小數

更新 2026年10月13日

小數不是一種新的數。它是喬裝打扮的分數 —— 下面那個數是十、一百或者一千的分數。0.7 就是 $\frac{7}{10}$7/10。 0.35 就是 $\frac{35}{100}$35/100。小數點只是一個記號，標出整數在哪裡結束、十分之一從哪裡開始。

每一位是什麼意思

小數每一位的值都是左邊那一位的十分之一，所以小數點後依序是十分位、百分位和千分位。以 3.47 為例，3 表示 3 個一，4 表示 4 個十分之一，7 表示 7 個百分之一。這延續了整數的規律：一個十等於十個一，一個一等於十個十分之一，所以每往右移一位就要除以 10。小數點只是標出個位在哪裡結束，它本身不是一位。一個常見的錯誤是把這些位當成整數的名字來讀：點後第一位是十分位，不是十位，也沒有所謂的「一分位」，因為個位在點的左邊。零在這裡也佔著位置：十分位是 0，會讓百分位的 7 保留下來，所以它的值是 $\frac{7}{100}$7/100，不是 $\frac{7}{10}$7/10。要檢驗，把點去掉只讀數字，再說出最後一位的名字：347，也就是 100 個百分之一。

3 + 4 個十分之一 + 7 個百分之一 = 347 個百分之一。

比大小：位數多不等於數大

位數多並不會讓小數變大，因為每一位的值取決於它所在的位置，而不是後面還有幾位數字。要比較 0.9 和 0.35，就在末尾補一個 0，讓位數對齊：0.9 = 0.90。這樣兩個數都以百分位計數，90 大於 35，所以儘管 0.35 的位數更多，十分之九才是更大的數。這樣成立，是因為小數點後第一位是十分位，不必看到百分位，9 個十分之一就已經贏過 3 個十分之一。所以要先比較整數部分，再比較十分位，最後比較百分位。十分位相同時由百分位決定，位數較短的數要補 0，直到位數對齊。末尾的 0 什麼都沒加，所以數值從不改變。要檢驗，把兩個數放到 0 到 1 的數軸上：十分之九更靠近 1。

1. 先比整數部分。
2. 整數部分一樣？就比十分位，再比百分位，一位一位來。
3. 長短不齊？補零補到一樣長。

10分之6 對 100分之$58\to$58 → 補齊 $\to 100$→ 100分之60 對 100分之$58\to 10$58 → 10分之6 獲勝。

加減法：對齊小數點

1. 把幾個數寫成小數點在同一條直線上（短的用零補齊）。
2. 一行一行加或減，和整數完全一樣 —— 進位和借位照舊，直直跨過小數點。
3. 把小數點落到答案裡，還在那條直線上。

$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95。 $5.2-1.84\to 5.20-1.84=3.36$5.2 − 1.84 → 5.20 − 1.84 = 3.36（借位跨過小數點，不用辦任何手續）。

小數怎麼相乘？

要相乘兩個小數，先當作沒有小數點直接相乘，再數一數兩個數一共有多少位小數，答案也留同樣多位小數。0.4 × 0.3 的話，先算 4 × 3 = 12。兩個數各有一位小數，合起來兩位，所以答案也是兩位：0.12。這樣成立，是因為這兩個數分別是十分之四和十分之三，十分之一乘十分之一得百分之一，所以答案是百分之十二。答案比兩個數都小，也是同樣的道理：部分中的部分，總比任何一部分都少。當乘積的數字比該有的位數少時，還需要多一步。百分之五乘十分之三的話，5 × 3 = 15 需要三位小數，所以在 15 前面補一個 0，變成千分之十五。要檢驗，可以估算一下：十分之四的十分之三倍，應該比十分之三小。

1. 先不管小數點；按整數乘。
2. 數一數兩個因數的小數位，加在一起。
3. 從右往左數這麼多位，把小數點放進去。

6 × 十分之$5\to 6\times 5=30\to 1$5 → 6 × 5 = 30 → 1位 $\to$→ 十分之30，也就是3。

$2.5\times 0.3\to 25\times 3=75\to$2.5 × 0.3 → 25 × 3 = 75 → 兩位 $\to 0.75$→ 0.75。

小數怎麼相除？

用整數除一個小數，照常做短除法，把商的小數點放在被除數小數點的正上方：7.5 ÷ 3 = 2.5。除以一個小數時，把兩個數都乘 10 或 100，直到除數變成整數。12 ÷ 0.4 的話，兩邊都乘 10，得到 120 ÷ 4 = 30。兩邊按同樣的倍數放大答案不變，是因為問題問的是「一個數能裝進另一個數幾次」，120 裡能裝進 4 的次數，和 12 裡能裝進十分之四的次數一樣多。除不盡時，在最後一位後面補 0 繼續除，因為 3 也是十分之30。除以一個小於 1 的數，答案會變大，所以 30 比 12 大。要檢驗，乘回去：30 × 4 = 十分之120，也就是 12。

小數除以整數：小數點直直往上升

照常做短除法。

7 個一 $÷3\to 2$÷ 3 → 2 餘 $1\to$1 → 那個 1 化成 10 個十分之一。（化開後是 15 個十分之一；15 個十分之一 ÷ 3 = 5 個十分之一。）

除以一個小數：一起放大，放大到除數是整數

1. 把兩個數一起乘 10（一遍一遍來），乘到除數變成整數。
2. 照常除。

兩邊都 $\times 10\to 120÷4\to 30$× 10 → 120 ÷ 4 → 30。

小數的四捨五入

要對小數做四捨五入，看要保留的那一位後面緊跟的那一位數字：5 或更大就把保留的那一位進一位，4 或更小就保持不變，然後去掉保留位之後的所有數字。要把 4.56 四捨五入到一位小數，保留十分位，看百分位的數字 6，進位得到 4.6。這樣成立，是因為 6 個百分之一已經超過十分之一的一半，也就是 5 個百分之一，所以這個數更靠近較大的那個十分位。9 進位時要小心，因為它會一路進到個位：2 加 97 個百分之一四捨五入到一位小數變成 3，十分位寫 0，好讓它仍然顯示一位小數。要檢驗，確認答案的位數正好是要求的位數，並且離原數不超過半步。

下一位是$6\to$6 → 超過一半 $\to$→ 進位。 $4.32\to$4.32 → 下一位是$2\to 4.3$2 → 4.3。

這件事 —— 連同用四捨五入在動手算之前先估出答案 —— 有一整頁指南：估算與四捨五入。

那幾個有名的，背下來

就這幾個，能解開日常算術的大半 —— 光一個 10% 能走多遠，見百分比指南。（0.333… 循環下去不是偶然：一個分數的小數是除得盡還是永遠循環，由它的分母決定 —— 這個故事，應用程式裡的為什麼每個分數不是除盡就是循環一課講得正經。）

三個值得點名的錯誤

• 越長越大。0.35 < 0.9。從左往右，一位一位比。
• 加法對齊末尾。對齊的是小數點；末尾愛多參差有多參差。
• 指望 × 變大、÷ 變小。小於 1 時，兩個換了班 —— 0.4 × 0.3 = 0.12，可是 12 ÷ 0.4 = 30。

小數還會一路走進錢和增長。百分比變化、倒推百分比、單利與複利、通貨膨脹和還貸款，全是同一套位值隨時間鋪開，見小數、百分比與利息（英文）。