多邊形、立體圖形與表面積

更新 2026年10月7日

立體圖形的體積，來自把它切成你已經會量的小塊；表面積則來自把它攤平，再把各個面加起來。下面每一個公式，都是用這兩個動作中的一個推出來的。

四邊形怎樣才算「特殊」？

四邊形是有四條直線邊的平面圖形，它的內角和是 360°，因為一條對角線把它分成兩個三角形，2 × 180 = 360。當它保持某些邊或角相等時，就會得到特別的名稱：長方形有四個直角，平行四邊形的對邊平行，梯形則只保證有一組對邊平行。計算時用的就是這些性質。在一個有 70° 內角的平行四邊形裡，相鄰的角是 180 − 70 = 110 度，而且對角相等。這是平行造成的：每一條邊都截過一組平行線，形成的同側內角和是 180°。名稱只保證它所規定的性質。看起來像正方形的圖形，在證明它的四條邊和四個角都相等之前，不能說它就是正方形，而梯形的兩腰也不必一樣長。可以用內角和來檢驗：70 + 110 + 70 + 110 = 360。

這些名稱是層層包含的。正方形是四條邊都相等的長方形，長方形是四個角都是直角的平行四邊形。所以，凡是對每個平行四邊形都成立的性質，對每個長方形和每個正方形也成立，一個證明就涵蓋了三者。詳見 特殊四邊形。

菱形的四條邊都相等。箏形有兩組相鄰的邊各自相等。這兩種圖形的對角線都互相垂直，所以面積是兩條對角線乘積的一半：面積 $=d_1\times d_2$= d₁ × d₂ / 2。這通常是解箏形題目最快的做法。詳見 菱形和箏形。

怎麼求不規則圖形的面積？

求不規則圖形的面積，可以把它切成你會量的長方形和三角形，再把各塊的面積加起來；也可以從較大的圖形裡減掉缺掉的部分。L 形通常用第二種方法比較快。例如一個 10 m 乘 8 m 的長方形，缺了一個 4 m 乘 3 m 的角：長方形是 10 × 8 = 80 平方公尺，缺口是 4 × 3 = 12，所以 L 形的面積是 80 − 12 = 68。兩種方法都行得通，是因為互不重疊又沒有空隙的各塊，加起來就是整體。遇到斜著的邊，就要用三角形，面積是底乘高的一半，所以底 6 m、高 4 m 的三角形要加上 6 × 4 ÷ 2 = 12。缺少的邊長，常常可以用另外兩條邊相減得到。把 L 形換個方向切，可以檢驗答案：10 × 5 + 6 × 3 = 68。

任何正確的切法，得到的面積都一樣，所以選需要未知邊長最少的那一種。詳見 複合圖形的面積。

怎麼求稜柱或圓錐的體積？

稜柱沿著長度方向的截面處處相同，所以它的體積是截面的面積乘以長度。一個截面積為 6 平方公分、長 10 cm 的三角柱，體積是 6 × 10 = 60 立方公分。圓柱是截面為圓的稜柱，截面積是 $\pi r^2$πr²，所以它的體積是 $\pi r^{2}h$πr²h。詳見 稜柱和圓柱。這個規則成立，是因為稜柱就是許多完全相同的薄層疊起來。圓錐或角錐逐漸縮小到一個點，各層越來越小，它的體積恰好是同底同高稜柱的三分之一。一個底面積 12 平方公分、高 5 cm 的圓錐，體積是 12 × 5 ÷ 3 = 20 立方公分。要用垂直的高，不是斜著的邊。檢驗一下：同底同高的圓柱是 12 × 5 = 60，而 3 × 20 = 60。

用符號寫出來，角錐或圓錐的體積是 $\frac{1}{3}\times$1/3 × 底面積 × 高，不論底面是什麼形狀。詳見 角錐和圓錐。

球面上每一點到球心的距離都是 r。球的體積是 $\frac{4}{3}\pi r^3$4/3 πr³。把球剛好放進半徑為 r、高為 2r 的圓柱裡，球占了圓柱體積的 $\frac{2}{3}$2/3。阿基米德用切片證明了這一點：半球，和一個挖掉圓錐的圓柱，在每個高度的截面積都相等，都是 $\pi \left(r^2-h^2\right)$π(r² − h²)，所以它們的體積相等。圓柱的體積 $\pi r^3$πr³ 減去圓錐的體積 $\frac{\pi r^3}{3}$πr³/3 剩下 $\frac{2}{3}\pi r^3$2/3 πr³ 就是半球的體積，再乘以 2 就是球的體積。詳見 球 和 阿基米德與球的體積。

