Les fractions

Mis à jour 13 octobre 2026

Presque toute la difficulté des fractions vient d'une idée que l'on saute : le nombre du bas n'est pas une quantité, c'est une unité. Dans $\frac{3}{5}$3/5, le 5 dit quelle taille de part on compte — des cinquièmes — et le 3 dit combien on en a.

On ne peut additionner que des choses mesurées dans la même unité : c'est toute l'histoire du dénominateur commun.

Ce qu'une fraction dit vraiment

Coupez quelque chose en parts égales. Le nombre du bas (le dénominateur) dit en combien de parts le tout a été coupé. Le nombre du haut (le numérateur) dit combien de ces parts vous tenez.

$\frac{3}{4}$3/4, c'est : couper en 4 parts égales, en prendre 3.

Un dénominateur plus grand, ce sont des parts plus petites

$\frac{1}{8}$1/8 est plus petit que $\frac{1}{3}$1/3, alors même que 8 est plus grand que 3. Couper un gâteau en huit donne moins par part que le couper en trois.

Les fractions équivalentes

Deux fractions équivalentes nomment la même quantité, et on en fabrique une en multipliant ou en divisant le haut et le bas par le même nombre. Prenez $\frac{3}{4}$3/4 et multipliez les deux parties par 2 : vous obtenez $\frac{6}{8}$6/8, et six huitièmes d'une barre couvrent exactement autant que trois quarts. Chaque quart a été coupé en 2 huitièmes, donc il y a deux fois plus de parts, chacune deux fois plus petite. C'est pourquoi la quantité reste la même : multiplier le haut et le bas par 2, c'est multiplier par $\frac{2}{2}$2/2, qui vaut 1. Cela casse si vous ne changez qu'un seul nombre, ou si vous additionnez au lieu de multiplier. Ajouter 1 aux deux parties de $\frac{1}{2}$1/2 donne $\frac{2}{3}$2/3, qui est plus qu'une moitié, donc les deux ne sont pas équivalentes. Pour vérifier deux fractions, multipliez en croix : pour $\frac{3}{4}$3/4 et $\frac{6}{8}$6/8, 3 × 8 = 24 et 4 × 6 = 24, et des produits égaux signifient des fractions égales.

L’explication complète, avec ses figures et ses questions : Qu'est-ce qui rend deux fractions équivalentes ?.

Simplifier

Pour simplifier une fraction, divisez le haut et le bas par le même nombre, et continuez jusqu'à ce qu'aucun nombre supérieur à 1 ne divise les deux. Pour $\frac{12}{30}$12/30, les deux nombres se divisent par 6, parce que 12 = 2 × 6 et 30 = 5 × 6, donc $\frac{12}{30}$12/30 se simplifie en $\frac{2}{5}$2/5. Diviser les deux parties par 6, c'est diviser par $\frac{6}{6}$6/6, qui vaut 1, donc la quantité ne change pas ; les parts sont juste plus grandes. Le chemin le plus rapide est de diviser une fois par le plus grand commun diviseur. Si vous ne le repérez pas, divisez par n'importe quel facteur commun et regardez à nouveau : $\frac{12}{30}$12/30 se divise par deux en $\frac{6}{15}$6/15, et $\frac{6}{15}$6/15 se divise par 3 pour donner $\frac{2}{5}$2/5, la même réponse en deux étapes. Le cas à surveiller est une fraction déjà sous forme la plus simple, comme $\frac{7}{12}$7/12, où aucun nombre sauf 1 ne divise les deux. Pour vérifier, confirmez que le nouveau haut et le nouveau bas ne partagent aucun facteur, puis multipliez en sens inverse : 2 × 6 = 12 et 5 × 6 = 30.

$\frac{18}{24}\to$18/24 → diviser les deux par $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4. $\frac{8}{12}\to$8/12 → diviser les deux par $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3.

Diviser par deux deux fois puis par 5 arrive au même endroit : $\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5.

Comment compare-t-on deux fractions ?

Pour comparer deux fractions, donnez-leur le même dénominateur, et le plus grand numérateur donne alors la plus grande fraction. Pour comparer $\frac{2}{3}$2/3 et $\frac{3}{4}$3/4, réécrivez les deux en douzièmes : $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12 et $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$3/4 = 9/12, donc $\frac{3}{4}$3/4 est plus grand. Cela fonctionne parce qu'une fois les parts de même taille, il suffit de les compter. Deux raccourcis évitent la réécriture. Si les dénominateurs correspondent déjà, comparez les numérateurs. Si les numérateurs correspondent, la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande, parce que moins de coupes font des parts plus grandes : $\frac{2}{5}$2/5 est plus grand que $\frac{2}{7}$2/7. Quand rien ne correspond, multipliez en croix, ce qui fait la réécriture en une étape : pour $\frac{2}{3}$2/3 et $\frac{3}{4}$3/4, 2 × 4 = 8 et 3 × 3 = 9, et le plus grand produit va avec la plus grande fraction, $\frac{3}{4}$3/4. Pour vérifier, soustrayez la plus petite de la plus grande : $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 = 1/12, et une différence supérieure à zéro confirme l'ordre.

Même dénominateur : comparez les numérateurs

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, parce que cinq huitièmes, cela fait plus de huitièmes que trois.

Même numérateur : le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8 — le même nombre de parts, mais les cinquièmes sont plus grands que les huitièmes.

