對應較大的分數 $\frac{3}{4}$3/4。要檢驗，用大的減去小的：$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 = 1/12，差大於零就確認了順序。

分母相同：比分子

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8，因為五個八分之一比三個多。

分子相同：分母大的反而小

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8 —— 塊數一樣多，但五分之一比八分之一大。

都不相同：交叉相乘

要比 $\frac{3}{5}$3/5 和 $\frac{5}{8}$5/8，就把每個分子乘上對方的分母。

3 × 8 = 24 對上 5 × 5 = 25，所以 $\frac{5}{8}$5/8 比較大。

跟一半比

最快的一招：把分子加倍，看它落在分母的哪一邊。$\frac{7}{16}$7/16 —— 7 加倍是 14，小於 16，所以不到一半。

怎麼做分數的加法和減法？

要加減分數，先讓它們的分母相同，再把分子相加或相減，分母不變。$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$2/3 + 1/5 的話，3 和 5 都能整除15，所以 $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$2/3 = 10/15，$\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$1/5 = 3/15，$\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$10/15 + 3/15 = 13/15。分母保持15，是因為它表示份的大小，把同樣大小的份加起來不會改變份的大小。這也是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 不等於 $\frac{2}{5}$2/5 的原因：二分之一和三分之一是不同的份，要等兩者都變成六分之一才能一起數。減法用同樣的步驟：$\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$2/3 − 1/5 = 10/15 − 3/15 = 7/15。當答案的分子比分母大時，比如 $\frac{5}{4}$5/4，還要多一步，把它改寫成帶分數 1又$\frac{1}{4}$1/4。要檢驗，可以估算：$\frac{2}{3}$2/3 比1小一點，$\frac{1}{5}$1/5 很小，所以 $\frac{13}{15}$13/15 這個略小於1的大小是對的。

分母相同：分子相加，分母照抄

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7。

分母不同：先讓它們一致

找一個兩個分母都能整除的數，把兩個分數都改寫到它上面，再加分子。

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\to$1/3 + 1/4 → 用十二分之一 $\to \frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$→ 4/12 + 3/12 = 7/12。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\to$2/5 + 1/2 → 用十分之一 $\to \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$→ 4/10 + 5/10 = 9/10。

把兩個分母直接相乘，一定能得到一個公分母，而且一定有效。只是有時候會比需要的大一些 —— 算 $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 可以用 24，但 12 就夠了，還少留一點約分的工。

減法是同一個動作

$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to$3/4 − 2/3 → 用十二分之一 $\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$→ 9/12 − 8/12 = 1/12。

帶分數：整數部分單獨處理

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3，而 $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4，所以是 $4\frac{1}{4}$4 1/4。

減法裡分數部分不夠減時，從整數借一個，把它化成塊：$3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → 借一個：$2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5。

乘法和除法

分數相乘時，分子相乘、分母相乘：$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10。不需要通分，因為乘法取的是部分的部分：五分之二的四分之三，是比兩者都小的一塊。分數相除時，把第二個分數上下顛倒再相乘。$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$3/4 ÷ 1/8 的話，把 $\frac{1}{8}$1/8 顛倒成 $\frac{8}{1}$8/1 再乘：$\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$3/4 × 8/1 = 24/4 = 6。這樣成立，是因為除法問的是「四分之三裡能裝進幾個八分之一」，四分之一裡有 2 個八分之一，所以四分之三裡有 6 個。只顛倒第二個分數，第一個絕不顛倒。帶分數必須先變成假分數：1又$\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$1/2 × 2/3 變成 $\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$3/2 × 2/3 = 6/6 = 1。要檢驗一次除法，把答案乘回除數：$6\times \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6 × 1/8 = 6/8 = 3/4，正好是最初的數。

完整的講解，附圖和練習：分數怎麼乘除？。

分數、小數和百分比

同一個想法的三種寫法。分數是一個還沒做的除法：$\frac{3}{4}$3/4 就是 3 ÷ 4 = 0.75，也就是 75%。

完整的講解，附圖和練習：值得一眼認出的幾個分數。

四個值得點名的錯誤

• 把分母也加起來。$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 是 1，不是 $\frac{2}{4}$2/4。下面是單位，它不會累加。
• 把分母大讀成分數大。$\frac{1}{8}<\frac{1}{3}$1/8 < 1/3。刀越多，塊越小。
• 只約上面那一行。對一行做的事，另一行也要做，否則值就跑掉了。
• 相乘之前先通分。這不算錯，但是白費力氣 —— 乘法不需要單位對齊。

完整的教學階梯 —— 假分數與帶分數、求一個量的幾分之幾、一次排三個分數的大小，以及每一級背後配圖的課程 —— 見相等的分數與帶分數（英文）。