積分技巧

更新 2026年10月7日

微分遵循一套永遠有效的規則。積分沒有單一的程序，所以要以一組技巧來學，而真正的功夫在於讀出被積函數的形狀，認出它需要哪一種技巧。

積分是什麼？

積分問的是微分的反方向：哪個函數的導數是這個？那個函數叫做反導函數，每個答案都可以透過求導來檢查。對 x 的冪，把次方加一，再除以新的次方，所以 $6x^2$6x² 積分得 $2x^3+C$2x³ + C，因為 6 ÷ 3 = 2。這條規則恰好抵銷冪法則：對 $2x^3$2x³ 求導會把 3 拿下來，抵消掉那次除法，並把次方降回 2。常數因子留在外面，和則逐項積分，所以 4x + 3 得到 $2x^2+3x+C$2x² + 3x + C，其中 + C 涵蓋求導時消失的任何常數。只有 $x^{-1}$x⁻¹ 不適用這條規則，因為新的次方會是 0；$\frac{1}{x}$1/x 改為積分得 ln|x| + C。對 $2x^3+C$2x³ + C 求導得回 $6x^2$6x²，因為 3 × 2 = 6，而 C 消失了。詳見 反導函數。

$x^3$x³ 積分得 $\frac{x^4}{4}$x⁴/4，用的是同一條規則。詳見 冪函數的積分。

為什麼總有一個 + C？

求導會去掉任何常數項，所以積分無法分辨原本是哪個常數，而 + C 代表所有可能的常數。函數 $x^2$x²、$x^2+7$x² + 7 和 $x^2-100$x² − 100 求導都得 2x，所以 2x 的積分是一族函數 $x^2+C$x² + C，C 的每一個值對應一條平行的曲線。把曲線上下平移永遠不會讓它傾斜，所以這族裡的每一條在同一個 x 的斜率都相同。多一個條件就能挑出單一的一條：通過 (2, 9)，則 9 = 4 + C，所以 C = 5，函數是 $x^2+5$x² + 5。在微分方程裡，這個條件叫初始條件。定積分不需要 C，因為它在 F(b) − F(a) 中互相抵消。把 x = 2 代入 $x^2+5$x² + 5 得 4 + 5 = 9，正是要求的高度，而那裡的斜率是 2 × 2 = 4。

詳見 求積分常數。

積分符號到底在說什麼？

符號 $\int$∫ 是一個拉長的 S，代表求和（sum），而 $\int f\left(x\right)dx$∫ f(x) dx 的意思是：把高為 f(x)、寬為 dx 的細條加起來。函數 f(x) 叫被積函數，下方和上方的數字是積分的上下限，也就是加總開始和結束的地方。常數 3 從 x = 1 積到 x = 5，就是把高為 3 的細條加滿寬度 4，因為 5 − 1 = 4，所以總和是 3 × 4 = 12，也就是一個長方形的面積。這個記號記錄了答案是怎麼建構出來的：高乘以寬，加總起來，再把寬度縮小到總和變得精確。dx 指出被加總的變數，當式子裡還有其他字母時這很重要：用 dx 積分時，任何 y 都保持不變。沒有上下限時，這個符號要求的是反導函數加一個常數，而不是一個數。用反導函數 3x 也得到 15 − 3 = 12。詳見 積分符號怎麼讀。

dx 本身有它的意義。$\frac{dy}{dx}$dy/dx 原本是「垂直變化除以水平變化」，這兩部分可以分開：如果 $y=x^2$y = x²，那麼 dy = 2x dx。代換積分正是靠這一點。詳見 微分量。

積分為什麼能量面積？

定積分是一串長方形面積之和的極限：把區域切成寬為 $\Delta x$Δx 的細條，把每一條當成高為 f(x) 的長方形，再把面積加起來 $f\left(x\right)\Delta x$f(x) Δx。對 y = x 從 0 到 2，取四條寬為 $\frac{1}{2}$1/2 的細條、用右端點的高度，得到 $\left(\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+2\right)\times \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$(1/2 + 1 + 3/2 + 2) × 1/2 = 5/2，比真正的面積 2 大。基本定理省去了細條：從 a 到 b 的面積，對任何反導函數 F 都等於 F(b) − F(a)，因為到 x 為止的面積是以 f(x) 的速率增長的。要求總面積還需要多一步，因為在軸線下方的區域算成負的：在每個交點處切開，再把各塊的大小相加。對 y = x − 1 從 0 到 2，積分是 0，但面積是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$1/2 + 1/2 = 1。y = x 下方的三角形面積是 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$1/2 × 2 × 2 = 2，和在 2 處的 $\frac{x^2}{2}$x²/2 相符。詳見 定積分。

