Brüche

Aktualisiert 13. Oktober 2026

Fast alles, was an Brüchen schwerfällt, geht auf einen übersprungenen Gedanken zurück: Die untere Zahl ist keine Menge, sie ist eine Einheit. In $\frac{3}{5}$3/5 sagt die 5, welche Stückgröße gezählt wird — Fünftel — und die 3 sagt, wie viele davon man hat.

Addieren lässt sich nur, was in derselben Einheit gemessen ist, und das ist die ganze Geschichte des gemeinsamen Nenners.

Was ein Bruch tatsächlich sagt

Schneide etwas in gleich große Stücke. Die untere Zahl (der Nenner) sagt, in wie viele Stücke das Ganze geschnitten wurde. Die obere Zahl (der Zähler) sagt, wie viele davon man hält.

$\frac{3}{4}$3/4 heißt: in 4 gleiche Teile schneiden, 3 davon nehmen.

Ein größerer Nenner bedeutet kleinere Stücke

$\frac{1}{8}$1/8 ist kleiner als $\frac{1}{3}$1/3, obwohl 8 größer ist als 3. Einen Kuchen in acht Stücke zu schneiden gibt pro Stück weniger als ihn in drei zu schneiden.

Erweitern: gleichwertige Brüche

Gleichwertige Brüche sind Brüche, die dieselbe Menge benennen, und du machst einen, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst. Nimm $\frac{3}{4}$3/4 und multipliziere beide Teile mit 2: Du erhältst $\frac{6}{8}$6/8, und sechs Achtel eines Balkens decken genau so viel ab wie drei Viertel. Jedes Viertel wurde in 2 Achtel geschnitten, also gibt es doppelt so viele Stücke, jedes halb so groß. Deshalb bleibt die Menge gleich: Zähler und Nenner mit 2 zu multiplizieren heißt, mit $\frac{2}{2}$2/2 zu multiplizieren, und das ist 1. Es geht schief, wenn du nur eine Zahl änderst oder addierst statt multiplizierst. 1 zu beiden Teilen von $\frac{1}{2}$1/2 zu addieren ergibt $\frac{2}{3}$2/3, was mehr ist als eine Hälfte, also sind die beiden nicht gleichwertig. Um zwei Brüche zu prüfen, multipliziere über Kreuz: Für $\frac{3}{4}$3/4 und $\frac{6}{8}$6/8 ist 3 × 8 = 24 und 4 × 6 = 24, und gleiche Produkte bedeuten gleiche Brüche.

Die ganze Erklärung mit Abbildungen und Fragen: Was macht zwei Brüche gleichwertig?.

Kürzen

Um einen Bruch zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und machst weiter, bis keine Zahl größer als 1 mehr beide teilt. Für $\frac{12}{30}$12/30 teilen beide Zahlen durch 6, denn 12 = 2 × 6 und 30 = 5 × 6, also kürzt sich $\frac{12}{30}$12/30 zu $\frac{2}{5}$2/5. Beide Teile durch 6 zu teilen heißt, durch $\frac{6}{6}$6/6 zu teilen, und das ist 1, also ändert sich die Menge nicht; die Stücke werden nur größer. Der schnellste Weg ist, einmal durch den größten gemeinsamen Teiler zu teilen. Findest du ihn nicht, teile durch irgendeinen gemeinsamen Teiler und schau noch einmal: $\frac{12}{30}$12/30 halbiert sich zu $\frac{6}{15}$6/15, und $\frac{6}{15}$6/15 teilt durch 3 zu $\frac{2}{5}$2/5, dieselbe Antwort in zwei Schritten. Der Fall, auf den du achten musst, ist ein Bruch, der schon vollständig gekürzt ist, wie $\frac{7}{12}$7/12, wo keine Zahl außer 1 beide teilt. Zur Probe bestätigst du, dass der neue Zähler und Nenner keinen Teiler gemeinsam haben, und multiplizierst dann zurück: 2 × 6 = 12 und 5 × 6 = 30.

