整數與位值

十個數字，寫出了古往今來的每一個整數。這不是巧合，也不是一個隨便換掉也行的約定 —— 它是同一個想法，一遍一遍地用：一個數字值多少，取決於它坐在哪裡，而每一行都值右邊鄰居的十倍。

這一頁順著這個想法，從最初的數數走到一百萬，再走向人們真正犯難的兩件事 —— 湊到合適的細節層級，和零以下的數。每條規則都配一道例題，和它成立的理由。

位值是什麼，為什麼要緊？

位值就是「位置管大小」這條規則。在 3,507 裡，3 是三千，5 是五百，0 把十位這一行撐開著，7 是七個一。數字管數數；行管分量。

沒有進位記數法，每次數不夠用就得造一個新符號 —— 羅馬數字做的正是這件事，也正因如此沒人用它做乘法。十個數字按十倍的價值反覆用，只多花一個想法，換來的是對任意大小的數都能做算術。

孩子是分階段遇見它的，而每個階段都是實打實的一步，不是同一件事的更多遍。數數最先來：數到十敲定「你說出的最後一個詞就是有多少」，一加一讓第一道加法先是一幅畫，而不是一條要背的口訣。寫出二十以內的數是把寫下的符號和嘴裡的詞對上號的地方 —— 對五歲的孩子來說這工作量驚人。

比較是和數數並肩到的，不是排在它後面。多與少教的是把東西一對一配起來比，所以答案不押在數得準不準上。而數對 —— 湊五的數對，然後湊十的數對 —— 是後面一切都靠著的那一小把口訣，因為十正是整個體系圍著搭的那個數。

一個數怎麼長過十？

靠打捆。十個一捆成一個十，這個十住進自己的一行。十位和個位是讓這一捆看得見的那一課，數到一百是讓這個規律重複到讓人信服的那一課。

然後同一件事原樣再來。十個十是一百（百），十個一百是一千（千的方塊，把一千畫成一整塊立方體，讓從扁平的一百跳上來這一步看得見），同一個動作再做三次就到一百萬 —— 這是數到一百萬的主題。

百萬位十萬位萬位千位百位十位個位
4207000

4,207,000 讀作四百二十萬零七千。那些逗號不是裝飾 —— 它們把數字三個一組，好讓「千」和「百萬」這些詞在讀出聲時落在該落的地方。

零是最難的部分，也是最要緊的部分。零不是「這裡什麼都沒有」；它是「這一行空著，但它左邊的行還在原地」。把 4,207,000 裡的零抽掉就得到 427，一個小了四個數量級的數。

怎麼給一個數四捨五入，湊到哪一位？

只看你要保留的那一位緊後面的一個數字：五或更大就進，四或更小就不動。保留位右邊的一律變成零。

3,470 湊到最近的百 → 十位是 7 → 3,500。 3,428 湊到最近的百 → 十位是 2 → 3,400。

湊到最近的十在數線上開這個頭，「往上還是往下」在那裡明明白白就是「你離哪個刻度比較近」；湊到最近的百和千展示同一個動作往左挪一行，分毫不變。

做決定的只有一位。3,449 湊成 3,400 —— 儘管那個 49 幾乎是 50 —— 因為「最近的百」問的是這個數過沒過 3,450 那道中線，而 3,449 沒過。連湊兩次 —— 3,449 先到 3,450 再到 3,500 —— 是經典錯誤，錯就錯在讓一個已經被捨掉的數字又投了一次票。

什麼時候改用有效數字？

在數的大小事先不知道的時候。小數位從小數點數起；有效數字從第一個非零數字數起，所以不管數是一百萬還是一個千分之一，它保住的細節比例相同。有效數字把數法定準，包括從來不算數的前導零和有時算數的末尾零。

一位有效數字就夠在信任幾乎任何計算之前先驗它一驗 —— 一位有效數字估算把 38 × 512 在一秒鐘裡變成 40 × 500 = 20,000，這正好夠你逮住一個算成 1,945 或 194,560 的答案。估算指南把這個習慣講透。

四捨五入也有代價，而且代價能說得一清二楚。界限與誤差區間說明：記到最近一公分的 24 cm，其實落在 23.5 ≤ x < 24.5 裡的某處；百分比誤差再把這道縫變成一個比例 —— 正是這種形式，才讓橋上的誤差和螺栓上的誤差比得起來。

負數是什麼？

負數就是數線不在零停下時你得到的東西。它們和正數一樣真實，遵守的規則也一模一樣 —— 彆扭全出在方向上，而一旦你盯著的就是方向，彆扭就散了。

零下在負數本來就住著的地方介紹它們：氣溫、地下樓層、欠的錢。負數排大小接著釘死那個人人都栽過的比較 —— −7 比 −3 小，因為它更靠下，哪怕 7 比 3 大。

把負數讀成「一個帶著負號的大小」，排序才顯得反著來。改讀成一個位置：−7 是從零往下七步，−3 是往下三步，更低就是更小。數線不是繞著零的一面鏡子；它是一條一直走下去的路。

跨過零的加減

加法向右走，減法向左走，不管你從零的哪一邊出發。跨過零的加減專練這些穿越：−4 + 7 = 3 是先四步爬到零，再往前三步。

減去負數是那個需要理由、光有規則不夠的動作，減去負數給了兩個。第一個是規律：5 − 1 = 4，5 − 0 = 5，5 − (−1) = 6，每次漲一，在換號的地方沒有一絲裂縫。第二個是含義：拿走一筆三塊錢的債，你就寬裕了三塊，所以 5 − (−3) = 8。

絕對值是只關心距離的那些時刻用的工具。|−7| = 7 —— 離零多遠，不管朝哪邊 —— 有了它，一條公差寫一遍就夠，不用寫兩遍。

為什麼兩個負數相乘得正

因為乘一個負數是調轉方向，調轉兩次就又朝前了。負數的乘除把同一個論證擺成一條不肯斷的規律：

3 × (−2) = −6，2 × (−2) = −4，1 × (−2) = −2，0 × (−2) = 0。每個答案比上一個高 2。讓這條平穩的爬升繼續走，就得到 (−1) × (−2) = 2。

這不是為了好看才選的約定。要是 (−1) × (−2) 等於 −2，乘法對加法就不再分配，算術的其餘部分會散架。這條規則是被「想讓別的規則繼續成立」逼出來的 —— 符號規則之所以是它那個樣子，通常就是這個原因。

四個值得點名的錯誤

接下來通向哪裡

位值是直式方法站著的地基：進位和借位就是動起來的位值，它們在心算與直式算術方法指南裡一步步過。把行往個位的右邊延伸，而不是左邊，就得到十分位和百分位 —— 那是小數指南和更完整的小數、百分比與利息（英文）階梯的主題。而追問哪些整數整除哪些，會走進因數、倍數與質數（英文）。

在遊戲裡練

Math Challenge 是一款心算遊戲，上面每一步都有一課配圖的課 —— 有圖，有一步步推出來的過程，還有專門重教你剛錯的那道題、而不是旁邊某道題的試一試。這頁點到名的課，屬於一套橫跨整條階梯的 800 多課課程目錄，從第一次數數到大學入學的內容。

想刷題而不是讀書的話，負數主題把符號規則練到不用過腦，四捨五入主題對位值判斷做同一件事。

輪到你了

三題試一試，點選作答。

3,742 中的 7 代表多少？

把 4,861 四捨五入到百位。

哪一個最大？

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