微分法則

更新 2026年10月7日

用第一原理求導很慢。每一條法則，都是把那個極限針對一種式子的形狀算過一次。真正的功夫在於認出形狀：冪、乘積、商，還是一個函數套在另一個函數裡。

$\frac{dy}{dx}$dy/dx 到底是什麼意思？

$\frac{dy}{dx}$dy/dx 是在某一個瞬間 y 隨 x 改變的速率，也就是某一點切線的斜率。要求它，就取一條弦的斜率，再讓弦縮短。看 $y=x^2$y = x²：從 x 到 x + h 的弦上升了 ${\left(x+h\right)}^2-x^2$(x + h)² − x²，也就是 $2xh+h^2$2xh + h²，除以水平距離 h 剩下 2x + h。當 h 縮到 0，它穩定在 2x，所以在 x = 3 處斜率是 6。這個值是精確的，不是估計值：每條弦的斜率都是 2x + h，而 2x 是它們全都趨近的唯一一個數。立方需要多一點代數，但不需要新的想法，因為 ${\left(x+h\right)}^3-x^3$(x + h)³ − x³ 除以 h 是 $3x^2+3xh+h^2$3x² + 3xh + h²，它穩定在 $3x^2$3x²。檢查一下：從 3 到 5 的弦斜率是 (25 − 9) ÷ 2 = 8，等於 6 + 2，也就是切線斜率加上 h。

萊布尼茲寫成 $\frac{dy}{dx}$dy/dx，拉格朗日寫成 f'(x)，讀作「f 撇」。單獨出現的 $\frac{d}{dx}$d/dx 是一個指令：對後面跟著的東西求導。

用第一原理時，寫出步長 h 對應的上升量，除以 h，化簡，然後才讓 h 趨近 0。

詳見 導數是一種極限、導數的記法和用第一原理求導。

導數在哪裡不存在？

只要曲線沒有唯一的一條切線，導數就不存在：在尖角、在垂直切線處，或在斷開處。看 y = |x| 在 0 處。從 0 到 h 的弦斜率是 |h| ÷ h，對每個正的 h 都是 1，對每個負的 h 都是 −1。兩側趨近不同的值，而導數是一個極限，只有兩側一致時才存在。垂直切線以另一種方式失效。對 x 的立方根在 0 處，到 8 的弦斜率是 $2÷8=\frac{1}{4}$2 ÷ 8 = 1/4，到 1 的弦斜率是 1，到 $\frac{1}{8}$1/8 的弦斜率是 4，所以這些值無限增大。在跳躍處，函數連連續都不是，弦的斜率在那裡也會爆增。離開尖角，|x| 就是一條直線，從 2 到 3 的弦斜率是 3 − 2 = 1，這就是它在那裡的導數。

y = |x| 在 0 處沒有導數。左側斜率是 −1，右側是 +1。

什麼是冪法則？

冪法則說 $x^n$xⁿ 的導數是 $n{x}^{n-1}$nxⁿ⁻¹：把次方拿下來當乘數，再把次方減一。對於 $y=x^4$y = x⁴，$\frac{dy}{dx}=4x^3$dy/dx = 4x³，在 x = 2 處斜率是 $4\times 2^3=32$4 × 2³ = 32。前面的數字留在前面，所以 $5x^3$5x³ 變成 $15x^2$15x²，而和則逐項求導。這條法則來自第一原理：展開 ${\left(x+h\right)}^n$(x + h)ⁿ 得到 $x^n+n{x}^{n-1}h$xⁿ + nxⁿ⁻¹h 加上含 $h^2$h² 及更高次的項，所以弦的斜率是 $n{x}^{n-1}$nxⁿ⁻¹ 加上仍然帶著 h 的項，而這些項在極限中消失。法則對每一個實數次方都成立，所以根號和倒數只要多做第一步：把它們改寫成冪。於是 $\frac{1}{x^2}$1/x² 就是 $x^{-2}$x⁻²，求導變成 $-2x^{-3}$−2x⁻³。常數的導數是 0，因為 5 就是 $5x^0$5x⁰。檢查一下：$x^4$x⁴ 從 2 到 3 的弦斜率是 81 − 16 = 65，遠大於 32，因為曲線越來越陡。

$x^5\to 5x^4$x⁵ → 5x⁴. $\frac{1}{x}=x^{-1}\to -x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$1/x = x⁻¹ → −x⁻² = −1/x². $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\to \left(\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)}$√x = x^(1/2) → (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).