水箱裡的水怎麼算？

長方形水箱裡的水，本身就是一個長方體。它的長和寬就是水箱的長和寬，高則是水的深度，所以水的體積是 長 × 寬 × 水深。1 公升是 1,000 立方公分，所以一個長 80 cm、寬 50 cm、水深 25 cm 的水箱，裝的水是 80 × 50 × 25 = 100,000 立方公分，也就是 100 公升。大多數水箱題目問的是水面上升或下降多少，同一個公式倒過來就能回答：水深的變化，等於體積的變化除以底面積。往那個水箱倒入 20 公升（也就是 20,000 立方公分）的水，水面會上升 20,000 ÷ 4,000 = 5 cm，因為底面積是 80 × 50 = 4,000 平方公分。長方體的體積 說明這條規則，毫升和公升 說明單位的換算。

同一條規則也適用於把立體放進水裡的情況。一塊 2,000 立方公分的石頭完全沉入水中，會把水位推高和它自己體積相同的量，所以水面上升 2,000 ÷ 4,000 = 0.5 cm。一根立在水底、又露出水面的高柱就不一樣了，因為水用不到柱子所占的那部分底面。在一個 60 cm 乘 50 cm、水深 20 cm 的水箱裡，立一根底面為 20 cm 乘 25 cm 的柱子，留給水的底面積就只剩 3,000 − 500 = 2,500 平方公分，所以那 60,000 立方公分的水，現在深度是 60,000 ÷ 2,500 = 24 cm。這個答案只有在柱子高過 24 cm 時才成立，所以要檢查。算出任何答案之前，先把新的水深和水箱的高度比一比：如果比水箱還高，多出來的部分就溢出去了。全程都用公分和立方公分計算，最後才換成公升。

水在水箱之間流動時，體積不變，只有底面積不同。兩個在底部用管子相連的水箱，最後水深會相同，所以水深等於總體積除以總底面積。一個底面積 2,000 平方公分、水深 30 cm 的水箱，與一個底面積 1,000 平方公分的空水箱相連，水的總體積是 60,000 立方公分，兩個水箱最後的水深都是 60,000 ÷ 3,000 = 20 cm。

水龍頭以固定的速率注水，例如每分鐘 8 公升，在側壁垂直的水箱裡，水深就會以固定的速度上升：第一個水箱每分鐘上升 8,000 ÷ 4,000 = 2 cm。水深對時間的圖形是一條直線，它的斜率等於注水速率除以底面積。兩個水龍頭同時注水，速率相加；一個注水、另一個排水，速率相減；上面比較窄的水箱，在窄的部分水面上升得更快，所以它的圖形是兩段直線，到水箱變窄的地方會變得更陡。速率 和 折線圖 各自說明這兩個概念。

怎麼求表面積？

表面積是立體圖形外側所有面的面積總和，體積則是裡面能裝多少。求表面積時，先把立體圖形攤開成展開圖，讓每個面都平放，再把各個面的面積加起來。一個長 5 cm、寬 3 cm、高 2 cm 的長方體，有三組相同的面：5 × 3 = 15、5 × 2 = 10、3 × 2 = 6 平方公分。每個面都有一個對面，所以把總和乘以 2：2 × (15 + 10 + 6) = 62 平方公分。展開只是移動各個面而不拉伸它們，所以面積不變。曲面必須先攤平，或另用公式：圓柱的側面攤開是一個長方形，球則完全不能攤平。沒有蓋子的開口盒子少一個面，所以要把蓋子那一面省掉。可以數面數來檢查：長方體有六個面，上面的算式用了 2 × 3 = 6。

用字母來寫，長方體的表面積是 2(lw + lh + wh)。詳見 長方體的表面積。

把圓柱想成一個罐頭：有上蓋、下底，和彎曲的標籤。把標籤撕下來，就是一個高為 h 的長方形，它的寬是圓周長 $2\pi r$2πr，所以側面積是 $2\pi$2πrh。再加上兩個圓形底面，每個是 $\pi r^2$πr²，所以整個表面積是 $2\pi r^2+2\pi$2πr² + 2πrh。詳見 圓柱的表面積。

圓錐有兩種高。垂直高 h 是從底面圓心筆直向上到頂點的高度。斜高 l 是從頂點沿斜面向下到底面圓邊緣的長度。半徑、垂直高和斜高構成一個直角三角形，所以 $l^2=h^2+r^2$l² = h² + r²，這是畢氏定理。半徑 3、垂直高 4 的圓錐，斜高是 5。 詳見 圓錐的斜高。

圓錐的側面積是 $\pi rl$πrl。把它沿著斜高剪開再攤平，會得到一個半徑為 l 的扇形，它的弧長就是底面圓周 $2\pi r$2πr，所以它的面積是 $\frac{r}{l}$r/l 乘 $\pi l^2$πl²，也就是 $\pi rl$πrl。再加上底面 $\pi r^2$πr² 就是整個圓錐的表面積。球無法攤平，它的表面積是 $4\pi r^2$4πr²。詳見 圓錐和球。