Ni l'un ni l'autre : le produit en croix

Pour comparer $\frac{3}{5}$3/5 et $\frac{5}{8}$5/8, multipliez chaque numérateur par le dénominateur de l'autre.

3 × 8 = 24 contre 5 × 5 = 25, donc $\frac{5}{8}$5/8 est la plus grande.

Comparer à une moitié

Le contrôle le plus rapide de tous : doublez le numérateur et voyez où il tombe par rapport au dénominateur. $\frac{7}{16}$7/16 — le double de 7 est 14, inférieur à 16, donc c'est moins d'une moitié.

Comment additionne-t-on et soustrait-on des fractions ?

Pour additionner ou soustraire des fractions, donnez-leur d'abord le même dénominateur, puis additionnez ou soustrayez les numérateurs et gardez le dénominateur. Pour $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$2/3 + 1/5, 3 et 5 se divisent tous deux dans 15, donc $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$2/3 = 10/15 et $\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$1/5 = 3/15, et $\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$10/15 + 3/15 = 13/15. Le dénominateur reste 15 parce qu'il nomme la taille des parts, et additionner des parts d'une même taille ne change pas leur taille. C'est aussi pourquoi $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 ne fait pas $\frac{2}{5}$2/5 : les moitiés et les tiers sont des parts différentes, et on ne peut pas les compter ensemble tant qu'elles ne sont pas toutes les deux des sixièmes. La soustraction suit les mêmes étapes : $\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$2/3 − 1/5 = 10/15 − 3/15 = 7/15. Une étape de plus arrive quand le numérateur de la réponse dépasse son dénominateur, comme $\frac{5}{4}$5/4, que vous réécrivez comme le nombre fractionnaire $1\frac{1}{4}$1 1/4. Pour vérifier, estimez : $\frac{2}{3}$2/3 est un peu moins que 1 et $\frac{1}{5}$1/5 est petit, donc $\frac{13}{15}$13/15, juste sous 1, est de la bonne taille.

Même dénominateur : additionnez les numérateurs, gardez le dénominateur

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7.

Dénominateurs différents : rendez-les identiques d'abord

Trouvez un nombre que les deux dénominateurs divisent, réécrivez les deux fractions dessus, puis additionnez les numérateurs.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\to$1/3 + 1/4 → en douzièmes $\to \frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$→ 4/12 + 3/12 = 7/12.

$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\to$2/5 + 1/2 → en dixièmes $\to \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$→ 4/10 + 5/10 = 9/10.

Multiplier les deux dénominateurs donne toujours un dénominateur commun, et cela marche à tous les coups. Cela donne simplement parfois un nombre plus grand que nécessaire : pour $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 vous pourriez prendre 24, mais 12 suffit et laisse moins à simplifier.

La soustraction, c'est le même geste

$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to$3/4 − 2/3 → en douzièmes $\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$→ 9/12 − 8/12 = 1/12.

Nombres fractionnaires : traitez les entiers à part

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, et $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, donc $4\frac{1}{4}$4 1/4.

Pour une soustraction où la partie fractionnaire ne passe pas, empruntez un entier et transformez-le en parts : $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → emprunt : $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

Multiplier et diviser

Pour multiplier des fractions, multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire, parce que multiplier prend une part d'une part : trois quarts de deux cinquièmes est une part plus petite que chacune des deux. Pour diviser par une fraction, retournez la deuxième fraction et multipliez. Pour $\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$3/4 ÷ 1/8, retournez $\frac{1}{8}$1/8 en $\frac{8}{1}$8/1 et multipliez : $\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$3/4 × 8/1 = 24/4 = 6. Cela fonctionne parce que diviser demande combien de huitièmes tiennent dans trois quarts, et chaque quart contient 2 huitièmes, donc trois quarts en contiennent 6. Seule la deuxième fraction se retourne, jamais la première. Un nombre fractionnaire doit d'abord devenir une fraction impropre : $1\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$1 1/2 × 2/3 devient $\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$3/2 × 2/3 = 6/6 = 1. Pour vérifier une division, multipliez la réponse par la fraction par laquelle vous avez divisé : $6\times \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6 × 1/8 = 6/8 = 3/4, le nombre de départ.

L’explication complète, avec ses figures et ses questions : Multiplier et diviser des fractions.

Fractions, décimaux et pourcentages

Trois écritures pour une seule idée. Une fraction est une division en attente : $\frac{3}{4}$3/4, c'est 3 ÷ 4 = 0.75, c'est-à-dire 75 %.

L’explication complète, avec ses figures et ses questions : Les fractions à reconnaître à vue.

Les quatre erreurs à nommer

• Additionner les dénominateurs. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 fait 1, pas $\frac{2}{4}$2/4. Le dénominateur est l'unité ; il ne s'accumule pas.
• Lire un dénominateur plus grand comme une fraction plus grande. $\frac{1}{8}<\frac{1}{3}$1/8 < 1/3. Plus de coupes, plus petites les parts.
• Ne simplifier que le numérateur. Ce que vous faites à une ligne, vous le faites à l'autre, sinon la valeur bouge.
• Chercher un dénominateur commun avant de multiplier. Ce n'est pas faux, c'est du travail perdu : la multiplication n'a pas besoin d'unités identiques.

Pour l'échelle d'apprentissage complète — fractions impropres et nombres fractionnaires, fraction d'une quantité, ranger trois fractions à la fois, et une leçon illustrée derrière chaque barreau — voyez fractions équivalentes et nombres fractionnaires (en anglais).