先把倒數或根號改寫成冪，再做同樣的兩步。

直線 y = mx + c 處處斜率都是 m，所以它的導數是 m。

所以根據和的法則與常數倍法則，$4x^3-7x+2$4x³ − 7x + 2 的導數是 $12x^2-7$12x² − 7。詳見 冪法則、線性函數的微分和常數倍法則與和的法則。

什麼時候用乘積法則？

兩個 x 的函數相乘時，用乘積法則。如果 y = uv，那麼 $\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$dy/dx = u dv/dx + v du/dx：輪流對每個因式求導，另一個保持不動，再相加。對於 $y=x^2\sin x$y = x² sin x，取 $u=x^2$u = x²、v = sin x，所以 $\frac{dy}{dx}=x^2\cos x+2x\sin x$dy/dx = x² cos x + 2x sin x。這條法則成立，是因為因式的微小變化讓長方形 uv 多出兩條：u 乘以 v 的變化量，和 v 乘以 u 的變化量，再加上一個除以步長後就消失的角落。三個因式就有三項，每一項只對其中一個因式求導。分式 $\frac{u}{v}$u/v 要用商法則，它的分子是一個減法，所以順序很重要。用 $y=x\times x^3$y = x × x³ 試試：法則給出 $x^3+3x^3$x³ + 3x³，也就是 $4x^3$4x³，正是 $x^4$x⁴ 的導數，而在 x = 1 處兩項相加為 1 + 3 = 4。

$y=x^2\sin x\to x^2\cos x+2x\sin x$y = x² sin x → x² cos x + 2x sin x.

對於分式 $\frac{u}{v}$u/v，商法則是：$\frac{dy}{dx}=($dy/dx = (vu′ $-u{v}^{\prime })/v^2$− uv')/v²。

如果分母只是單一的冪，就改用冪法則：$\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\to -6x^{-3}$3/x² = 3x⁻² → −6x⁻³。詳見 乘積法則和商法則。

什麼時候用連鎖律？

只要一個函數套在另一個函數裡，就用連鎖律：先對外層函數求導，內層保持不動，再乘以內層的導數。對於 $y={\left(x^2+1\right)}^3$y = (x² + 1)³，外層是立方，內層是 $x^2+1$x² + 1，所以 $\frac{dy}{dx}=3{\left(x^2+1\right)}^2\times 2x$dy/dx = 3(x² + 1)² × 2x。在 x = 1 處斜率是 $6\times 2^2=24$6 × 2² = 24。用萊布尼茲記法，$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$dy/dx = dy/du × du/dx，其中 u 是內層；兩個變化率相乘，是因為 x 的一步先在變成 u 時被放大一次，再在變成 y 時又被放大一次。套得更深，每一層就多一個因子，所以 ${\sin }^2\left(3x\right)$sin²(3x) 的導數是 2 sin(3x) × cos(3x) × 3。一次式的內層只貢獻它的係數。要確認第一個結果，把立方展開成 $x^6+3x^4+3x^2+1$x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1，求導得 $6x^5+12x^3+6x$6x⁵ + 12x³ + 6x，代入 x = 1：6 + 12 + 6 = 24。

1. 把式子讀成「先做這個，再做那個」。${\left(3x+1\right)}^5$(3x + 1)⁵ 的意思是先把 3x 加 1，再把結果取五次方。
2. 對外層求導，內層保持原樣：$5{\left(3x+1\right)}^4$5(3x + 1)⁴。
3. 乘以內層的導數，也就是 3：$15{\left(3x+1\right)}^4$15(3x + 1)⁴。

$\sin \left(x^2\right)\to \cos \left(x^2\right)\times 2x$sin(x²) → cos(x²) × 2x.

最後那次乘法，是最常被漏掉的一步。

詳見 連鎖律。

三角函數怎麼求導？

正弦的導數是餘弦，餘弦的導數是負的正弦，前提是角度用弧度。所以 y = 3 sin x + 2 cos x 的導數是 3 cos x − 2 sin x，在 x = 0 處的斜率是 3 × 1 − 2 × 0 = 3。求導四次會回到正弦：sin、cos、−sin、−cos、sin。這條法則建立在一個極限上：當 h 縮小時，$\sin h/h$sin h / h 趨近 1，而這只在弧度下成立。展開 sin(x + h)，減去 sin x，再除以 h，剩下的恰好是 cos x。用角度的話，那個極限是 $\frac{\pi }{180}$π/180，每個導數都會帶著這個因子。角度前面有係數時要用連鎖律，所以 sin 5x 的導數是 5 cos 5x，而不是 cos 5x。圖形也吻合：正弦在 $\frac{\pi }{2}$π/2 達到最高點，那裡切線是平的，餘弦是 0；它以斜率 cos 0 = 1 穿過原點往上爬。

證明用到極限與連續（英文）裡 sin x / x 的極限。

tan x = sin x / cos x，所以適用商法則。分子是 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$cos²x + sin²x，等於 1，而 $1/{\cos }^{2}x$1 / cos²x 就是 ${\sec }^{2}x$sec²x。

