小數、百分比與利息

更新 2026年9月25日

小數、百分比和利息是同一個學科戴著三頂帽子。小數是分母為十的乘方的分數；百分比是大家約定分母為一百的分數；而利息，就是把一個百分比反覆應用之後發生的事。

這一頁把這條階梯從頭走到尾，而且大部分篇幅都花在遠的那一端——百分比變化、逆百分比、複利和貸款的演算法——因為錢就在那裡，代價高昂的錯誤也在那裡。如果你想直接瞭解小數運算怎麼做，小數指南和百分比指南會單獨回答那些問題。

小數的每一位是什麼意思

小數點右邊每移一位就小十倍，正如左邊每移一位就大十倍。小數引入十分位，百分位接著講下一列，千分位講再下一列——到這時候，規律本身就在講課了。

3.47 = 3 個一 + 4 個十分之一 + 7 個百分之一。

比較小數解決了那個比其他錯誤都頑固的誤解：位數多不代表數大。0.9 > 0.35，因為九個十分之一比三個半十分之一大。把位數補齊——0.90 對 0.35——就一目瞭然了。而0.5 就是二分之一把那幾個值得一眼認出的小數釘死在心裡，讓大多數日常問題都用不著計算。

小數乘以和除以 10 與 100這節課把"加個零"換成了真正正確的說法：數字在移動，小數點沒動。對整數來說這個區別看不出來，一旦出現小數點，它就說了算。

四則運算

對齊小數點是加法的規則，豎式加法和豎式減法把它用到筆算裡。$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. 對齊小數點，才能讓十分位壓著十分位；對齊右邊的末尾，會把十分位加到百分位上去。

數小數位講的是乘法：先不管小數點，照常相乘，再數一數兩個因數一共有多少位小數，把小數點點到那麼遠。$0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → 兩位 $\to 0.12$→ 0.12.

小數除以整數處理的是除以一個整數，小數點會直接往上升進答案裡。除以一個小數處理另一種情況，做法是把兩個數一起放大，直到除數變成整數：$12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30。答案比 12 大是對的——一件東西裡能裝下很多小碎片。

把小數四捨五入到一位、兩位小數收尾這部分運算：只有一個數字說了算，就是你要保留的那一位後面緊跟的那一位。

什麼是百分比？

百分比就是以一百為分母的數：percent 這個詞的意思是"每一百中"，所以 30% 就是 $\frac{30}{100}$30/100。百分比從這裡講起，分數、小數與百分比把寫同一個數量的三種方式連在一起。要求一個數量的百分之幾，先除以十求出 10%，再從它搭出其他的。求 70 的 30%，10% 是 7，所以 30% 就是三倍那麼多，21。同樣的算式寫成分數就是 $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21。固定的分母 100 讓百分比很容易比較。20 題中對 13 題換算成 $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%，可以直接和另一場測驗的 60% 比較。當部分比原來的整體還大時，百分比可以超過 100：40 的 150% = 60。用一半來檢驗：30% 小於 50%，所以答案必須小於 70 的一半，而 21 確實小於 35。

求一個數的百分之幾是最核心的一招，心算的路子是從簡單的搭出難算的：除以十求 10%，把它減半求 5%，除以一百求 1%。35% 的 $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84。用百分比比較說的正是百分比存在的理由——25 題對 18 題和 40 題對 26 題很難排出高下，直到它們變成 72% 和 65%。

怎麼求百分比變化？

要按百分比改變一個金額，就乘以一個單一的數。漲 15% 剩下 100% + 15% = 115% 的原值，所以乘數是 × 1.15。跌 15% 剩下 85%，所以乘數是 × 0.85。百分比增長和打折扣用的都是這個方法。一個價格為 60 的東西漲 15%，新價格是 $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69。乘數一步就能求出新金額，而不必先求出那部分再加上去，分成兩步。反過來，要從兩個金額求出百分比變化，就拿變化量除以原來的金額，絕不能除以新的金額。價格從 60 變成 69，變化量是 9，而 $\frac{9}{60}=15$9/60 = 15%。如果改成除以 69，會得到一個偏小、錯誤的百分比。用兩步法算一遍可以驗證答案：60 的 15% = 9，60 + 9 = 69。

240 漲 15% $\to 240\times 1.15=276$→ 240 × 1.15 = 276。 80 打 85 折 $\to 80\times 0.85=68$→ 80 × 0.85 = 68。

百分比變化把這個過程反過來跑一遍。$40\to 50$40 → 50是 $\frac{10}{40}=25$10/40 = 25% 漲； $50\to 40$50 → 40是 $\frac{10}{50}=20$10/50 = 20% 跌。同樣是十，卻是兩個不同的百分比，因為參照的基準變了。

逆百分比

逆百分比值得放慢速度，因為錯誤的方法算出來的結果，看著也挺像那麼回事。如果一件外套打 85 折後是 68，那麼 68 就是原價的 85%，所以原價是 68 ÷ 0.85 = 80。把 68 的 15% 加回去，得到 78.20——錯了，因為折扣從來不是按售價算的百分比。

