二次方程式與多項式

更新 2026年10月13日

未知數的最高次方是二的方程式，就是一元二次方程式。它單獨佔一章的原因是：它是最後一族永遠服從一條背得下來的公式的方程式。在它之上的一切 —— 三次、四次、五次 —— 要麼碰運氣因式分解，要麼用數值方法解。

解它的路有三條，而且並不能互相替換。每條回答的問題略有不同，知道該伸手拿哪條，就是這門本事的大半。

怎麼用因式分解解一元二次方程式？

要用因式分解解一元二次方程式，先把所有項挪到一邊，讓另一邊為零，再分解成兩個括號，然後讓每個括號分別等於零。$x^2+5x+6=0$x² + 5x + 6 = 0 分解成 (x + 2)(x + 3) = 0，所以 x = −2 或 x = −3。這兩個括號來自兩個數，它們相乘等於常數項，相加等於 x 的係數：2 和 3，因為 2 × 3 = 6，2 + 3 = 5。這樣成立，是因為如果兩個數相乘等於零，其中一個必須是零。對於 $x^2+x=12$x² + x = 12，寫成 x(x + 1) = 12 什麼也證明不了；要先把12移過去，再把 $x^2+x-12$x² + x − 12 分解成 (x + 4)(x − 3)，所以 x = −4 或 x = 3。把每個根代入原方程式檢驗：x = 3 時，9 + 3 = 12；x = −2 時，4 − 10 + 6 = 0。

應用程式裡因式分解解二次方程式這一課，把尋找這兩個數練到不假思索為止。

分解不動的時候怎麼辦？

當一元二次方程式分解不了時，就用公式解：$x=\left(-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\right)$x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，其中 a、b、c 取自 $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0。對 $x^2+4x+1=0$x² + 4x + 1 = 0 來說，a = 1，b = 4，c = 1。根號下的部分是 16 − 4 = 12，所以 $x=\left(-4\pm \sqrt{12}\right)$x = (−4 ± √12) / 2，化簡後是 $-2\pm \sqrt{3}$−2 ± √3。這個公式就是把配方法在一般方程式上做一次的結果。見公式解，它解釋了$\pm$±和2a的由來。如果 b 是負數，−b 就是正數：對 $x^2-6x+7=0$x² − 6x + 7 = 0，$b^2-4ac$b² − 4ac 是 36 − 28 = 8，所以 $x=\left(6\pm \sqrt{8}\right)$x = (6 ± √8) / $2=3\pm \sqrt{2}$2 = 3 ± √2。根號下是負數就代表沒有實數解。作為檢驗，兩個根相加等於 $-\frac{b}{a}$−b/a：$-2+\sqrt{3}$−2 + √3 和 $-2-\sqrt{3}$−2 − √3 相加是 −4。

$2x^2+3x-4=0\to x=\left(-3\pm \sqrt{9+32}\right)$2x² + 3x − 4 = 0 → x = (−3 ± √(9 + 32)) / $4=\left(-3\pm \sqrt{41}\right)$4 = (−3 ± √41) / 4。

現實裡的二次方程式大多分解不動。整數因式分解是一個又小又走運的子集 —— 這就是課本習題裡滿是它們、物理問題裡幾乎沒有的原因。

公式解是從哪裡來的？

公式解來自配方法，把它在 $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0 這個一般方程式上做一次，而不是每題都單獨做。配方法把 $x^2$x² 項和 x 項變成一個平方括號。對 $x^2+8x+3=0$x² + 8x + 3 = 0，把8取一半，因為 8 ÷ 2 = 4，注意 ${\left(x+4\right)}^2$(x + 4)² 會多帶進一個 $4^2=16$4² = 16。方程式就變成 ${\left(x+4\right)}^2-16+3=0$(x + 4)² − 16 + 3 = 0，也就是 ${\left(x+4\right)}^2=13$(x + 4)² = 13，所以 $x=-4\pm \sqrt{13}$x = −4 ± √13。用字母走一遍同樣的步驟就得到了公式。見推導公式解。當 $x^2$x² 項的係數不是1時，要先把整個方程式除以那個係數；2a 正是從那次除法來的。要檢驗取一半的做法，可以展開：${\left(x+4\right)}^2-13$(x + 4)² − 13 是 $x^2+8x+16-13$x² + 8x + 16 − 13，而 16 − 13 = 3 正是原來的常數項。

配方法把 $x^2+6x-1$x² + 6x − 1 改寫成 ${\left(x+3\right)}^2-10$(x + 3)² − 10：把 6 減半得到括號裡的 3，再減去括號順手帶進來的那個 9，連同原來的 −1。配方法這一課讓「減半」這一步顯得必然，而不是變魔術。

改寫後的形式比根更值錢。${\left(x+3\right)}^2-10$(x + 3)² − 10 一眼就說出：最小值是 −10，在 x = −3 取到 —— 因為一個平方括號永遠不是負的，而且恰好取一次零。

