整數與位值

更新 2026年10月13日

十個數字，寫出了古往今來的每一個整數。這不是巧合，也不是一個隨便換掉也行的約定 —— 它是同一個想法，一遍一遍地用：一個數字值多少，取決於它坐在哪裡，而每一行都值右邊鄰居的十倍。

位值是什麼，為什麼要緊？

位值就是數字的值取決於它所在的那一位，每一位的值都是右邊那一位的10倍。在 3,507 裡，3 在千位，所以表示3,000；5表示500；0表示沒有十；7表示7個一。把各部分加起來就還原成原數：3,000 + 500 + 0 + 7 = 3,507。這樣成立，是因為十個一湊成一個十，十個十湊成一個百，十個百湊成一個千，所以十個數字就夠寫出任何整數。0是最容易讓人出錯的情況。它把十位佔著，沒有它的話，3、5、7 就都會往右挪一位，3,507 就變成 357，大約小了十倍。要檢驗一個數，就一位一位大聲讀出來：三千，五百，沒有十，七個一。

孩子是分階段遇見它的，而每個階段都是實打實的一步，不是同一件事的更多遍。數數最先來：數到十敲定「你說出的最後一個詞就是有多少」，一加一讓第一道加法先是一幅畫，而不是一條要背的口訣。寫出二十以內的數是把寫下的符號和嘴裡的詞對上號的地方 —— 對五歲的孩子來說這工作量驚人。

比較是和數數並肩到的，不是排在它後面。多與少教的是把東西一對一配起來比，所以答案不押在數得準不準上。而數對 —— 湊五的數對，然後湊十的數對 —— 是後面一切都靠著的那一小把口訣，因為十正是整個體系圍著搭的那個數。

一個數怎麼長過十？

一個數長過十，靠的是打捆：十個一湊成一個十，那個十寫進左邊新的一行。數8、9、10，個位的數字用完了，就回到0，十位變成1。十位和個位把這種打捆畫成一捆十個方塊，所以34就是3捆加4個散的，3 × 10 + 4 = 34。這樣成立，是因為每一位只能裝0到9的數字，第十個東西總會變成下一位的一個。裝滿的一位會向下一位進位。給99加1：個位到十變成進位，填滿了十位，十位也進位，所以 99 + 1 = 100。數到一百把這個規律重複到感覺理所當然為止。要檢驗，就把這個數重新分組：100 是十個十，10 × 10 = 100。

然後同一件事原樣再來。十個十是一百（百），十個一百是一千（千的方塊，把一千畫成一整塊立方體，讓從扁平的一百跳上來這一步看得見），同一個動作再做三次就到一百萬 —— 這是數到一百萬的主題。

4,207,000 讀作四百二十萬零七千。那些逗號不是裝飾 —— 它們把數字三個一組，好讓「千」和「百萬」這些詞在讀出聲時落在該落的地方。

怎麼給一個數四捨五入，湊到哪一位？

要給一個數四捨五入，就看要保留的那一位後面緊跟的一位數字：5或更大就進位，4或更小保留位就不變，保留位之後的每一位都變成0。要把 2,650 湊到最近的千，保留千位的2，看百位的數字6，進位得到3,000。這樣成立，是因為 2,650 落在 2,000 和 3,000 之間，從 2,500 起的每個數都更靠近 3,000。湊到哪一位由用途決定：快速估算用最近的十，大額金額用百或千。9進位時會連帶進位：把 3,960 湊到最近的百，9個百變成十個百，發生進位，答案是 4,000。要檢驗，答案應該是保留位的倍數，並且離原數不超過半步。

3,470 湊到最近的百 $\to$→ 十位是 $7\to 3$7 → 3,500。 3,428 湊到最近的百 $\to$→ 十位是 $2\to 3$2 → 3,400。

湊到最近的十在數線上開這個頭，「往上還是往下」在那裡明明白白就是「你離哪個刻度比較近」；湊到最近的百和千展示同一個動作往左挪一行，分毫不變。

什麼時候改用有效數字？

在數的大小事先不知道的時候。小數位從小數點數起；有效數字從第一個非零數字數起，所以不管數是一百萬還是一個千分之一，它保住的細節比例相同。有效數字把數法定準，包括從來不算數的前導零和有時算數的末尾零。

一位有效數字就夠在信任幾乎任何計算之前先驗它一驗 —— 一位有效數字估算把 38 × 512 在一秒鐘裡變成 40 × 500 = 20,000，這正好夠你逮住一個算成 1,945 或 194,560 的答案。估算指南把這個習慣講透。

四捨五入也有代價，而且代價能說得一清二楚。界限與誤差區間說明：記到最近一公分的 24 cm，其實落在 $23.5\le x<24.5$23.5 ≤ x < 24.5 裡的某處；百分比誤差再把這道縫變成一個比例 —— 正是這種形式，才讓橋上的誤差和螺栓上的誤差比得起來。

負數是什麼？

負數是數線上0以下的數，寫的時候帶一個負號：−3 是在0下方三步的位置，就像3是在0上方三步一樣。2度的氣溫下降5度會變成−3度，因為 2 − 5 = −3：先下降兩步到0，再下降三步到0以下。負數遵守和正數一樣的規則，因為它們在同一條數線上，唯一新的是方向。加法向右移動，減法向左移動，符號告訴你這個數在0的哪一邊。負數會把比大小的方向反過來。在數線上，−8 比 −2 更靠左，所以儘管8比2大，−8 才是較小的數。減去一個負數是另一種情況，它會向右移動：4 − (−2) = 6。要檢驗，就在數線上數步數，或者反過來算一遍：−3 + 5 = 2。

