百分比
百分比的意思就是「每一百裡有多少」。35% 是每 100 裡的 35 —— 一個已經把分母講定的分數，而這正是百分比流行起來的原因。分母不同的兩個分數不好比；兩個百分比從來沒有不好比的時候。
這也是心算的鑰匙。你其實從來不是在「算」一個百分比，你是在用幾個已經會的把它疊出來。
一切都從 10% 疊起來
10% 就是把小數點往左移一位。其餘每一個百分比，都是用它做出來的零件的一個短加法。
| 要算 | 怎麼做 | 例（240 的） |
|---|---|---|
| 10% | 小數點移一位 | 24 |
| 1% | 小數點移兩位 | 2.4 |
| 20% | 10% 加倍 | 48 |
| 5% | 10% 的一半 | 12 |
| 15% | 10% + 5% | 36 |
| 25% | 四分之一 —— 對半，再對半 | 60 |
| 35% | 10% + 20% + 5% | 84 |
300 的 17% → 10% 是 30，5% 是 15，1% 是 3，所以 30 + 15 + 3 × 2 = 51。
百分比互換
y 的 x% 永遠等於 x 的 y% —— 而其中一邊通常好算得多。
25 的 4% 彆扭；4 的 25% 是 1。 50 的 18% → 18 的 50% = 9。 50 的 12% → 12 的 50% = 6。
百分比變化
用變化量除以原來的量，再乘 100。
：變化是 10，原來是 40，所以 10 ÷ 40 = 0.25 → 增加 25%。
：變化是 10，原來是 50，所以 10 ÷ 50 = 0.2 → 減少 20%。
百分比不會疊加
100 漲 10% 到 110。再跌 10% 是 99，不是 100。
跌掉的那 10% 是 110 的 10%，比 100 的 10% 大。同一個不對稱，也說明了為什麼虧掉 50% 之後要賺 100% 才回得來。
漲價和打折，一步到位
不要先算出那一部分再加上去或減下來 —— 用一個乘數直接走到最後的金額。
| 變化 | 乘以 | 例 |
|---|---|---|
| +10% | 1.1 | |
| −10%（打九折） | 0.9 | |
| +20% | 1.2 | |
| −25% | 0.75 | |
| −30%（打七折） | 0.7 |
由折後價回推原價
彆扭的那一類，也是值得練的那一類：你知道變化之後的價錢，想知道之前的。
一件外套打八折後是 60。60 是原價的 80%，所以原價是 60 ÷ 0.8 = 75。
一張帳單含 8% 的稅是 108。108 是稅前金額的 108%，所以稅前是 108 ÷ 1.08 = 100。
日常裡最常見的幾種
- 43 的 15%。10% 是 4.30，它的一半是 2.15，所以大約 6.45。
- 27 便宜三分之一。三分之一是 9，所以是 18。分數形狀的折扣，用分數算比較快。
- 先打八折，再打九折。× 0.8 × 0.9 = × 0.72，等於打七二折，總共便宜 28% —— 不是 30%。
- 「三折起」。乘 0.3，一步就看到最划算的情況。
值得一眼認出的幾個分數
認得它們，計算本身就消失了。
| 百分比 | 分數 | 手上怎麼做 |
|---|---|---|
| 50% | 對半 | |
| 25% | 對半兩次 | |
| 75% | 對半兩次，取三份 | |
| 33.3% | 除以 3 | |
| 20% | 除以 5 | |
| 12.5% | 對半三次 |
它們的來歷在分數指南裡，其餘的心算訣竅在心算訣竅（英文）裡。
這一頁講的都是百分比只作用一次的情況。反覆作用，它就變成了利息、折舊和通膨 —— 複利、實質利率、貸款還款和年金，在小數、百分比與利息（英文）裡逐條談。
值得點名的錯誤
- 算變化幅度時拿新的數去除。基準永遠是原來的那個數。
- 回推原價時把折扣加回去。該做的是除以那個乘數。
- 把先後發生的百分比相加。要相乘的是乘數：先八折再九折是便宜 28%，不是 30%。
- 把百分比和百分點搞混。一個比率從 4% 到 5%，是上升了 1 個百分點 —— 同時也是上升了 25%。
在遊戲裡練
Math Challenge 裡有百分比主題，練的正是那個核心動作 —— 一個數的百分之幾。從好對付的數的 10%、25% 和 50% 開始，做對越多，越往比較不熟的百分比擴。這一頁的一切都是用那個零件疊起來的，而值得練到自動的，也正是那個零件。
百分比互換同時也是 36 個配圖「魔術」課程之一 —— 先講清道理，再把你放進針對它的練習裡。這一個屬於 Pro 那一組，不在免費入門魔術裡；上面的百分比主題則不需要購買。
輪到你了
三題試一試，點選作答。
80 的 25%
200 的 15%
一件 $40 的襯衫降價 10%。新價格是多少？