一元二次方程式有幾個解，能在解之前知道嗎？

一元二次方程式有兩個實數解、一個或沒有，判別式 $b^2-4ac$b² − 4ac 能在求解之前就告訴你是哪一種。正數是兩個解，零是一個重根，負數是沒有實數解。對 $2x^2+3x-5=0$2x² + 3x − 5 = 0，判別式是 9 + 40 = 49，所以有兩個根。對 $x^2+2x+5=0$x² + 2x + 5 = 0，判別式是 4 − 20 = −16，所以沒有實數解。判別式就在公式的根號下面：負數沒有實數根，零則讓$\pm$±不產生任何差別。見判別式與根的性質。要求使兩根相等的 k，就把判別式設為零：對 $x^2+kx+9=0$x² + kx + 9 = 0，$k^2-36=0$k² − 36 = 0，所以 k = 6 或 k = −6。檢驗 k = 6：$x^2+6x+9$x² + 6x + 9 就是 ${\left(x+3\right)}^2$(x + 3)²，而 3 × 3 = 9。

同一個量還回答一個看起來不相干的問題：一個二次式會不會取到負值。要是 a 是正的、判別式是負的，拋物線整個坐在軸的上方，這個式子對每個實數 x 都恆為正 —— 這件事在證明裡、在檢查一個模型不會算出胡話時，用個不停。

兩個根加起來是多少？

一元二次方程式的兩個根相加等於 $-\frac{b}{a}$−b/a，相乘等於 $\frac{c}{a}$c/a，所以不用解方程式就能從方程式本身讀出這兩個值。對 $2x^2-7x+3=0$2x² − 7x + 3 = 0，兩根之和是 $\frac{7}{2}$7/2，之積是 $\frac{3}{2}$3/2。解出來能驗證這一點：兩根是3和$\frac{1}{2}$1/2，$3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$3 + 1/2 = 7/2，$3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$3 × 1/2 = 3/2。見兩根之和與兩根之積。這兩個事實都來自因式分解的形式。展開 $a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)$a(x − α)(x − β) 得到 $a{x}^2-a\left(\alpha +\beta \right)x+a\alpha \beta$ax² − a(α + β)x + aαβ，把它逐項對上 $a{x}^2+bx+c$ax² + bx + c，就得出這兩個關係。符號最容易出錯：兩根之和帶負號，之積不帶，所以對 $x^2+5x+6=0$x² + 5x + 6 = 0，兩根之和是 −5，之積是 6，這意味著兩根都是負數。這裡 −2 和 −3 同時滿足兩個條件，因為 −2 + −3 = −5，−2 × −3 = 6。

這反過來成了一件造方程式的工具。知道想要的根，就能倒著把方程式搭出來 —— 這正是構造二次方程式講的：要一個根是 2 和 −5 的方程式，寫下 $x^2-($x² − (和)x + (積$)=x^2+3x-10$) = x² + 3x − 10，一條公式都不用碰。

它還能往上走。三次方程式有三個根，滿足三條對應的關係；三次方程式的根與係數把規律延伸上去，變換多項式的根展示隨之而來的那一招：要找根是原來兩倍的方程式，原來的根從頭到尾都不需要。

一元二次不等式怎麼解？

解一元二次不等式，先求出根，再決定要哪一邊。對 $x^2-x-6<0$x² − x − 6 < 0，這個式子分解成 (x + 2)(x − 3)，所以根是 −2 和 3。拋物線 $y=x^2-x-6$y = x² − x − 6 開口向上，只有在兩根之間才落到 x 軸下方，所以答案是 −2 < x < 3。符號只會在曲線穿過 x 軸的地方發生變化。見解一元二次不等式。當不等式問的是外側時，答案會分成兩段：$x^2-x-6>0$x² − x − 6 > 0 在 x < −2 或 x > 3 時成立。$x^2$x² 係數為負會把拋物線整個翻過來，所以要先把兩邊乘以 −1 並反轉不等號。從每個區域各取一個值檢驗：x = 0 時是 0 − 0 − 6，是負數；x = 4 時是 16 − 4 − 6 = 6，是正數。

同樣的小心也適用於分式不等式，那裡分母會變號；不知道符號就兩邊乘上去，是造出一個信心十足的錯誤答案的經典路徑。

一條直線什麼時候穿過、相切、錯過一條曲線？

要判斷一條直線和一條曲線是相交、相切還是錯過，就把直線代入曲線的方程式，看所得二次方程式的判別式。兩個解表示相交兩次，一個解表示相切，沒有解表示錯過。對 $y=x^2$y = x² 和 y = 2x + 3，令 $x^2=2x+3$x² = 2x + 3，得 $x^2-2x-3=0$x² − 2x − 3 = 0，判別式是 4 + 12 = 16，所以直線在 x = 3 和 x = −1 處切過曲線。每個解都是交點的 x 座標。見一條直線什麼時候穿過、相切或錯過一條曲線。如果直線中帶有未知數，比如 y = 2x + k，而且必須相切，就把判別式設為零解出 k：4 + 4k = 0 得 k = −1。在兩個圖形上檢驗一個交點：x = 3 時，$3^2=9$3² = 9，2 × 3 + 3 = 9。