零下在負數本來就住著的地方介紹它們：氣溫、地下樓層、欠的錢。負數排大小接著釘死那個人人都栽過的比較 —— −7 比 −3 小，因為它更靠下，哪怕 7 比 3 大。

跨過零的加減

加法向右走，減法向左走，不管你從零的哪一邊出發。跨過零的加減專練這些穿越：−4 + 7 = 3 是先四步爬到零，再往前三步。

減去負數是那個需要理由、光有規則不夠的動作，減去負數給了兩個。第一個是規律：5 − 1 = 4，5 − 0 = 5，5 − (−1) = 6，每次漲一，在換號的地方沒有一絲裂縫。第二個是含義：拿走一筆三塊錢的債，你就寬裕了三塊，所以 5 − (−3) = 8。

絕對值是只關心距離的那些時刻用的工具。|−7| = 7 —— 離零多遠，不管朝哪邊 —— 有了它，一條公差寫一遍就夠，不用寫兩遍。

為什麼兩個負數相乘得正

因為乘一個負數是調轉方向，調轉兩次就又朝前了。負數的乘除把同一個論證擺成一條不肯斷的規律：

3 × (−2) = −6，2 × (−2) = −4，1 × (−2) = −2，0 × (−2) = 0。每個答案比上一個高 2。讓這條平穩的爬升繼續走，就得到 (−1) × (−2) = 2。

不用代數怎麼解整數應用題？

很多整數應用題都有一個眼熟的樣子，每種樣子都有一套不用給未知數設字母就能用的辦法。每種辦法其實也是一個喬裝過的方程，列方程把同一類題目用一個字母寫一遍就能看出來。六種樣子涵蓋了大部分：間隔問題、假設法、盈虧問題、兩次秤重的容器、倒推，還有消去法。第一種是間隔問題。一道 60 米長的籬笆，每隔 4 米一根柱子，從一頭到另一頭，有 60 ÷ 4 = 15 個間隔，柱子比間隔多一根，所以是 16 根柱子。先數間隔，因為量出來的長度除的正是間隔。一座打3點要4秒的鐘，3聲之間有2個間隔，所以每個間隔2秒，打7點，6個間隔，要12秒。

假設法處理混在一起的兩種東西。一個農場有雞和兔子共20隻，腿一共56條。假設20隻全是雞：那是40條腿，少了16條。每把一隻雞換成兔子就多2條腿，所以兔子有 16 ÷ 2 = 8隻，雞有12隻。驗算一下：8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56。盈虧問題比較兩種分法。每個孩子分4支鉛筆，剩10支，每個孩子分6支，差6支。第二種分法比第一種多需要 10 + 6 = 16支鉛筆，每個孩子多拿2支，所以有 16 ÷ 2 = 8個孩子，鉛筆 4 × 8 + 10 = 42支。驗算：6 × 8 = 48，比42多6。

兩次秤重的容器靠減法把裡面裝的東西算出來。一罐裝滿米重1500 g，裝到一半重900 g。差的600 g是半罐米的重量，所以整罐米是1200 g，空罐子重 1500 − 1200 = 300 g。倒推把每一步按相反的順序還原。有人拿走一疊卡片的一半，又多拿了3張，剩下9張。在多拿的那3張被拿走之前，有 9 + 3 = 12張，這12張正是剩下的那一半，所以這疊卡片一開始是24張。往前驗算：24的一半是12，拿走了 12 + 3 = 15張，剩下 24 − 15 = 9張。乘和除互相抵消就是這背後的道理。

消去法比較兩張有一樣東西重複出現的購物清單。2支筆加3把尺子要13美元，2支筆加1把尺子要9美元。兩張單子裡的筆都一樣，所以4美元的差就是2把尺子的價錢，一把尺子2美元。那麼2支筆是 9 − 2 = 7美元，一支筆就是3美元50美分。要是沒有東西對得上，就先把一張清單乘一個數，讓它對上：用消去法解聯立演示了怎麼做。餘數要放回它的情境裡去讀，就像 餘數 教的那樣：38人坐能載4人的計程車，需要10輛，不是9.5輛也不是9輛，因為多出來的2人也得有車坐。

四個值得點名的錯誤

• 把零讀成沒有。零撐開一行。把 4,207,000 裡的零丟掉，不是把數變短，是把它縮小一萬倍。
• 分兩步湊整。3,449 湊到最近的百是 3,400。先湊成 3,450 再湊成 3,500，是讓一個數字投了兩次票。
• 把 −7 當得比 −3 大。離零更遠不等於更靠上。比的是數線上的位置，不是貼了個符號的大小。
• 把前導零算進有效數字。0.00427 是三位有效數字，不是五位。有效性從第一個不是零的數字才開始。

接下來通向哪裡

位值是直式方法站著的地基：進位和借位就是動起來的位值，它們在心算與直式算術方法指南裡一步步過。把行往個位的右邊延伸，而不是左邊，就得到十分位和百分位 —— 那是小數指南和更完整的小數、百分比與利息（英文）階梯的主題。而追問哪些整數整除哪些，會走進因數、倍數與質數（英文）。