怎麼在紙上畫立體圖形？

立體圖形畫在紙上，可以畫成從固定方向看的三張平面視圖，也可以畫成等角點陣紙上的一幅圖。俯視圖是從正上方看的視圖，正視圖是從正前方看的視圖，側視圖是從側面看的視圖。每張視圖都是平的，所以長度可以量得很準。以一個長 4 cm、寬 2 cm、高 3 cm 的長方體來說，俯視圖是 4 乘 2 的長方形，正視圖是 4 乘 3，側視圖是 2 乘 3。沿著一個方向直直看過去，會看不到那個方向的深度，只留下兩個真實的長度。反過來由視圖還原立體比較難，因為正方體和圓柱可以有相同的正方形正視圖，所以要三張視圖一起用。每個長度都會出現在兩張視圖中，這就是一個檢驗：長度 4 在俯視圖和正視圖裡都出現，而俯視圖的面積是 4 × 2 = 8 平方公分。

詳見 俯視圖、正視圖和側視圖。

在等角點陣紙上，立體圖形畫在同一幅圖裡：每條稜都沿著三個方向中的一個，從一個點走到下一個點。詳見 在點陣紙上畫立體圖形。

圖形放大或縮小時，面積和體積會怎麼變？

把一個圖形的每個長度都乘以 k，它的面積會乘以 $k^2$k²，體積會乘以 $k^3$k³。一個稜長 2 cm 的正方體，每個面是 4 平方公分，體積是 8 立方公分。把它放大 3 倍，每個面變成 6 × 6 = 36，是原來的 9 倍，體積變成 6 × 6 × 6 = 216，是原來的 27 倍。面積是兩個長度相乘，每個長度都放大 k 倍，所以面積放大 k × k 倍。體積是三個長度相乘，所以放大 k × k × k 倍。已知面積比，取平方根就得到長度比；已知體積比，取立方根。體積比為 8 : 27 的兩個相似水壺，高度比是 2 : 3。用小正方體檢驗：27 × 8 = 216，9 × 4 = 36。

把一個箱子的每個長度都加倍：要包住它需要 4 倍的紙，能裝的東西是 8 倍。 詳見 面積和體積的縮放。

關於立體圖形，兩個值得知道的結果

歐拉公式說，對任何由平面圍成、沒有洞的立體圖形，頂點數 − 稜數 + 面數 = 2。正方體有 8 個頂點、12 條稜、6 個面：8 − 12 + 6 = 2。把它拉成長方體，這些數目都不變，而四角錐是 5 − 8 + 5 = 2。詳見 多面體的歐拉公式。

正多面體（柏拉圖立體）的每個面都是同一種正多邊形，而且每個頂點處相會的面數都相同。每個頂點至少要有三個面相會，而且這些角的和必須小於 360°，否則這個頂點就會攤平。正三角形的角是 60°，所以可以有 3、4 或 5 個面相會。正方形的角是 90°，正五邊形的角是 108°，所以兩者都只能有 3 個面相會。三個正六邊形已經湊成 360°，所以正六邊形根本無法形成頂點。這樣就只剩下恰好五種可能的頂點，而每一種都能做成一個立體。詳見 為什麼正多面體只有五種。

遇到沒見過的立體圖形，怎麼下手？

先判斷這個立體的兩端是否互相平行。如果是，它就是稜柱，不管截面看起來多奇怪，體積都是截面積乘以長度。如果它逐漸縮小到一個點，它就是角錐或圓錐，體積是包住它的稜柱的三分之一。

如果兩者都不是，例如圓柱上面放一個半球，就在接合處把它拆開，分別處理每一塊。體積可以相加，因為各塊占據不同的空間。表面積就不能直接相加，因為兩塊接合時，各自會藏起一個面：半球與圓柱相接的那個圓，不屬於任何一邊的總表面積。

當同一題要求兩個答案時，單位要分開：體積用 cm³，表面積用 cm²。詳見 組合立體的體積和表面積。

值得點名的錯誤

• 把斜高用在體積，或把垂直高用在側面積。 先用畢氏定理換算：$l^2=h^2+r^2$l² = h² + r²。
• 把體積放大的倍數當成長度的倍數。 長度加倍，體積是原來的 8 倍，不是 2 倍。
• 忘了圓柱的兩個底面。 沒有蓋的管子只有一個曲面。封閉的罐子有三個面：側面和兩個圓。
• 漏掉圓錐或角錐的三分之一。 逐漸縮小到一個點的立體，體積是包住它的稜柱的三分之一。

這個主題接續 圖形、面積與周長，用到 直線、角和畢氏定理裡直角三角形的做法，接著通往 全等、圓的定理與變換，縮放規則會在那裡以相似立體的面積比與體積比的形式再次出現。