分数

更新 2026年10月13日

分数之所以让人觉得难，几乎都是因为一个想法被跳过了：下面那个数不是量，是单位。在 $\frac{3}{5}$3/5 里，5 说的是你在数的块有多大 —— 五分之一 —— 而 3 说的是你有几块。

中文本来就是这样读的：“五分之三”，先报单位，再说个数。这个顺序，就是分数的真面目。只有用同一个单位量出来的东西才能相加 —— 通分的全部故事就是这一句。

分数到底在说什么

把一样东西切成大小相等的块。下面那个数（分母）说的是整体被切成了几块。上面那个数（分子）说的是你手里拿着其中几块。

$\frac{3}{4}$3/4 的意思是：切成 4 等份，拿走其中 3 份。

分母越大，块越小

8 比 3 大，可 $\frac{1}{8}$1/8 比 $\frac{1}{3}$1/3 小。蛋糕切成八块，每块比切成三块时更小。

相等的分数

相等的分数是指表示同一个量的分数，把上下同乘或同除以一个数就能造出一个。拿 $\frac{3}{4}$3/4 来说，两边都乘 2，得到 $\frac{6}{8}$6/8，一条带子的八分之六正好和四分之三盖住的一样多。每个四分之一都被切成了 2 个八分之一，所以份数变成两倍，每份是原来的一半大。这就是量不变的原因：上下同乘 2，就是乘以等于 1 的 $\frac{2}{2}$2/2。如果只改其中一个数，或者用加法代替乘法，就会出错。把 $\frac{1}{2}$1/2 的上下都加 1 会得到 $\frac{2}{3}$2/3，这比一半还大，所以两者不相等。要检验两个分数，就交叉相乘：$\frac{3}{4}$3/4 和 $\frac{6}{8}$6/8 的话，3 × 8 = 24，4 × 6 = 24，乘积相等，分数就相等。

完整的讲解，附图和练习：两个分数怎样才算相等？。

约分

要约分一个分数，把上下同除以一个数，一直除到没有比1大的数能同时整除两者为止。$\frac{12}{30}$12/30 的话，12 = 2 × 6，30 = 5 × 6，两者都能被6整除，所以 $\frac{12}{30}$12/30 约分成 $\frac{2}{5}$2/5。上下同除以6，就是除以等于1的$\frac{6}{6}$6/6，所以量不变，只是每份变大了。最快的办法是一次除以最大公约数。如果看不出最大公约数，就除以任意一个公约数再看看：$\frac{12}{30}$12/30 减半得 $\frac{6}{15}$6/15，$\frac{6}{15}$6/15 再除以3得 $\frac{2}{5}$2/5，分两步得到同样的答案。要留意的情况是像 $\frac{7}{12}$7/12 这样已经是最简形式的分数，除了1没有别的数能同时整除两者。要检验，先确认新的上下没有公因数，再乘回去：2 × 6 = 12，5 × 6 = 30。

$\frac{18}{24}\to$18/24 → 上下同除以 $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4。 $\frac{8}{12}\to$8/12 → 上下同除以 $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3。

先对半除两次，再除以5，能到达同样的结果：$\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5。

怎么比较两个分数？

要比较两个分数，先让它们的分母相同，然后分子大的那个就是较大的分数。要比较 $\frac{2}{3}$2/3 和 $\frac{3}{4}$3/4，把两者都改写成十二分之几：$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$3/4 = 9/12，所以 $\frac{3}{4}$3/4 更大。这样成立，是因为份数大小一样后，只需要数一数就行。有两条捷径可以省去改写。如果分母已经相同，就直接比分子。如果分子相同，分母较小的那个更大，因为切得越少，每份越大：$\frac{2}{5}$2/5 比 $\frac{2}{7}$2/7 大。当两者都不相同时，交叉相乘可以一步完成改写：$\frac{2}{3}$2/3 和 $\frac{3}{4}$3/4 的话，2 × 4 = 8，3 × 3 = 9，较大的积对应较大的分数 $\frac{3}{4}$3/4。要检验，用大的减去小的：$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 = 1/12，差大于零就确认了顺序。