同樣的方法得到 $\sec x\to \sec x\tan x$sec x → sec x tan x、$\mathrm{cosec}x\to -\mathrm{cosec}x\cot x$cosec x → −cosec x cot x 和 $\cot x\to -{\mathrm{cosec}}^{2}x$cot x → −cosec²x。詳見 三角函數的微分和tan x 與倒數比的微分。

e 是什麼，為什麼重要？

e 是一個約等於 2.718 的數，它讓 $y=e^x$y = eˣ 在每一點的斜率都等於它的高度，所以 $e^x$eˣ 的導數就是它自己。每個指數函數 $b^x$bˣ 的斜率都和它的高度成正比；當 $2^x$2ˣ 時這個常數小於 1，當 $3^x$3ˣ 時大於 1，而 e 是兩者之間讓它恰好等於 1 的底數。這很重要，因為以和大小成正比的速率增長——例如人口和冷卻——可以用 $e^x$eˣ 寫出，不帶任何多餘的常數，而它的反函數 ln x 有簡單的導數 $\frac{1}{x}$1/x。任何其他底數都是喬裝的 e，因為 $b^x=e^{x\ln b}$bˣ = e^(x ln b)，所以連鎖律給出導數 $b^x\ln b$bˣ ln b。指數裡的係數會乘出來：$e^{3x}$e^(3x) 的導數是 $3e^{3x}$3e^(3x)。切線可以說明這一點：因為斜率等於高度，每條切線都在它的切點左邊一個單位處和 x 軸相交，所以 x = 1 處的切線在 1 − 1 = 0 處穿過 x 軸。

對於 ln x，寫成 $e^y=x$eʸ = x，兩邊同時求導：$e^y\frac{dy}{dx}=1$eʸ dy/dx = 1，所以 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$dy/dx = 1/eʸ = 1/x。

以任何 a 為底的對數都是 $\ln x/\ln a$ln x / ln a，所以 ${\log }_{a}x$logₐ x 的導數是 $\frac{1}{\left(x\ln a\right)}$1/(x ln a)。

詳見 數 e、指數與對數的微分和$a^x$aˣ 與 ${\log }_{a}x$logₐ x 的微分。

如果方程沒有解出 y 呢？

每一項照原樣對 x 求導，再解出 $\frac{dy}{dx}$dy/dx；這就是隱函數微分法。含 y 的項照常求導，並根據連鎖律多出一個因子 $\frac{dy}{dx}$dy/dx，因為 y 取決於 x。對於圓 $x^2+y^2=25$x² + y² = 25，這得到 $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$2x + 2y dy/dx = 0，所以 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$dy/dx = −x/y，在 (3, 4) 處斜率是 $-\frac{3}{4}$−3/4。幾何也吻合：到 (3, 4) 的半徑斜率是 $\frac{4}{3}$4/3，切線和半徑垂直，而 $\left(\frac{4}{3}\right)\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-1$(4/3) × (−3/4) = −1。同時含有兩個字母的項要用乘積法則。對於 xy = 12，求導得 $y+x\frac{dy}{dx}=0$y + x dy/dx = 0，所以 $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$dy/dx = −y/x，在 (3, 4) 處是 $-\frac{4}{3}$−4/3。從來不需要先整理方程，而像 $y^5+y=x$y⁵ + y = x 這樣的曲線根本整理不出來。兩條曲線都通過 (3, 4)，因為 9 + 16 = 25、3 × 4 = 12。

解之前，先把含 $\frac{dy}{dx}$dy/dx 的項集中到同一邊。

$x^2+y^2=25\to 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\to \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$x² + y² = 25 → 2x + 2y dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.

詳見 隱函數微分法。

反函數怎麼求導？

反函數在對應點的斜率是原函數斜率的倒數：如果 f(a) = b，那麼 ${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }\left(b\right)=1/f^{\prime }\left(a\right)$(f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a)。看 $f\left(x\right)=x^3$f(x) = x³，其中 f(2) = 8。$x^3$x³ 在 2 處的斜率是 $3\times 2^2=12$3 × 2² = 12，所以立方根在 8 處的斜率是 $\frac{1}{12}$1/12。這行得通，是因為反函數是原函數對直線 y = x 的鏡射，而這個鏡射把上升和水平距離對調，讓每個斜率都上下顛倒。同樣的一步可以從 $e^x$eˣ 得出 ln x：$e^x$eˣ 的斜率是 $e^2$e²（在 $\left(2,e^2\right)$(2, e²) 處），所以 ln x 的斜率是 $\frac{1}{e^2}$1/e²（在 $x=e^2$x = e² 處），在那裡就是 $\frac{1}{x}$1/x。在 f'(a) = 0 的地方這條規則失效：$x^3$x³ 在 0 處是平的，所以立方根在那裡有垂直切線。直接把立方根寫成 $x^{\frac{1}{3}}$x^(1/3) 求導，得到 $\left(\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{2}{3}}$(1/3)x^(−2/3)，在 8 處是 $\left(\frac{1}{3}\right)\times \left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}$(1/3) × (1/4) = 1/12。