每條細條的高度可以在它的左端、右端或中點讀取。在上升的曲線上，左和低估，右和高估。用西格瑪記法，這個和是 $\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\Delta x$Σ f(xᵢ) Δx from i = 1 to n；讓 n 趨向無限大，$\sum$Σ 就變成 $\int$∫，$\Delta x$Δx 就變成 dx。詳見 左、右與中點黎曼和和用西格瑪記法寫黎曼和。

設 A(x) 是曲線下方到 x 為止的面積。把 x 增加一點點，面積就多出一條高為 f(x) 的細條，所以 A 的導數是 f。詳見 微積分基本定理。

軸線下方的面積算成負的。sin x 從 0 到 $\pi$π 的拱形積分是 2，從 $\pi$π 到 $2\pi$2π 的積分是 −2，整個週期的積分是 0。要求總面積，就在交點處切開，再把大小相加：2 + 2 = 4。詳見 軸線下方的面積。

交換上下限會改變正負號，常數因子可以提到外面，從 a 到 b 加上從 b 到 c 合起來就是從 a 到 c。詳見 定積分的性質。

函數套著函數，怎麼積分？

代換積分就是倒過來讀的連鎖律：當積分裡含有內層函數的導數作為因式時，把內層叫做 u，替換掉每一個 x，再對 u 積分。對於 $3x^2{\left(x^3+2\right)}^4$3x²(x³ + 2)⁴ 的積分，令 $u=x^3+2$u = x³ + 2，所以 $du=3x^{2}dx$du = 3x² dx，積分變成 $\int u^{4}du=\frac{u^5}{5}+C$∫ u⁴ du = u⁵/5 + C，也就是 $\frac{{\left(x^3+2\right)}^5}{5}+C$(x³ + 2)⁵/5 + C。因式 $3x^2$3x² 恰好被 du 吸收，只剩下一個單純的冪。定積分只差一步：把上下限換成 u 的值，就再也不必回到 x。x 從 0 到 1 時，u 從 2 到 3，所以積分是 $\frac{\left(3^5-2^5\right)}{5}$(3⁵ − 2⁵)/5，而 243 − 32 = 211，得到 $\frac{211}{5}$211/5。合適的 u 通常是括號裡或根號下的式子，而且不會留下任何 x。用連鎖律對 $\frac{{\left(x^3+2\right)}^5}{5}$(x³ + 2)⁵/5 求導，會把因式 $3x^2$3x² 還原回來。詳見 代換積分法。

1. 選擇 u，通常是括號裡或根號下的式子。
2. 求出 $\frac{du}{dx}$du/dx，把 dx 用 du 表示。
3. 替換掉每一個 x。如果還剩下一個，就是 u 選錯了。
4. 對 u 積分，再把 x 的式子寫回去。如果是定積分，改為換算上下限。

$\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{5}dx$∫ 2x(x² + 1)⁵ dx：2x 是 $x^2+1$x² + 1 的導數，所以令 $u=x^2+1$u = x² + 1，du = 2x dx。積分變成 $\int u^{5}du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{{\left(x^2+1\right)}^6}{6}+C$∫ u⁵ du = u⁶/6 + C = (x² + 1)⁶/6 + C。

當內層是一次式 ax + b 時，它的導數是常數 a，有一條捷徑：把內層當成普通的 x 來積分，再除以 a。$\int \cos 3xdx=\left(\frac{1}{3}\right)\sin 3x+C$∫ cos 3x dx = (1/3) sin 3x + C。彎曲的內層，導數會隨 x 改變，所以這條捷徑不適用。詳見 積分 f(ax + b)。

乘積怎麼積分？

分部積分是倒過來讀的乘積法則：$\int udv=uv-\int vdu$∫ u dv = uv − ∫ v du。選求導後會變簡單的因式當作 u。對於 $\int x\cos xdx$∫ x cos x dx，令 u = x、dv = cos x dx，所以 du = dx、v = sin x，積分等於 $x\sin x-\int \sin xdx$x sin x − ∫ sin x dx，也就是 x sin x + cos x + C。這個公式就是 uv 的乘積法則，積分後再移項。新的積分必須更容易，這就是為什麼多項式搭配 $e^x$eˣ、sin x 或 cos x 時要當作 u：求導會降低它的次方。次方更高就需要更多輪，所以 $x^2{e}^x$x² eˣ 要做兩輪，得到 $\left(x^2-2x+2\right)e^x+C$(x² − 2x + 2)eˣ + C。從 0 到 $\pi$π，第一個答案得 (0 − 1) − (0 + 1) = −2，而對 x sin x + cos x 求導會得回 x cos x。詳見 分部積分法。

