分数

分数之所以让人觉得难，几乎都是因为一个想法被跳过了：下面那个数不是量，是单位。在 $\frac{3}{5}$3/5 里，5 说的是你在数的块有多大 —— 五分之一 —— 而 3 说的是你有几块。

中文本来就是这样读的：“五分之三”，先报单位，再说个数。这个顺序，就是分数的真面目。只有用同一个单位量出来的东西才能相加 —— 通分的全部故事就是这一句。

分数到底在说什么

把一样东西切成大小相等的块。下面那个数（分母）说的是整体被切成了几块。上面那个数（分子）说的是你手里拿着其中几块。

$\frac{3}{4}$3/4 的意思是：切成 4 等份，拿走其中 3 份。

分母越大，块越小

8 比 3 大，可 $\frac{1}{8}$1/8 比 $\frac{1}{3}$1/3 小。蛋糕切成八块，每块比切成三块时更小。

相等的分数

上下同乘一个数，值不变。

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100。 $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12（都 × 4）。

加、减、比大小，都从“改写成同样大小的块”开始。

约分

把相等的分数倒着走一遍：上下同除以一个数，直到没有数能同时整除它们。

18/24 → 上下同除以 $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4。 8/12 → 上下同除以 $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3。

要是一眼看不出最大公约数，就反复对半除，或者先拎出一个显眼的 2、3、5 再看。$\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5。到的地方一样，只是多走了几步。

比较分数

分母相同：比分子

5/8 > 3/8，因为五个八分之一比三个多。

分子相同：分母大的反而小

3/5 > 3/8 —— 块数一样多，但五分之一比八分之一大。

都不相同：交叉相乘

要比 $\frac{3}{5}$3/5 和 $\frac{5}{8}$5/8，就把每个分子乘上对方的分母。

3 × 8 = 24 对上 5 × 5 = 25，所以 $\frac{5}{8}$5/8 更大。

跟一半比

最快的一招：把分子翻倍，看它落在分母的哪一边。$\frac{7}{16}$7/16 —— 7 翻倍是 14，小于 16，所以不到一半。

分数的加法和减法

分母相同：分子相加，分母照抄

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7。

分母不同：先让它们一致

找一个两个分母都能整除的数，把两个分数都改写到它上面，再加分子。

1/3 + 1/4 → 用十二分之一 → 4/12 + 3/12 = 7/12。

2/5 + 1/2 → 用十分之一 → 4/10 + 5/10 = 9/10。

把两个分母直接相乘，总能得到一个公分母，而且总是有效。只是有时会比需要的大一些 —— 算 $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 可以用 24，但 12 就够，还少留一点约分的活。

减法是同一个动作

3/4 − 2/3 → 用十二分之一 → 9/12 − 8/12 = 1/12。

带分数：整数部分单独处理

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3，而 $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4，所以是 $4\frac{1}{4}$4 1/4。

减法里分数部分不够减时，从整数借一个，把它化成块：3 1/5 − 1 3/5 → 借一个：$2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5。

乘法和除法

大家以为难的这两个，其实更容易。

乘法：横着乘过去

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15。不需要通分。

除法：把后面那个翻过来再乘

$\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=3$1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3。

分数、小数和百分数

同一个想法的三种写法。分数是一个还没做的除法：$\frac{3}{4}$3/4 就是 3 ÷ 4 = 0.75，也就是 75%。

把这几个练到一眼认出，日常的百分数问题里大半的计算就消失了。更多内容在百分数指南里。

四个值得点名的错误

• 把分母也加起来。$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 是 1，不是 $\frac{2}{4}$2/4。下面是单位，它不会累加。
• 把分母大读成分数大。1/8 < 1/3。刀越多，块越小。
• 只约上面一行。对一行做的事，另一行也要做，否则值就移了。
• 乘之前先通分。这不算错，但是白费力 —— 乘法不需要单位对齐。

在游戏里练

Math Challenge 里有分数专题，练的是加法和减法 —— 需要通分的那两个，也是大家会做错的那两个。从分母相同或好对付的分母开始，做对越多，范围越宽。

它和小数、百分数以及整条算术阶梯上的其他专题排在一起，还有一个不需要账号的免费每日挑战。

这一页是简短的答案。完整的教学阶梯 —— 假分数与带分数、求一个量的几分之几、一次排三个分数的大小，以及每一级背后配图的课程 —— 见相等的分数与带分数（英文）。

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