2 到 12 的整除判別法

更新 2026年10月7日

整除判別法能讓你不做除法，就知道一個數能不能被另一個數整除。下面每一條都附上成立的原因，因為看得懂原因的規則，忘記時也能自己重新推出來。

整除判別法有哪些？

整除判別法能讓你不做除法，就知道一個數能不能整除。一個數的個位數字是偶數，就能被 2 整除；個位是 0 或 5，能被 5 整除；個位是 0，能被 10 整除。末兩位數能被 4 整除，這個數就能被 4 整除；末三位數能被 8 整除，就能被 8 整除。各位數字的和是 3 或 9 的倍數，就能被 3 或 9 整除；從個位起，把各位數字交錯標上 + 和 −，加起來是 0 或 11 的倍數，就能被 11 整除。以 5,832 為例：個位是 2，所以能被 2 整除；各位數字相加 5 + 8 + 3 + 2 = 18，所以能被 3 和 9 整除。下面各節會說明每條規則為什麼成立。要判別 6、12 和 15，就合併兩條數字之間沒有公因數的規則。用除法可以驗證結果：5,832 ÷ 9 = 648。

本頁其餘的部分是在說明原因。原因分成三類：末幾位、各位數字的和，以及交錯和。

為什麼 2、5、10、4 和 8 只看末幾位？

之所以只看末幾位，是因為數的其他部分，早就是除數的倍數了。10 是 2、5 和 10 的倍數，所以數中所有的十都能被這三個數整除，只剩個位數字需要檢查。100 是 4 的倍數，因為 100 = 4 × 25，所以每一個一百都能被 4 整除，只有末兩位數有影響。以 9,136 為例：它是 91 個一百加上 36，不論 91 是多少，這些一百都能被 4 整除，而 36 = 4 × 9，所以 9,136 能被 4 整除。1,000 是 8 的倍數，因為 1,000 = 8 × 125，所以判別 8 要看末三位數。只看兩位不夠，因為 100 不是 8 的倍數。例如 116 的末兩位 16 能被 8 整除，但 116 不能。用除法可以驗證 4 的判別：9,136 ÷ 4 = 2,284。

把 3,746 寫成 374 個十加上 6。每一個十都是 10，10 能被 2 整除，所以不論 374 是多少，這整堆十都能被 2 整除。只有 6 可能破壞它，而 6 是偶數，所以 3,746 能被 2 整除。

所以 4,312 是 4 個一千加上 312，一千的部分不用管，312 = 8 × 39 就決定了結果。

為什麼 3 和 9 可以用各位數字的和來判別？

各位數字的和之所以管用，是因為每一個位值都比 9 的某個倍數多 1：10 是 9 + 1，100 是 99 + 1，1,000 是 999 + 1。以 513 為例：它的 5 個一百是 5 × 99 再多 5，1 個十是 1 × 9 再多 1，還有 3 個一。由 99 和 9 組成的部分都是 9 的倍數，不會影響餘數，剩下的是 5 + 1 + 3 = 9，就是各位數字的和。所以 513 和 9 一樣，能被 9 整除：513 = 9 × 57。3 的判別法順便就有了，因為 9 的倍數也都是 3 的倍數。如果各位數字的和還很大，就把它的各位數字再加一次：8,976 的各位數字和是 30，3 + 0 = 3，所以它能被 3 整除，但不能被 9 整除。用除法驗證：8,976 ÷ 3 = 2,992。

以 471 為例：它是 4 個一百、7 個十和 1。把每個一百寫成 99 + 1，每個十寫成 9 + 1：

1. 471 = 4 × 100 + 7 × 10 + 1
2. = 4 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 1
3. = (4 × 99 + 7 × 9) + (4 + 7 + 1)

第一個括號完全由 99 和 9 組成，所以是 9 的倍數，對餘數沒有貢獻。剩下的是 4 + 7 + 1 = 12，也就是各位數字的和。所以 471 和 12 除以 9 的餘數相同，而 471 能被 3 整除，正好當 12 能被 3 整除時。

8,946 的各位數字相加是 27，27 的各位數字相加是 9，所以 8,946 能被 9 整除。

怎麼判別 11？

判別 11：從個位數字開始標 +，往左 + 和 − 交錯標上各位數字，再加起來。總和是 0 或 11 的倍數，這個數就能被 11 整除。以 3,729 為例，總和是 9 − 2 + 7 − 3 = 11，所以 3,729 能被 11 整除，而 3,729 = 11 × 339。這個判別法成立，是因為 10 比 11 少 1，所以各個位值輪流往後數、往前數。總和是 0 也算通過：5,654 得到 4 − 5 + 6 − 5 = 0，而 5,654 = 11 × 514。總和是負的 11 的倍數也算：8,294 的總和是 4 − 9 + 2 − 8 = −11，所以 8,294 能被 11 整除。其他的總和，例如 3 或 14，就表示這個數不能被 11 整除。做除法可以驗證：8,294 ÷ 11 = 754。

對 11 來說，10 相當於 −1，100 相當於 +1，1,000 又相當於 −1，往下每個位值都這樣輪流。

怎麼判別 6、12 和 15？

判別 6、12 或 15，把這個數拆成兩個沒有公因數的因數，再檢查兩條規則是否都通過。6 是 2 × 3，12 是 3 × 4，15 是 3 × 5。以 2,316 為例：各位數字相加是 12，所以能被 3 整除；末兩位是 16，所以能被 4 整除。兩個判別都通過，所以它能被 12 整除，而 2,316 = 12 × 193。判別 15：4,035 的個位是 5，各位數字相加是 12，所以能被 15 整除。這個方法成立，是因為一個數能被 3 和 4 整除，而 3 和 4 沒有公因數，所以這個數必然含有 3 × 4 這個因數。12 也是 2 × 6，但這一對不行：18 能被 2 和 6 整除，卻不能被 12 整除，因為 2 和 6 有公因數 2。用除法可以消除疑慮：4,035 ÷ 15 = 269。

兩個因數不能有公因數，這個條件就是全部的關鍵，也是最容易出錯的地方。12 也是 2 × 6，但 2 和 6 都是偶數，所以兩個都通過，能證明的比看起來少：

7 有判別法嗎？

7 有判別法：去掉個位數字，把它乘以 2，再從剩下的數減去。如果結果是 7 的倍數（包括 0 或負的倍數），原來的數也是 7 的倍數。重複這個步驟，直到數小到一眼就看得出來。以 1,358 為例：去掉 8 剩 135，135 − 16 = 119。去掉 9 剩 11，11 − 18 = −7，是 7 的倍數，所以 1,358 能被 7 整除。這個步驟不會改變一個數能不能被 7 整除，因為它只是減去 7 的倍數，再除以 10，而 10 沒有 7 這個因數。如果結果不是 7 的倍數，原來的數也不是：123 得到 12 − 6 = 6，所以 123 不能被 7 整除。用除法驗證第一個例子：1,358 ÷ 7 = 194。

它成立，是因為乘以 10 不會產生或消除 7 這個因數。如果縮短後的數 a − 2b 能被 7 整除，那麼它的十倍也能；而它的十倍和原來的數 10a + b 恰好差 21b，也就是每個 b 差三個 7。

坦白說：這是本頁唯一一條，常常比省下來的除法更費事的規則。861 用它很快；遇到六位數，直接除以 7 通常更快。

這個主題在學習階梯中的位置

整除是你化簡分數、找公分母、找質因數時用的工具，每一件事都從「什麼能整除它？」開始。

相關指南：因數、倍數與數論、除法和分數。