$\frac{18}{24}\to$18/24 → beide durch $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4. $\frac{8}{12}\to$8/12 → beide durch $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3.

Zweimal halbieren und dann durch 5 teilen führt zum selben Ergebnis: $\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5.

Wie vergleicht man zwei Brüche?

Um zwei Brüche zu vergleichen, gibst du ihnen denselben Nenner, und dann ist der größere Zähler der größere Bruch. Um $\frac{2}{3}$2/3 und $\frac{3}{4}$3/4 zu vergleichen, schreibst du beide in Zwölfteln um: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12 und $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$3/4 = 9/12, also ist $\frac{3}{4}$3/4 größer. Das funktioniert, weil du nur noch zählen musst, sobald die Stücke gleich groß sind. Zwei Abkürzungen ersparen dir das Umschreiben. Stimmen die Nenner schon überein, vergleichst du die Zähler. Stimmen die Zähler überein, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer, weil weniger Schnitte größere Stücke ergeben: $\frac{2}{5}$2/5 ist mehr als $\frac{2}{7}$2/7. Stimmt keins von beiden überein, multiplizierst du über Kreuz, was das Umschreiben in einem Schritt erledigt: Für $\frac{2}{3}$2/3 und $\frac{3}{4}$3/4 ist 2 × 4 = 8 und 3 × 3 = 9, und das größere Produkt steht beim größeren Bruch, $\frac{3}{4}$3/4. Zur Probe subtrahierst du den kleineren vom größeren: $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 = 1/12, und eine Differenz über null bestätigt die Reihenfolge.

Gleicher Nenner: die Zähler vergleichen

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, denn fünf Achtel sind mehr Achtel als drei.

Gleicher Zähler: der größere Nenner ist der kleinere Bruch

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8 — gleich viele Stücke, aber Fünftel sind größer als Achtel.

Weder noch: über Kreuz multiplizieren

Um $\frac{3}{5}$3/5 und $\frac{5}{8}$5/8 zu vergleichen, multipliziere jeden Zähler mit dem Nenner des anderen.

3 × 8 = 24 gegen 5 × 5 = 25, also ist $\frac{5}{8}$5/8 größer.

Mit einer Hälfte vergleichen

Die schnellste Prüfung überhaupt: Verdopple den Zähler und sieh, wo er gegenüber dem Nenner landet. $\frac{7}{16}$7/16 — das Doppelte von 7 ist 14, weniger als 16, also unter einer Hälfte.

Wie addiert und subtrahiert man Brüche?

Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, gibst du ihnen zuerst denselben Nenner, dann addierst oder subtrahierst du die Zähler und behältst den Nenner. Für $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$2/3 + 1/5 teilen sowohl 3 als auch 5 in 15, also $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$2/3 = 10/15 und $\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$1/5 = 3/15, und $\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$10/15 + 3/15 = 13/15. Der Nenner bleibt 15, weil er die Größe der Stücke benennt, und Stücke einer Größe zu addieren ändert ihre Größe nicht. Deshalb ist $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 auch nicht $\frac{2}{5}$2/5: Halbe und Drittel sind unterschiedliche Stücke, und sie lassen sich erst zusammen zählen, wenn beide Sechstel sind. Die Subtraktion nutzt dieselben Schritte: $\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$2/3 − 1/5 = 10/15 − 3/15 = 7/15. Ein Schritt kommt dazu, wenn der Zähler der Antwort größer ist als ihr Nenner, wie bei $\frac{5}{4}$5/4, das du als gemischte Zahl $1\frac{1}{4}$1 1/4 umschreibst. Zur Probe schätze: $\frac{2}{3}$2/3 ist etwas weniger als 1 und $\frac{1}{5}$1/5 ist klein, also ist $\frac{13}{15}$13/15, knapp unter 1, die richtige Größenordnung.

