弧度與三角恆等式

更新 2026年10月7日

離開三角形之後，三角學有兩個變化：角改用弧度而不是度來量，而恆等式讓一個三角式子可以改寫成另一個。後者讓三角方程得以求解，也讓許多積分成為可能。

什麼是弧度，為什麼要用它？

弧度是圓心上的一個角，它所截的弧長等於半徑。圓周長是 $2\pi r$2πr，所以一整圈是 $2\pi$2π 弧度，半圈是 $\pi$π 弧度，1 弧度大約是 57°。要把度換成弧度，就乘以 $\frac{\pi }{180}$π/180。對 135° 來說，分數 $\frac{135}{180}$135/180 約分成 $\frac{3}{4}$3/4，所以 135° 是 $\frac{3\pi }{4}$3π/4 弧度；這個分數能約分，是因為 135 ÷ 45 = 3 且 180 ÷ 45 = 4。弧度值得換用，因為它讓角成為一個純粹的比值，也就是弧長除以半徑，沒有任何按慣例選定的單位，而微積分正依賴這一點：只有在 x 以弧度表示時，sin x 的導數才是 cos x。反方向的換算就把因數倒過來。弧度乘以 $\frac{180}{\pi }$180/π，所以 $\frac{\pi }{6}$π/6 變成 $\frac{180}{6}=30$180/6 = 30 度。用一個你熟悉的角檢查換算：$\frac{\pi }{2}$π/2 應該是直角，而 180 ÷ 2 = 90。

直角是 $\frac{\pi }{2}$π/2 弧度，而精確到小數點後一位，1 弧度是 57.3°。詳見 弧度。

用度的話，每次微分都會出現一個 $\frac{\pi }{180}$π/180 的因數，所以微積分從頭到尾都用弧度。

熟悉的角換了名字，仍保有它們的精確比值：30° 是 $\frac{\pi }{6}$π/6，45° 是 $\frac{\pi }{4}$π/4，60° 是 $\frac{\pi }{3}$π/3。詳見 以弧度表示的三角函數精確值。

弧長和扇形面積怎麼求？

用弧度表示時，半徑為 r、圓心角為 $\theta$θ 的扇形，弧長是 $s=r\theta$s = rθ，面積是 $A=\frac{1}{2}{r}^2\theta$A = ½r²θ。取 r = 4 且 $\theta =\frac{3}{2}$θ = 3/2：弧長是 $4\times \frac{3}{2}=6$4 × 3/2 = 6 個單位，面積是 $\frac{1}{2}\times 16\times \frac{3}{2}=12$½ × 16 × 3/2 = 12 平方單位。兩個公式都是取整個圓的一部分。這個角是一整圈的 $\frac{\theta }{\left(2\pi \right)}$θ/(2π)，所以弧是圓周長 $2\pi r$2πr 的這個比例，扇形是面積 $\pi r^2$πr² 的這個比例；$2\pi$2π 約掉之後就剩下 $r\theta$rθ 和 $\frac{1}{2}{r}^2\theta$½r²θ。已知弧長和半徑時，相除就得到角：半徑 5 上長 10 的弧，對應 10 ÷ 5 = 2 弧度。弓形夾在弧和它的弦之間，需要多一步：減去三角形，剩下 $\frac{1}{2}{r}^2\theta -\frac{1}{2}{r}^2\sin \theta$½r²θ − ½r² sin θ。用半圓檢查，此時 $\theta =\pi$θ = π：弧長是 $\pi r$πr，正好是 $2\pi r$2πr 的一半。

一整圈 $\theta =2\pi$θ = 2π 會還原出整個圓周長和整個面積。

半徑 6、圓心角 $\frac{\pi }{3}$π/3 的扇形，弧長是 $2\pi$2π，面積是 $6\pi$6π。

用度的話，兩個結果每一行都帶著一個 $\frac{\theta }{360}$θ/360 的因數。詳見 弧長與扇形面積。

什麼是三角恆等式？

三角恆等式是對每個角都成立的等式，不像 $\sin x=\frac{1}{2}$sin x = 1/2 只對特定的角成立。有兩個恆等式撐起其他大部分的恆等式：$\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$tan θ = sin θ / cos θ，以及 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$sin²θ + cos²θ = 1。在 30° 時，$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$sin 30° = 1/2 且 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$cos 30° = √3/2，所以平方是 $\frac{1}{4}$1/4 和 $\frac{3}{4}$3/4，而 $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$1/4 + 3/4 = 1。第二個恆等式就是單位圓上的畢氏定理：角 $\theta$θ 對應的點是 $\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$(cos θ, sin θ)，離圓心的距離是 1，而平方永遠不是負的，所以它在每個象限都成立。要證明一個新的恆等式，從一邊開始改寫，直到它變成另一邊。當一行式子裡有 ${\sin }^2\theta$sin²θ，其他部分卻都是 $\cos \theta$cos θ 時，把 ${\sin }^2\theta$sin²θ 換成 $1-{\cos }^2\theta$1 − cos²θ，讓式子只剩一種函數。用一個角檢查：tan 45° = 1，而 sin 45° ÷ cos 45° 是 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)÷\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$(√2/2) ÷ (√2/2)，也是 1。