走到那一步需要代入本身，那是一次方程式與二次方程式聯立的主題：把一次方程式整理出一個變數，代進二次方程式，解出剩下的單變數方程式。

會變成二次方程式的方程式

許多長得一點不像二次方程式的方程式，一次整理之後就成了二次方程式。去掉分母，分式方程式變成二次方程式；兩邊平方，帶根號的方程式也一樣。

二項式定理是什麼？

二項式定理是把一個括號的整數次方展開、而不用逐項相乘的辦法。${\left(1+x\right)}^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5$(1 + x)⁵ = 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵，它的係數正是巴斯卡三角形第5列。每一項都是從五個括號裡各取一個1或一個x組成的。$x^2$x²項數的是從五個括號中選兩個來提供x的方法數，一共有 5 × 4 ÷ 2 = 10 種。見二項式定理。當第一項不是1時，它的乘冪會進入每一個係數。在 ${\left(2+x\right)}^3$(2 + x)³ 裡，係數 1、3、3、1 要乘上2的遞減次方，得到 $8+12x+6x^2+x^3$8 + 12x + 6x² + x³，因為 3 × 4 = 12，3 × 2 = 6。代入 x = 1 可以檢驗這一列：1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32，正好是五個2相乘。

這條定理接著越過整數次方，從那裡起它不再是代數上的方便，而成了近似工具。負指數和分數指數的二項級數把 $\sqrt{1+x}$√(1 + x) 和 $\frac{1}{\left(1+x\right)}$1/(1 + x) 這樣的東西變成對小 x 精確的無窮級數，展開 (a + bx) 的有理數次方處理括號不巧不以 1 開頭的情形 —— 先把 a 提出來，適用條件也跟著一起來。

三次多項式怎麼因式分解？

要分解一個三次多項式，先試出一個根，把它給出的因式除出去，再分解剩下的部分。對 $x^3-6x^2+11x-6$x³ − 6x² + 11x − 6，試 x = 1：1 − 6 + 11 − 6 = 0，所以 (x − 1) 是一個因式。除下來剩 $x^2-5x+6$x² − 5x + 6，也就是 (x − 2)(x − 3)，所以這個三次式是 (x − 1)(x − 2)(x − 3)。因式定理證明了這樣試是合理的：如果 x = a 讓多項式等於零，那麼 (x − a) 就是一個因式。只需要試常數項的因數就夠了。見因式與餘式定理。當代入的值不等於零時，那個值就是餘數：在 x = 4 處，64 − 96 + 44 − 6 = 6，所以除以 (x − 4) 會剩下6。在 x = 0 處檢驗分解後的形式，括號給出 −1 × −2 × −3 = −6，正是常數項。

係數都是整數的話，一個以 −6 結尾的三次式，只有 $\pm 1$±1、$\pm 2$±2、$\pm 3$±3、$\pm 6$±6 值得一試。

要是沒有精確答案呢？

當寫不出精確的解時，就把方程式改寫成 x = g(x) 的形式，從一個粗略的猜測開始，把每次的輸出當作下一次的輸入代進去。這些值通常會逐漸靠近一個根。對 $x^2=2$x² = 2，一種改寫方式是 $x=\left(x+\frac{2}{x}\right)$x = (x + 2/x) / 2。從1開始，$\left(1+2\right)÷2=\frac{3}{2}$(1 + 2) ÷ 2 = 3/2，下一步是 $\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right)÷2=\frac{17}{12}$(3/2 + 4/3) ÷ 2 = 17/12，已經很接近 $\sqrt{2}$√2 了。根是一個不動點：代進去會得到同一個數，所以附近的值都會被拉向它。見迭代解方程式。不是每種改寫方式都會收斂。寫成 $x=\frac{2}{x}$x = 2/x 時，同一個方程式會把1送到2、把2又送回1，永遠循環下去，所以當數值來回跳動時就該換一種形式試試。把結果代回原方程式檢驗：17 × 17 = 289，2 × 144 = 288，所以 $\frac{17}{12}$17/12 的平方只比2多一點點。

這件事比它初看上去要緊。四次以上不存在一般的根式解公式，所以迭代不是懶人的退路：對實務裡冒出來的大多數多項式方程式，它就是方法。

值得點名的錯誤

• 還沒等於零就開始解。(x + 2)(x + 3) = 2 對括號什麼也沒說。零積性質需要那個零。
• 丟掉負根。$\sqrt{9}$√9 是 3，可是「$x^2=9$x² = 9」有兩個答案。根號這個符號，和解開一個平方這個動作，是兩回事。
• 忘了減去配方法多加的。${\left(x+3\right)}^2$(x + 3)² 不是 $x^2+6x$x² + 6x；它多帶著一個 9。
• 信任平方過的方程式。每個根式方程式都以把答案代回去收尾。

從這裡自然的下一步是方程式的圖形與座標幾何 —— 同一條拋物線從另一側看 —— 和函數與分式函數（英文），配方法在那裡以圖形變換的身分再次登場。