分數

分數之所以讓人覺得難，幾乎都是因為一個想法被跳過了：下面那個數不是量，是單位。在 $\frac{3}{5}$3/5 裡，5 說的是你在數的塊有多大 —— 五分之一 —— 而 3 說的是你有幾塊。

中文本來就是這樣唸的：「五分之三」，先報單位，再說個數。這個順序，就是分數的真面目。只有用同一個單位量出來的東西才能相加 —— 通分的整個故事就是這一句。

分數到底在說什麼

把一樣東西切成大小相等的塊。下面那個數（分母）說的是整體被切成幾塊。上面那個數（分子）說的是你手裡拿著其中幾塊。

$\frac{3}{4}$3/4 的意思是：切成 4 等份，拿走其中 3 份。

分母越大，塊越小

8 比 3 大，可是 $\frac{1}{8}$1/8 比 $\frac{1}{3}$1/3 小。蛋糕切成八塊，每一塊比切成三塊時更小。

相等的分數

上下同乘一個數，值不會變。

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100。 $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12（都 × 4）。

加、減、比大小，都從「改寫成同樣大小的塊」開始。

約分

把相等的分數倒著走一遍：上下同除以一個數，直到沒有數能同時整除它們。

18/24 → 上下同除以 $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4。 8/12 → 上下同除以 $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3。

如果一眼看不出最大公因數，就反覆對半除，或者先抓出一個明顯的 2、3、5 再看。$\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5。到的地方一樣，只是多走了幾步。

比較分數

分母相同：比分子

5/8 > 3/8，因為五個八分之一比三個多。

分子相同：分母大的反而小

3/5 > 3/8 —— 塊數一樣多，但五分之一比八分之一大。

都不相同：交叉相乘

要比 $\frac{3}{5}$3/5 和 $\frac{5}{8}$5/8，就把每個分子乘上對方的分母。

3 × 8 = 24 對上 5 × 5 = 25，所以 $\frac{5}{8}$5/8 比較大。

跟一半比

最快的一招：把分子加倍，看它落在分母的哪一邊。$\frac{7}{16}$7/16 —— 7 加倍是 14，小於 16，所以不到一半。

分數的加法和減法

分母相同：分子相加，分母照抄

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7。

分母不同：先讓它們一致

找一個兩個分母都能整除的數，把兩個分數都改寫到它上面，再加分子。

1/3 + 1/4 → 用十二分之一 → 4/12 + 3/12 = 7/12。

2/5 + 1/2 → 用十分之一 → 4/10 + 5/10 = 9/10。

把兩個分母直接相乘，一定能得到一個公分母，而且一定有效。只是有時候會比需要的大一些 —— 算 $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 可以用 24，但 12 就夠了，還少留一點約分的工。

減法是同一個動作

3/4 − 2/3 → 用十二分之一 → 9/12 − 8/12 = 1/12。

帶分數：整數部分單獨處理

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3，而 $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4，所以是 $4\frac{1}{4}$4 1/4。

減法裡分數部分不夠減時，從整數借一個，把它化成塊：3 1/5 − 1 3/5 → 借一個：$2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5。

乘法和除法

大家以為難的這兩個，其實比較容易。

乘法：橫著乘過去

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15。不需要通分。

除法：把後面那個翻過來再乘

$\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=3$1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3。

分數、小數和百分比

同一個想法的三種寫法。分數是一個還沒做的除法：$\frac{3}{4}$3/4 就是 3 ÷ 4 = 0.75，也就是 75%。

把這幾個練到一眼認出，日常的百分比問題裡大半的計算就消失了。更多內容在百分比指南裡。

四個值得點名的錯誤

• 把分母也加起來。$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 是 1，不是 $\frac{2}{4}$2/4。下面是單位，它不會累加。
• 把分母大讀成分數大。1/8 < 1/3。刀越多，塊越小。
• 只約上面那一行。對一行做的事，另一行也要做，否則值就跑掉了。
• 相乘之前先通分。這不算錯，但是白費力氣 —— 乘法不需要單位對齊。

在遊戲裡練

Math Challenge 裡有分數主題，練的是加法和減法 —— 需要通分的那兩個，也是大家會做錯的那兩個。從分母相同或好對付的分母開始，做對越多，範圍越寬。

它和小數、百分比以及整條算術階梯上的其他主題排在一起，還有一個不需要帳號的免費每日挑戰。

這一頁是簡短的答案。完整的教學階梯 —— 假分數與帶分數、求一個量的幾分之幾、一次排三個分數的大小，以及每一級背後配圖的課程 —— 見相等的分數與帶分數（英文）。

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