百分比

更新 2026年10月13日

百分比的意思就是「每一百裡有多少」。35% 是每 100 裡的 35 —— 一個已經把分母講定的分數，而這正是百分比流行起來的原因。分母不同的兩個分數不好比；兩個百分比從來沒有不好比的時候。

這也是心算的鑰匙。你其實從來不是在「算」一個百分比，你是在用幾個已經會的把它疊出來。

一切都從 10% 疊起來

10% 就是把小數點往左移一位。其餘每一個百分比，都是用它做出來的零件的一個短加法。

300 的 17% $\to 10$→ 10% 是 30，5% 是 15，1% 是 3，所以 30 + 15 + 3 × 2 = 51。

百分比互換

百分比互換是說 y 的 x% 永遠等於 x 的 y%，所以可以交換兩個數，算更容易的那一邊。25 的16%的話，換成 16 的25%，也就是 16 的四分之一，所以 25 的16% = 4。這樣成立，是因為兩邊說的是同一個乘法：25 的16%是 16 × 25 ÷ 100，16 的25%是 25 × 16 ÷ 100，兩者都是 400 ÷ 100 = 4。互換只有在一邊變成 25% 或 50% 這樣好算的百分比時才有幫助。這正是會改變做法的情況：17 的13%，換過來是 13 的17%，並不更容易，所以直接算 13 × 17 ÷ 100。要檢驗互換，就估算原來那一邊：16% 比 15% 稍大，25 的15% 在 3 和 4 之間，所以答案是 4 大小是對的。

25 的 4% 彆扭；4 的 25% 是 1。 50 的 18% $\to 18$→ 18 的 50% = 9。 50 的 12% $\to 12$→ 12 的 50% = 6。

百分比變化

百分比變化是變化量除以原來的量，再乘以100。價格從80漲到100，變化量是20，原來的量是80，所以百分比變化是 20 ÷ 80 × 100 = 25%。原來的量是基準，因為變化是相對起點來衡量的。這就是同樣的差距反過來算會得到不同答案的原因：從100跌到80是 20 ÷ 100 × 100 = 20%，因為這次變化是相對100來衡量的。跌價時，用原來的量減去新的量求出變化，仍然除以原來的量，把結果叫作下降。常見的錯誤是除以新的量，這會讓漲幅看起來比實際小。要檢驗，把百分比用在原來的量上：80的25% = 20，80 + 20 = 100。

$40\to 50$40 → 50：變化是 10，原來是 40，所以 $10÷40=0.25\to$10 ÷ 40 = 0.25 → 增加 25%。

$50\to 40$50 → 40：變化是 10，原來是 50，所以 $10÷50=0.2\to$10 ÷ 50 = 0.2 → 減少 20%。

百分比不會疊加

100 漲 10% 到 110。再跌 10% 是 99，不是 100。

跌掉的那 10% 是 110 的 10%，比 100 的 10% 大。同一個不對稱，也說明了為什麼虧掉 50% 之後要賺 100% 才回得來。

漲價和打折，一步到位

要一步就把一個量按百分比增加或減少，就用最後剩下的比例（寫成百分之幾）去乘它。漲20%後剩下原來的 100% + 20% = 120%，所以把40漲20%就是 $40\times \frac{120}{100}=48$40 × 120/100 = 48。打75折是剩下 100% − 25% = 75%，所以80元打75折就是 $80\times \frac{75}{100}=60$80 × 75/100 = 60。這樣成立，是因為原來的量是100%，在相乘之前先把變化加上或減掉，就不用單獨算出變化本身。連續兩次變化時，要把兩個乘數相乘，絕不能把百分比相加。漲20%後再跌20%，是 $\frac{120}{100}\times \frac{80}{100}=\frac{96}{100}$120/100 × 80/100 = 96/100，整體是虧4%，不是零。要檢驗一步算出的答案，就單獨算一次變化：40的20%是8，40 + 8 = 48。