半徑為 1 的圓上任何一點都能說明這一點。

一旦把 ${\sin }^{2}x$sin²x 換掉，含有 ${\sin }^{2}x$sin²x 和 cos x 的方程就成了 cos x 的二次方程。詳見 三角恆等式。

正割、餘割和餘切是什麼？

正割、餘割和餘切分別是餘弦、正弦和正切的倒數：$\sec \theta =1/\cos \theta$sec θ = 1 / cos θ、$\mathrm{cosec}\theta =1/\sin \theta$cosec θ = 1 / sin θ，以及 $\cot \theta =1/\tan \theta$cot θ = 1 / tan θ，也就是 $\cos \theta /\sin \theta$cos θ / sin θ。用第三個字母配對：sec 配 cos，cosec 配 sin。要求其中一個的值，先求出一般的比值，再把它倒過來。因為 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$sin 30° = 1/2，所以 cosec 30° = 2；因為 $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$tan 30° = 1/√3，所以 $\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$cot 30° = √3。這些名稱值得存在，因為很多式子都要除以某個比值，而用一個符號表示這個商，能讓恆等式和導數變短。每個倒數在它的比值為零的地方沒有定義，所以 sec 90° 不存在，因為 cos 90° = 0，cot 0° 也不存在。把一對相乘來檢查數值：sec 60° × cos 60° 應該是 1，而 $2\times \frac{1}{2}=1$2 × 1/2 = 1。

把 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$sin²θ + cos²θ = 1 整個除以 ${\cos }^2\theta$cos²θ，一步就出現第二個恆等式。

改成除以 ${\sin }^2\theta$sin²θ，就得到 $1+{\cot }^2\theta ={\mathrm{cosec}}^2\theta$1 + cot²θ = cosec²θ。把它們推導出來，而不是背下來。這一對在微積分裡很重要，因為 tan x 的導數是 ${\sec }^{2}x$sec²x，所以含有 $1+{\tan }^{2}x$1 + tan²x 的積分，只要改寫成 ${\sec }^{2}x$sec²x 就解決了。詳見 正割、餘割與餘切和 恆等式 $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$1 + tan²θ = sec²θ。

複角公式從哪裡來？

複角公式展開兩角之和的正弦和餘弦：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B，以及 cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B。猜成 sin A + sin B 是錯的：取 A = B = 30°，$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 60° = √3/2，但那個猜法給出 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$1/2 + 1/2 = 1。正確的公式給出 $\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$√3/4 + √3/4，也就是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$√3/2。它們來自把一個角為 B 的直角三角形疊在一個角為 A 的直角三角形上：最遠那個角的高度分成 sin A cos B 和 cos A sin B 兩段，水平距離則給出餘弦公式。要處理兩角之差，就把 B 換成 −B，中間的符號隨之翻轉，而 15° = 45° − 30° 就能給出精確值。在 A = B = 45° 時檢查餘弦公式：它給出 $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$1/2 − 1/2，等於 0，而 cos 90° = 0。

加上差的形式，一共有四個展開式。

正弦保留加號，餘弦變成減號。

這一個差別就是這裡大部分錯誤的來源。詳見 複角公式。

倍角公式有什麼用？

倍角公式把 2A 的函數改寫成用 A 表示：sin 2A = 2 sin A cos A，以及 $\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A$cos 2A = cos²A − sin²A。它們就是 B = A 時的複角公式。它們的用途是讓方程裡每一項都用同一個角。要在 $0^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$0° ≤ x ≤ 360° 範圍內解 sin 2x = sin x，寫成 2 sin x cos x = sin x，把所有項移到同一邊再因式分解：sin x (2 cos x − 1) = 0。所以 sin x = 0，得到 0°、180° 和 360°；或 $\cos x=\frac{1}{2}$cos x = 1/2，得到 60° 和 300°。要因式分解而不是相除，因為除以 sin x 會丟掉前三個解。遇到 cos 2x 時，挑一個和其他項相配的餘弦形式。檢查 x = 60°：sin 120° 和 sin 60° 都是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$√3/2，因為 180 − 60 = 120，兩角互補。

餘弦的版本有三種形式，因為 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$sin²A + cos²A = 1 可以消去其中任一個平方項：$\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1=1-2{\sin }^{2}A$cos 2A = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2sin²A。

