भिन्न

भिन्न में जो कुछ मुश्किल लगता है, उसकी जड़ में लगभग हमेशा एक छूटा हुआ विचार होता है: नीचे की संख्या मात्रा नहीं, इकाई है। $\frac{3}{5}$3/5 में 5 बताता है कि आप किस नाप के टुकड़े गिन रहे हैं — पाँचवें हिस्से — और 3 बताता है कि उनमें से कितने आपके पास हैं।

जोड़ा सिर्फ़ वही जा सकता है जो एक ही इकाई में नापा गया हो, और समान हर की पूरी कहानी बस इतनी ही है।

भिन्न असल में कहती क्या है

किसी चीज़ को बराबर टुकड़ों में काटिए। नीचे की संख्या (हर) बताती है कि पूरे को कितने टुकड़ों में काटा गया। ऊपर की संख्या (अंश) बताती है कि उनमें से कितने आपके हाथ में हैं।

$\frac{3}{4}$3/4 यानी: 4 बराबर हिस्सों में काटिए, उनमें से 3 लीजिए।

हर जितना बड़ा, टुकड़े उतने छोटे

$\frac{1}{8}$1/8, $\frac{1}{3}$1/3 से छोटी है — भले ही 8, 3 से बड़ा है। केक को आठ हिस्सों में काटने पर हर हिस्सा तीन हिस्सों में काटने से कम मिलता है।

तुल्य भिन्न

अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा कीजिए, मान नहीं बदलेगा।

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. 2/3 = 8/12 (दोनों × 4).

जोड़ना, घटाना और तुलना — तीनों की शुरुआत भिन्नों को इस तरह दोबारा लिखने से होती है कि वे एक ही नाप के टुकड़े बताएँ।

सरल करना

तुल्यता को उलटी दिशा में चलाइए: अंश और हर को एक ही संख्या से तब तक भाग दीजिए जब तक कोई संख्या दोनों को न बाँटे।

18/24 → दोनों को 6 से → 3/4. 8/12 → दोनों को 4 से → 2/3.

अगर म.स.प. नज़र न आए तो बार-बार आधा कीजिए, या कोई साफ़ दिखता 2, 3 या 5 निकालकर दोबारा देखिए। $\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5. पहुँचेंगे वहीं, बस क़दम ज़्यादा लगेंगे।

भिन्नों की तुलना

हर एक जैसा: अंश देख लीजिए

5/8 > 3/8, क्योंकि पाँच आठवें हिस्से, तीन से ज़्यादा आठवें हिस्से हैं।

अंश एक जैसा: बड़ा हर यानी छोटी भिन्न

3/5 > 3/8 — टुकड़े उतने ही, पर पाँचवें हिस्से आठवें हिस्सों से बड़े हैं।

दोनों अलग: तिरछा गुणा

$\frac{3}{5}$3/5 और $\frac{5}{8}$5/8 की तुलना के लिए हर अंश को दूसरी भिन्न के हर से गुणा कीजिए।

3 × 8 = 24 बनाम 5 × 5 = 25, तो $\frac{5}{8}$5/8 बड़ी है।

आधे से तुलना

सबसे तेज़ जाँच: अंश को दुगुना कीजिए और देखिए वह हर के मुक़ाबले कहाँ बैठता है। $\frac{7}{16}$7/16 — 7 का दुगुना 14, जो 16 से कम है, तो यह आधे से कम है।

भिन्नों को जोड़ना और घटाना

हर एक जैसा: अंश जोड़िए, हर वही रखिए

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7.

हर अलग-अलग: पहले उन्हें बराबर कीजिए

ऐसी संख्या ढूँढ़िए जिसे दोनों हर बाँटते हों, दोनों भिन्नों को उस पर लिखिए, फिर अंश जोड़ दीजिए।

1/3 + 1/4 → बारहवें हिस्सों में → 4/12 + 3/12 = 7/12.

2/5 + 1/2 → दसवें हिस्सों में → 4/10 + 5/10 = 9/10.

दोनों हरों को गुणा कर देने से समान हर हमेशा मिल जाता है, और यह तरीक़ा कभी नहीं चूकता। बस कभी-कभी ज़रूरत से बड़ी संख्या दे देता है — $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 के लिए 24 लिया जा सकता है, पर 12 से काम चल जाता है और सरल करने को कम बचता है।

घटाना वही चाल है

3/4 − 2/3 → बारहवें हिस्सों में → 9/12 − 8/12 = 1/12.

मिश्र भिन्न: पूर्ण संख्याओं को अलग निपटाइए

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, और $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, तो $4\frac{1}{4}$4 1/4.

जिस घटाव में भिन्न वाला हिस्सा कम पड़ जाए, वहाँ एक पूर्ण उधार लेकर उसे टुकड़ों में बदल दीजिए: 3 1/5 − 1 3/5 → उधार लेकर: $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

गुणा और भाग

इन्हीं दोनों को लोग मुश्किल मानते हैं, और यही आसान हैं।

गुणा: सीधे आर-पार

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15. समान हर की कोई ज़रूरत नहीं।

भाग: दूसरी भिन्न को उलटकर गुणा कीजिए

$\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=3$1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3.

भिन्न, दशमलव और प्रतिशत

एक ही विचार लिखने के तीन ढंग। भिन्न असल में एक अधूरा भाग है: $\frac{3}{4}$3/4 यानी 3 ÷ 4 = 0.75, यानी 75%।

इन मुट्ठी भर मानों को देखते ही पहचान लेना रोज़मर्रा के प्रतिशत वाले सवालों से लगभग सारा हिसाब हटा देता है — इस पर और बात प्रतिशत की गाइड में है।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• हर को जोड़ देना। $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 यानी 1, $\frac{2}{4}$2/4 नहीं। हर इकाई है; वह इकट्ठा नहीं होता।
• बड़े हर को बड़ी भिन्न समझ लेना। 1/8 < 1/3। जितने ज़्यादा कट, उतने छोटे टुकड़े।
• सिर्फ़ अंश को सरल करना। जो एक पंक्ति के साथ किया, वही दूसरी के साथ भी — वरना मान खिसक जाएगा।
• गुणा से पहले समान हर खोजना। ग़लत नहीं है, पर बेकार की मेहनत है — गुणा को एक जैसी इकाइयाँ नहीं चाहिए।

खेल में अभ्यास

Math Challenge में एक भिन्न विषय है जो जोड़ने और घटाने का अभ्यास कराता है — वही दो जिनमें समान हर चाहिए, और वही दो जिनमें ग़लती होती है। शुरुआत एक जैसे या आसान हरों से होती है और सही उत्तरों के साथ दायरा बढ़ता जाता है।

इसके साथ दशमलव, प्रतिशत और बाक़ी अंकगणित के विषय भी हैं, और एक मुफ़्त दैनिक चुनौती जिसके लिए कोई खाता नहीं चाहिए।

यह पन्ना छोटा जवाब है। पूरी सीढ़ी के लिए — विषम भिन्न और मिश्र भिन्न, किसी राशि का भिन्न भाग, एक साथ तीन भिन्नों को क्रम में लगाना, और हर पायदान के पीछे एक सचित्र पाठ — देखिए तुल्य भिन्न और मिश्र भिन्न (अंग्रेज़ी में)।

भिन्न मुफ़्त में अभ्यास कीजिए →