由折後價回推原價

要在百分比變化之後求出原價，就用新的量除以那次變化用的乘數。漲價20%後，一張票要84元。新價格是原價的120%，所以原價是 $84÷\frac{120}{100}=70$84 ÷ 120/100 = 70。這樣成立，是因為漲價把原價乘上了 $\frac{120}{100}$120/100，用同一個數除回去就能還原。常見的錯誤是對新的量取百分比：那20%是原價的份額，不是84的份額，所以從84裡減去20%並不會得到70。降價的算法一樣，只是乘數更小：打了8折之後，就除以0.8，因為促銷價是原價的80%。已經含稅的價格其實是變相的漲價，所以它的乘數是100%加上稅率。要檢驗，把變化用在答案上：70的20%是14，70 + 14 = 84。

一件外套打八折後是 60。60 是原價的 80%，所以原價是 60 ÷ 0.8 = 75。

一張帳單含 8% 的稅是 108。108 是稅前金額的 108%，所以稅前是 108 ÷ 1.08 = 100。

小費或折扣怎麼算？

要算小費或折扣，先從10%（也就是把這個量除以10）開始，再從它搭出你需要的百分比。帳單60元要給15%小費的話，10%是6，它的一半是3，6 + 3 = 9，所以小費是9。折扣用同樣的方法算出部分再減去：60元打8折（省20%）就是 2 × 6 = 12，所以要付 60 − 12 = 48。這樣成立，是因為10%很容易求，而日常大多數百分比都是由十和五拼出來的。連續兩次折扣不能相加。打8折之後再打9折，是從已經降低的價格裡再減，所以要付的是原價的 80% 的 90%，也就是72%，總共省下的是28%，不是30%。要檢驗折扣，把省下的錢加回付的錢：48 + 12 = 60。

• 43 的 15%。10% 是 4.30，它的一半是 2.15，所以大約 6.45。
• 27 便宜三分之一。三分之一是 9，所以是 18。分數形狀的折扣，用分數算比較快。
• 先打八折，再打九折。× 0.8 × 0.9 = × 0.72，等於打七二折，總共便宜 28% —— 不是 30%。
• 「三折起」。乘 0.3，一步就看到最划算的情況。

值得一眼認出的幾個分數

值得記住的百分比分數是 $\frac{1}{2}=50$1/2 = 50%、$\frac{1}{4}=25$1/4 = 25%、$\frac{3}{4}=75$3/4 = 75%、$\frac{1}{5}=20$1/5 = 20%、$\frac{1}{10}=10$1/10 = 10%、$\frac{1}{8}=12.5$1/8 = 12.5%、$\frac{1}{3}=33.3$1/3 = 33.3%、$\frac{2}{3}=66.7$2/3 = 66.7%。每個百分比都是把分數寫成百分之幾：$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}$1/4 = 25/100，100裡的25就是25%。知道這些能把百分比問題變成分數問題，而好算數字的分數算起來很快：40的75%就是40的$\frac{3}{4}$3/4，也就是 40 ÷ 4 × 3 = 30。其他百分比可以從這些搭出來，比如 $\frac{3}{5}$3/5 是三個20%，也就是60%。三分之一的百分比永遠除不盡，所以三分之二的66.7%是四捨五入的：60的$\frac{2}{3}$2/3正好是40，而用四捨五入的百分比去算60會稍微多一點。遇到三分之幾，就用分數。要檢驗其中任何一個，把百分比乘以分數的分母：25% × 4 = 100%，正好是整體一份。

它們的來歷在分數指南裡，其餘的心算訣竅在心算訣竅（英文）裡。

這一頁講的都是百分比只作用一次的情況。反覆作用，它就變成了利息、折舊和通膨 —— 複利、實質利率、貸款還款和年金，在小數、百分比與利息（英文）裡逐條談。

值得點名的錯誤

• 算變化幅度時拿新的數去除。基準永遠是原來的那個數。
• 回推原價時把折扣加回去。該做的是除以那個乘數。

• 把先後發生的百分比相加。要相乘的是乘數：先八折再九折是便宜 28%，不是 30%。
• 把百分比和百分點搞混。一個比率從 4% 到 5%，是上升了 1 個百分點 —— 同時也是上升了 25%。