折舊把同一個乘數反覆往下用。一輛車每年貶值 18%，每年就值原來的 × 0.82，所以三年後還剩 $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551——大約是原價的 55%，而不是把 18% 減三次會讓人以為的 46%。

單利還是複利？

單利總是按原始金額來算，複利則按餘額來算，所以利息本身也會生出利息。單利展示的是直線增長的情形。2,000 按每年 10% 存 3 年，單利每年付 2,000 的 10% = 200，所以一共是 200 × 3 = 600。用複利的話，每年的利息要在算下一年之前先加進去。餘額從 2,000 漲到 2,200，再算 2,200 的 10% = 220，變成 2,420，再算 2,420 的 10% = 242，變成 2,662。這一共是 662 的利息，比單利的總數多 62。這個差額完全來自"利息生利息"，這也是為什麼這個差距一開始很小、多年之後卻很大。第一年兩種方法付的一樣多。從那之後，複利應該總是領先，這是檢驗任何答案的一個快速辦法。

複利就是把乘數每期應用一次：1,$000\times 1.05^3=1$000 × 1.05³ = 1,157.63，也就是 157.63 的利息。單利對複利把兩者並排放在一起，老實說，這個差距一開始不起眼，到後來卻大得驚人——按 5% 存 30 年，單利付 1,500，複利付 3,322。

一年計息不止一次回答了下一個問題。年利率 6%，按月複利，意味著 0.5% 算十二次，也就是 $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617——實際年利率是 6.17%。計息越頻繁付得越多，但增量很快就會縮小，逼近一個上限，而不是無限往上漲。

借貸的演算法是怎樣的？

借貸是從另一個方向看的複利。貨幣的時間價值定下了這個原則：手上現在的錢可以生息，所以不同日期的金額沒法直接比，除非把一個挪到另一個的日期上。按每年 5%，今天的 1,000 一年後長成 1,$000\times \frac{105}{100}=1$000 × 105/100 = 1,050。用除法把錢挪回來，所以一年後到期的 1,050，相當於今天的 1,050 ÷ 1.05 = 1,000。貸款也是同樣的長法。按每年 10% 借 500，借兩年，你欠的是 $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605。貸款分期償還時，每一筆還款先付利息，剩下的才用來減少餘額。欠 1,000，利率 10%，年底還 300，剩下 1,000 + 100 − 300 = 800。貸款的成本是還的總數減去借的本金：這筆兩年期貸款是 605 − 500 = 105。

通脹之後的實際價值把同樣的折算方法用到購買力上。存款利率 3%、物價漲 4%，實際上每年大約虧 1%，而這個數字才是關鍵，也是表面利率藏起來的東西。

分期還款把這套時間表一路走到最後一筆還款。早期的還款大部分是利息；後期大部分是本金；每一期還款金額本身從不改變。年金的價值就是把同一串還款整體估值，是拿一筆整錢和一份收入流——養老金、租約或和解方案——比較時用的工具。

一道題，從頭做到尾

一家店把一件外套標價 96，這是打 8 折之後的價格，而且這個價格已經含 9% 的稅。這家店定的稅前標價是多少？

從給你的這個數字往外回推，每一步變化都用除法撤銷，而不是用減法。

• 去掉稅。 96 是稅前售價的 109%，所以那個價格是 96 ÷ 1.09 = 88.07。
• 去掉折扣。 88.07 是標價的 80%，所以標價是 88.07 ÷ 0.80 = 110.09。
• 正著檢驗一遍。 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96。 這些乘數不管按什麼順序相乘都一樣，這正是這個檢驗能這麼快的原因。

如果改成先減 9% 再加回 20%，會得到 104.83，這個誤差不算小。百分比鏈條的每一步都是一次乘法，所以撤銷每一步都要用除法。

值得點名的四個錯誤

• 把連續的百分比直接相加。 打 8 折再打 9 折，一共是省了 28%，不是 30%。要把乘數相乘。
• 用加回去的方式撤銷折扣。 應該用乘數去除；折扣是按原價算的百分比，不是按售價算的。
• 求百分比變化時除以新金額。 原來的金額永遠是基準。
• 把百分比和百分點弄混。 一個利率從 4% 變到 5%，漲了一個百分點——但漲了 25%。

接下來學什麼

小數是用另一種記號寫的分數，所以分數階梯（英文）講的是同一批內容，只是早一步。比較兩個量，而不是拿部分對整體，就是比、比率與比例（英文）。而複利乘數應用 n 次，就是一個指數函式，這正是位值最終把接力棒交給代數的地方。

在遊戲裡練習

Math Challenge 把上面每一級臺階都教成配圖的課程，從十分位方格一直到分期還款時間表，收在一套 800 多節課程的目錄裡。每一課都配有畫出來的推導過程和試一試的題目，專門針對你答錯的那一步重新講一遍。

百分比這個主題專門練最核心的一招——求一個數的百分之幾——從好算的數的 10%、25% 和 50% 開始，答對了再逐步加大難度。