分母相同：比分子

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8，因为五个八分之一比三个多。

分子相同：分母大的反而小

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8 —— 块数一样多，但五分之一比八分之一大。

都不相同：交叉相乘

要比 $\frac{3}{5}$3/5 和 $\frac{5}{8}$5/8，就把每个分子乘上对方的分母。

3 × 8 = 24 对上 5 × 5 = 25，所以 $\frac{5}{8}$5/8 更大。

跟一半比

最快的一招：把分子翻倍，看它落在分母的哪一边。$\frac{7}{16}$7/16 —— 7 翻倍是 14，小于 16，所以不到一半。

怎么做分数的加法和减法？

要加减分数，先让它们的分母相同，再把分子相加或相减，分母不变。$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$2/3 + 1/5 的话，3 和 5 都能整除15，所以 $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$2/3 = 10/15，$\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$1/5 = 3/15，$\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$10/15 + 3/15 = 13/15。分母保持15，是因为它表示份的大小，把同样大小的份加起来不会改变份的大小。这也是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 不等于 $\frac{2}{5}$2/5 的原因：二分之一和三分之一是不同的份，要等两者都变成六分之一才能一起数。减法用同样的步骤：$\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$2/3 − 1/5 = 10/15 − 3/15 = 7/15。当答案的分子比分母大时，比如 $\frac{5}{4}$5/4，还要多一步，把它改写成带分数 1又$\frac{1}{4}$1/4。要检验，可以估算：$\frac{2}{3}$2/3 比1小一点，$\frac{1}{5}$1/5 很小，所以 $\frac{13}{15}$13/15 这个略小于1的大小是对的。

分母相同：分子相加，分母照抄

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7。

分母不同：先让它们一致

找一个两个分母都能整除的数，把两个分数都改写到它上面，再加分子。

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\to$1/3 + 1/4 → 用十二分之一 $\to \frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$→ 4/12 + 3/12 = 7/12。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\to$2/5 + 1/2 → 用十分之一 $\to \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$→ 4/10 + 5/10 = 9/10。

把两个分母直接相乘，总能得到一个公分母，而且总是有效。只是有时会比需要的大一些 —— 算 $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 可以用 24，但 12 就够，还少留一点约分的活。

减法是同一个动作

$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to$3/4 − 2/3 → 用十二分之一 $\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$→ 9/12 − 8/12 = 1/12。

带分数：整数部分单独处理

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3，而 $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4，所以是 $4\frac{1}{4}$4 1/4。

减法里分数部分不够减时，从整数借一个，把它化成块：$3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → 借一个：$2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5。

乘法和除法

分数相乘时，分子相乘、分母相乘：$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10。不需要通分，因为乘法取的是部分的部分：五分之二的四分之三，是比两者都小的一块。分数相除时，把第二个分数上下颠倒再相乘。$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$3/4 ÷ 1/8 的话，把 $\frac{1}{8}$1/8 颠倒成 $\frac{8}{1}$8/1 再乘：$\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$3/4 × 8/1 = 24/4 = 6。这样成立，是因为除法问的是"四分之三里能装进几个八分之一"，四分之一里有 2 个八分之一，所以四分之三里有 6 个。只颠倒第二个分数，第一个绝不颠倒。带分数必须先变成假分数：1又$\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$1/2 × 2/3 变成 $\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$3/2 × 2/3 = 6/6 = 1。要检验一次除法，把答案乘回除数：$6\times \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6 × 1/8 = 6/8 = 3/4，正好是最初的数。

完整的讲解，附图和练习：分数怎么乘除？。

分数、小数和百分数

同一个想法的三种写法。分数是一个还没做的除法：$\frac{3}{4}$3/4 就是 3 ÷ 4 = 0.75，也就是 75%。

完整的讲解，附图和练习：值得一眼认出的几个分数。

四个值得点名的错误

• 把分母也加起来。$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 是 1，不是 $\frac{2}{4}$2/4。下面是单位，它不会累加。
• 把分母大读成分数大。$\frac{1}{8}<\frac{1}{3}$1/8 < 1/3。刀越多，块越小。
• 只约上面一行。对一行做的事，另一行也要做，否则值就移了。
• 乘之前先通分。这不算错，但是白费力 —— 乘法不需要单位对齐。

完整的教学阶梯 —— 假分数与带分数、求一个量的几分之几、一次排三个分数的大小，以及每一级背后配图的课程 —— 见相等的分数与带分数（英文）。