Gleicher Nenner: Zähler addieren, Nenner behalten

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7.

Verschiedene Nenner: erst gleichnamig machen

Suche eine Zahl, in die beide Nenner passen, schreibe beide Brüche darauf um, und addiere dann die Zähler.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\to$1/3 + 1/4 → Zwölftel $\to \frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$→ 4/12 + 3/12 = 7/12.

$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\to$2/5 + 1/2 → Zehntel $\to \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$→ 4/10 + 5/10 = 9/10.

Die beiden Nenner zu multiplizieren liefert immer einen gemeinsamen Nenner, und das klappt ausnahmslos. Es liefert nur manchmal eine größere Zahl als nötig: Für $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 könntest du 24 nehmen, aber 12 reicht und lässt weniger zu kürzen übrig.

Subtrahieren ist derselbe Griff

$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to$3/4 − 2/3 → Zwölftel $\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$→ 9/12 − 8/12 = 1/12.

Gemischte Zahlen: die Ganzen getrennt behandeln

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, und $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, also $4\frac{1}{4}$4 1/4.

Wenn beim Subtrahieren der Bruchteil nicht reicht, borge dir ein Ganzes und wandle es in Stücke um: $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → geborgt: $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

Multiplizieren und dividieren

Um Brüche zu multiplizieren, multiplizierst du die Zähler miteinander und die Nenner miteinander: $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig, weil Multiplizieren einen Teil von einem Teil nimmt: drei Viertel von zwei Fünfteln ist ein kleineres Stück als jedes von beiden. Um durch einen Bruch zu teilen, drehst du den zweiten Bruch um und multiplizierst. Für $\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$3/4 ÷ 1/8 drehst du $\frac{1}{8}$1/8 zu $\frac{8}{1}$8/1 um und multiplizierst: $\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$3/4 × 8/1 = 24/4 = 6. Das funktioniert, weil die Division fragt, wie viele Achtel in drei Viertel passen, und jedes Viertel enthält 2 Achtel, also enthalten drei Viertel 6. Nur der zweite Bruch wird umgedreht, nie der erste. Eine gemischte Zahl muss zuerst zu einem unechten Bruch werden: $1\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$1 1/2 × 2/3 wird zu $\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$3/2 × 2/3 = 6/6 = 1. Zur Probe einer Division multiplizierst du die Antwort mit dem Bruch, durch den du geteilt hast: $6\times \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6 × 1/8 = 6/8 = 3/4, die Zahl, mit der du angefangen hast.

Die ganze Erklärung mit Abbildungen und Fragen: Brüche multiplizieren und dividieren.

Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

Drei Schreibweisen für einen Gedanken. Ein Bruch ist eine Division, die noch aussteht: $\frac{3}{4}$3/4 ist 3 ÷ 4 = 0.75, also 75 %.

Die ganze Erklärung mit Abbildungen und Fragen: Die Brüche, die man auf einen Blick kennen sollte.

Die vier Fehler, die einen Namen verdienen

• Die Nenner addieren. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 ist 1, nicht $\frac{2}{4}$2/4. Der Nenner ist die Einheit; er sammelt sich nicht an.
• Einen größeren Nenner als größeren Bruch lesen. $\frac{1}{8}<\frac{1}{3}$1/8 < 1/3. Mehr Schnitte, kleinere Stücke.
• Nur den Zähler kürzen. Was du mit der einen Zeile machst, machst du mit der anderen, sonst verschiebt sich der Wert.
• Vor dem Multiplizieren einen gemeinsamen Nenner suchen. Falsch ist es nicht, aber es ist vergeudete Arbeit — die Multiplikation braucht keine gleichen Einheiten.

Für die vollständige Lernleiter — unechte Brüche und gemischte Zahlen, Bruchteile von Größen, drei Brüche auf einmal ordnen, und zu jeder Sprosse eine bebilderte Lektion — siehe gleichwertige Brüche und gemischte Zahlen (auf Englisch).