$\int x{e}^{x}dx$∫ x eˣ dx：令 u = x 且 $dv=e^{x}dx$dv = eˣ dx，所以 du = dx 且 $v=e^x$v = eˣ。於是 $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C。如果新的積分比原來的更難，就換一個 u。

$\int \ln xdx$∫ ln x dx 用分部積分，取 u = ln x、dv = 1 dx。$\int e^x\sin xdx$∫ eˣ sin x dx 做兩輪後會回到自己；把原來的積分當成未知數，解出它來。

三角函數怎麼積分？

積分是微分的逆運算，所以 cos x 積分得 sin x + C，sin x 積分得 −cos x + C，因為 cos x 的導數是 −sin x。把其他標準結果倒過來，得到 ${\sec }^{2}x\to \tan x$sec²x → tan x 和 $\sec x\tan x\to \sec x$sec x tan x → sec x。角度用弧度時，cos x 從 0 到 $\frac{\pi }{2}$π/2 下方的面積是 $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin 0$sin(π/2) − sin 0，也就是 1 − 0 = 1。餘弦前面的負號是最常被弄丟的部分。這些結果需要弧度，因為只有在弧度下，sin x 的導數才恰好是 cos x；用角度的話，每個結果都會多一個因子 $\frac{180}{\pi }$180/π。冪和乘積會改變方法。${\sin }^{2}x$sin²x 不是任何標準函數的導數，所以要先用二倍角公式改寫，而 sin x cos x 變成 $\frac{\left(\sin 2x\right)}{2}$(sin 2x)/2，積分得 $-\frac{\left(\cos 2x\right)}{4}+C$−(cos 2x)/4 + C。對 −cos x + C 求導會得回被積函數 sin x，C 則消失了。

${\sin }^{2}x$sin²x 不是任何標準函數的導數，所以用二倍角公式改寫：${\sin }^{2}x=\frac{\left(1-\cos 2x\right)}{2}$sin²x = (1 − cos 2x)/2，而 $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\left(\sin 2x\right)}{4}+C$∫ sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C。${\cos }^{2}x=\frac{\left(1+\cos 2x\right)}{2}$cos²x = (1 + cos 2x)/2 也用同樣的方法積分。這些公式在弧度與三角恆等式（英文）中；詳見 ${\sin }^2$sin² 與 ${\cos }^2$cos² 的積分。

tan x 是 sin x 除以 cos x，而分子是分母的導數的相反數，所以 $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$∫ tan x dx = −ln|cos x| + C = ln|sec x| + C。詳見 ${\sec }^{2}x$sec²x、sec x tan x 與 tan x 的積分。

指數、對數和分式怎麼積分？

$e^x$eˣ 的導數是它自己，所以 $\int e^{x}dx=e^x+C$∫ eˣ dx = eˣ + C，而 $e^{2x}$e^(2x) 積分得 $\frac{e^{2x}}{2}+C$e^(2x)/2 + C。因為 ln x 的導數是 $\frac{1}{x}$1/x，$\frac{1}{x}$1/x 的積分是 ln|x| + C；絕對值讓它在 x 為負時也有定義。對數填補了冪法則留下的空缺，因為把次方 −1 加一，就得除以 0。分子是分母的導數的分式，積分得分母的對數，因為連鎖律讓 $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$f'(x)/f(x) 成為 ln f(x) 的導數。所以 $\frac{3x^2}{\left(x^3+1\right)}$3x²/(x³ + 1) 積分得 $\ln |x^3+1|+C$ln|x³ + 1| + C。分母能因式分解的，先拆成部分分式。用伸縮可以解釋為什麼 ln 4 − ln 2 = ln 2：$\frac{1}{x}$1/x 下方從 2 到 4 的那一條，就是從 1 到 2 的那一條變成兩倍寬、一半高，而 $2\times \frac{1}{2}=1$2 × 1/2 = 1。詳見 指數與對數的積分。

用連鎖律對 ln f(x) 求導得 $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$f'(x)/f(x)。倒過來讀：當分子是分母的導數時，積分就是分母的 ln。$\int \frac{2x}{\left(x^2+1\right)}dx=\ln \left(x^2+1\right)+C$∫ 2x/(x² + 1) dx = ln(x² + 1) + C，因為 2x 是 $x^2+1$x² + 1 的導數。先對分母求導，看看分子是否吻合。詳見 f' 除以 f 的積分。

如果分母反而可以因式分解，就拆成部分分式。把 $\frac{1}{\left(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right)}$1/((x − 1)(x + 1)) 寫成 $\frac{A}{\left(x-1\right)}+\frac{B}{\left(x+1\right)}$A/(x − 1) + B/(x + 1)，去分母後，代入 x = 1 求 A，代入 x = −1 求 B。每一塊都是常數除以一次的括號，所以每一塊都積分成對數。重複的因式，每個次方要各寫一個分式；不能分解的二次式，分子要保留成 Ax + B。詳見 部分分式積分法。