把最後一個形式移項就能單獨求出 ${\sin }^{2}A$sin²A，對 $2{\cos }^{2}A-1$2cos²A − 1 做同樣的動作則單獨求出 ${\cos }^{2}A$cos²A。

這兩個結果，${\cos }^{2}A=$cos²A = ½(1 + cos 2A) 和 ${\sin }^{2}A=$sin²A = ½(1 − cos 2A)，把平方的三角函數變成一次的三角函數，${\sin }^{2}x$sin²x 和 ${\cos }^{2}x$cos²x 就是這樣積分的。詳見 倍角公式。

怎麼把一個正弦和一個餘弦合成一個波？

任何 a sin x + b cos x 都能寫成一個波 $R\sin \left(x+\alpha \right)$R sin(x + α)，其中 R > 0。用複角公式展開並比較係數：$R\cos \alpha =a$R cos α = a 且 $R\sin \alpha =b$R sin α = b。平方後相加得 $R=\sqrt{a^2+b^2}$R = √(a² + b²)，相除得 $\tan \alpha =\frac{b}{a}$tan α = b/a。對 $\sqrt{3}\sin x+\cos x$√3 sin x + cos x 來說，$R=\sqrt{3+1}=2$R = √(3 + 1) = 2 且 $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$tan α = 1/√3，得到 2 sin(x + 30°)。這行得通，因為 $R\cos \alpha$R cos α 和 $R\sin \alpha$R sin α 是斜邊為 R 的直角三角形的兩股。當 a 或 b 是負數時，要從 $\alpha$α 的 $\cos \alpha$cos α 和 $\sin \alpha$sin α 的正負號判斷象限，不能只靠反正切。這樣一來最大值是 R，最小值是 −R。在 x = 0° 時檢查：原式給出 cos 0° = 1，而 2 sin 30° 是 $2\times \frac{1}{2}=1$2 × 1/2 = 1。

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.1°)，因為 $R=\sqrt{9+16}=5$R = √(9 + 16) = 5 且 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$tan α = 4/3。

解方程時，先除以 R，對括號解 $\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{R}$sin(x + α) = c/R，再從每個答案減去 $\alpha$α。括號會把範圍一起帶著走，所以當 x 從 0° 開始時，x + 53.1° 從 53.1° 開始。詳見 輔助角形式 $R\sin \left(x+\alpha \right)$R sin(x + α)和 用 R 形式解 a sin x + b cos x = c。

怎麼寫出所有的解，而不只是範圍內的解？

三角方程有無限多個解，因為每個函數都會重複：正弦和餘弦每 360°（即 $2\pi$2π 弧度）重複一次，正切每 180° 重複一次。一般解用一個整數 n 把它們全部列出。對 $\sin x=\frac{1}{2}$sin x = 1/2，計算機給出 30°，正弦曲線的對稱性給出 180° − 30°，也就是 150°，完整的列表是 x = 30° + 360°n 或 x = 150° + 360°n。加上一整圈會讓單位圓上的點回到原處，所以它的正弦不會改變。正切只需要一族解 $x=\theta +180^{\circ }n$x = θ + 180°n，因為它轉半圈就重複；對 tan x = 1 來說就是 45° + 180°n。用弧度表示時，正弦的兩族解寫成 $\frac{\pi }{6}+2n\pi$π/6 + 2nπ 和 $\frac{5\pi }{6}+2n\pi$5π/6 + 2nπ。測試其中一個：第一族取 n = 1 得 30 + 360 = 390，比 30° 多轉一整圈，那裡的正弦仍是 $\frac{1}{2}$1/2。

正弦的兩族解常合寫成 $180^{\circ }n+{\left(-1\right)}^n\theta$180°n + (−1)ⁿθ。餘弦的答案是 $\theta$θ 和 $-\theta$−θ，所以它的列表是 $\pm \theta +360^{\circ }n$±θ + 360°n。

問某個區間內的解，就是對那張列表做篩選。依序代入 n = −1、0、1、2，保留落在範圍內的答案。詳見 三角方程的所有解。

值得點名的錯誤

• 計算機還停在度。 上面每個公式都假設用弧度，所以答案會算錯。
• 把 sin(A + B) 展開成 sin A + sin B。 沒有任何三角函數能對加法分配。
• 弄丟 cos(A + B) 裡的減號。 正弦保留加號，餘弦變成減號。
• 把 sec 和 sin 配對。 正割是 $1/\cos \theta$1 / cos θ，餘割是 $1/\sin \theta$1 / sin θ。
• 停在第一個解。 題目會說明要寫出哪些解。
• 同時改寫恆等式的兩邊。 證明要從一邊出發，一路走到另一邊。

詳見 證明三角恆等式。

三角形的基礎在三角形的三角學與方位角（英文），而這些恆等式會在微分法則和積分技巧裡再次用到。