對於 ${\sin }^{-1}x$sin⁻¹ x，先把反函數拆掉：sin y = x。兩邊求導：$\cos y\frac{dy}{dx}=1$cos y dy/dx = 1，所以 $\frac{dy}{dx}=1/\cos y$dy/dx = 1 / cos y，再用畢氏定理把 cos y 換成 $\sqrt{1-x^2}$√(1 − x²)。

對 tan y = x 做同樣的步驟，得到 $\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²)。這兩個導數都是代數式，所以那種形狀的積分，答案會是反三角函數。

再求導一次就得到二階導數，f''(x) 或 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$d²y/dx²：斜率變化的速率。對於 $y=x^2$y = x²，斜率 2x 求導得 2。

二階導數為正，表示曲線像碗一樣向上彎，這正是微分的應用（英文）中判斷極大值和極小值的檢定。詳見 反函數的導數、${\sin }^{-1}x$sin⁻¹ x 與 ${\tan }^{-1}x$tan⁻¹ x 的微分和高階導數。

什麼是雙曲函數？

雙曲函數由指數函數組成：$\cosh x=\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)}{2}$cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2、$\sinh x=\frac{\left(e^x-e^{-x}\right)}{2}$sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 和 $\tanh x=\sinh x/\cosh x$tanh x = sinh x / cosh x。因為 $e^0$e⁰ 等於 1，所以 cosh 0 = 1、sinh 0 = 0。直接從 $e^x$eˣ 求導，sinh x 的導數是 cosh x，cosh x 的導數是 sinh x，沒有負號，這點和餘弦不同。名稱來自 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$cosh²x − sinh²x = 1：點 (cosh t, sinh t) 落在雙曲線 $x^2-y^2=1$x² − y² = 1 上，就像 (cos t, sin t) 落在圓 $x^2+y^2=1$x² + y² = 1 上。大多數恆等式都照抄三角恆等式，但根據奧斯本法則，凡是出現兩個正弦相乘的地方，正負號就要改變，所以 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$cos 2x = 1 − 2 sin²x 變成 $\cosh 2x=1+2{\sinh }^{2}x$cosh 2x = 1 + 2 sinh²x。試試 x = ln 2：那麼 $e^x=2$eˣ = 2 且 $e^{-x}=\frac{1}{2}$e⁻ˣ = 1/2，所以 $\cosh x=\frac{5}{4}$cosh x = 5/4 且 $\sinh x=\frac{3}{4}$sinh x = 3/4，而 $\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$25/16 − 9/16 = 1。

一條在自身重量下自然下垂的鏈子會形成 cosh 曲線，叫做懸鏈線。

要證明 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$cosh²x − sinh²x = 1，把兩個定義平方：$e^x$eˣ 和 $e^{-x}$e⁻ˣ 的平方在相減時互相抵消，而中間項 $\frac{1}{2}$1/2 和 $-\frac{1}{2}$−1/2 剩下 1。

tanh x 的導數是 $1/{\cosh }^{2}x$1 / cosh²x，也就是 sech²x。

反雙曲函數都是對數。寫成 x = sinh y，每一項乘以 $e^y$eʸ，得到一個關於 $e^y$eʸ 的二次方程，解出來，捨去負根，再取對數：arsinh $x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$x = ln(x + √(x² + 1))。arcosh 只保留 $x\ge 0$x ≥ 0，因為 cosh 對每個大於 1 的值都取到兩次。詳見 sinh、cosh 與 tanh、恆等式 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$cosh²x − sinh²x = 1、sinh x 與 cosh x 的微分、反雙曲函數和用對數表示反雙曲函數。

值得點名的錯誤

• 忘了內層的導數。連鎖律的最後一步是一次乘法。
• 對乘積逐個因式求導。uv 的導數不是 u'v'。
• 把商法則的分子顛倒。vu′ 在前。
• 用角度。只有在弧度下，sin x 的導數才是 cos x。
• 隱函數微分前先整理方程。沒有任何曲線需要這樣做，有些曲線根本整理不出來。

這些法則背後的極限在極限與連續（英文）中，導數的用法在微分的應用（英文）中，而把每條法則倒過來用就是積分技巧。相關指南：偏微分。