哪些積分會積出反函數？

微分法則（英文）裡的兩個導數，倒過來讀就給出反三角函數的答案。因為 ${\tan }^{-1}x$tan⁻¹x 的導數是 $\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²)，$\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²) 積分得 ${\tan }^{-1}x$tan⁻¹x；又因為 ${\sin }^{-1}x$sin⁻¹x 的導數是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1/√(1 − x²)，$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1/√(1 − x²) 積分得 ${\sin }^{-1}x$sin⁻¹x。$\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²) 下方從 0 到 1 的面積，就是正切為 1 的那個角，$\frac{\pi }{4}$π/4。把 1 換成 $a^2$a²，答案就變成 $\left(\frac{1}{a}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$(1/a) tan⁻¹(x/a) 和 ${\sin }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$sin⁻¹(x/a)，所以 $\frac{1}{\left(9+x^2\right)}$1/(9 + x²) 得 $\left(\frac{1}{3}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$(1/3) tan⁻¹(x/3) + C，因為 9 = 3 × 3。代換 $x=\tan \theta$x = tan θ 可以解釋原因：$1+x^2$1 + x² 變成 ${\sec }^2\theta$sec²θ，正好消去 $dx={\sec }^2\theta d\theta$dx = sec²θ dθ。沒有根號時，$\frac{1}{\left(1-x^2\right)}$1/(1 − x²) 則要用部分分式。對 $\left(\frac{1}{3}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$(1/3) tan⁻¹(x/3) 求導會出現兩個 $\frac{1}{3}$1/3 因子，而 $\left(\frac{1}{3}\right)\times \left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}$(1/3) × (1/3) = 1/9 把結果變成 $\frac{1}{\left(9+x^2\right)}$1/(9 + x²)；詳見 積出 ${\tan }^{-1}$tan⁻¹ 與 ${\sin }^{-1}$sin⁻¹ 的積分。

當 $\sqrt{a^2-x^2}$√(a² − x²) 出現、旁邊卻沒有 x 的因式時，代換 $x=a\sin \theta$x = a sin θ。於是 $a^2-x^2=a^2{\cos }^2\theta$a² − x² = a² cos²θ，根號變成 $a\cos \theta$a cos θ，而 $dx=a\cos \theta d\theta$dx = a cos θ dθ。根號裡是減號用正弦，是加號用正切。詳見 選擇三角代換。

根號下是加號時，答案是雙曲函數：$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$1/√(x² + 1) 積分得 arsinh x，$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$1/√(x² − 1) 積分得 arcosh x。兩者都是對數，所以兩種寫法都正確。詳見 積出 arsinh 與 arcosh 的積分。

怎麼選擇方法？

先讀被積函數的形狀，再依序問：它是標準結果或一個冪嗎？分子是分母的導數、積出對數嗎？內層函數的導數在不在、需要代換嗎？它是兩個不相關家族的乘積，例如 x 和 $e^x$eˣ，需要分部積分嗎？它是分母能因式分解的分式、需要部分分式嗎？它是 ${\sin }^{2}x$sin²x 或 ${\cos }^{2}x$cos²x、需要二倍角公式嗎？所以 $\frac{x}{\left(x^2+4\right)}$x/(x² + 4) 在差一個因子 2 的情況下通過第二個檢驗，積分得 $\left(\frac{1}{2}\right)\ln \left(x^2+4\right)+C$(1/2) ln(x² + 4) + C。前面的檢驗比較快，而且一個被積函數可能通過好幾個：$x{e}^{x^2}$x e^(x²) 看起來像乘積，但用代換一行就做完了。有些，例如 $e^{-x^2}$e^(−x²)，一個也通不過，這時就交給數值方法。對那個對數求導，得到 2x 除以分母，而 $\frac{1}{2}\times 2=1$1/2 × 2 = 1 留下 $\frac{x}{\left(x^2+4\right)}$x/(x² + 4)。

值得點名的錯誤

• 漏掉 + C。不定積分是一族曲線。
• 代換後還留著 x。每一個 x 都要換掉，包括 dx 裡的那一個。
• 把帶正負號的面積當成總面積。先在交點處切開。
• 分部積分選錯了因式。如果新的積分更難，就交換。
• 忘了 ln|x| 的絕對值。少了它，結果在 x 為負時就不成立。

被倒過來用的規則在微分法則（英文）中，它們的應用在積分的應用與極座標曲線（英文）中，定義背後的極限則在極限與連續（英文）中。