भिन्न

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

भिन्न में जो कुछ मुश्किल लगता है, उसकी जड़ में लगभग हमेशा एक छूटा हुआ विचार होता है: नीचे की संख्या मात्रा नहीं, इकाई है। $\frac{3}{5}$3/5 में 5 बताता है कि आप किस नाप के टुकड़े गिन रहे हैं — पाँचवें हिस्से — और 3 बताता है कि उनमें से कितने आपके पास हैं।

जोड़ा सिर्फ़ वही जा सकता है जो एक ही इकाई में नापा गया हो, और समान हर की पूरी कहानी बस इतनी ही है।

भिन्न असल में कहती क्या है

किसी चीज़ को बराबर टुकड़ों में काटिए। नीचे की संख्या (हर) बताती है कि पूरे को कितने टुकड़ों में काटा गया। ऊपर की संख्या (अंश) बताती है कि उनमें से कितने आपके हाथ में हैं।

$\frac{3}{4}$3/4 यानी: 4 बराबर हिस्सों में काटिए, उनमें से 3 लीजिए।

हर जितना बड़ा, टुकड़े उतने छोटे

$\frac{1}{8}$1/8, $\frac{1}{3}$1/3 से छोटी है — भले ही 8, 3 से बड़ा है। केक को आठ हिस्सों में काटने पर हर हिस्सा तीन हिस्सों में काटने से कम मिलता है।

तुल्य भिन्न

तुल्य भिन्न वे भिन्न हैं जो एक ही मात्रा बताती हैं, और आप अंश व हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग देकर एक बनाते हैं। $\frac{3}{4}$3/4 लीजिए और दोनों भागों को 2 से गुणा कीजिए: आपको $\frac{6}{8}$6/8 मिलता है, और किसी पट्टी का छह आठवाँ हिस्सा ठीक उतना ही ढकता है जितना तीन चौथाई। हर चौथाई 2 आठवें में कट चुकी है, तो टुकड़े दुगुने हैं और हर एक आधे आकार का है। इसीलिए मात्रा वही रहती है: अंश और हर को 2 से गुणा करना, $\frac{2}{2}$2/2 से गुणा करने जैसा है, जो 1 के बराबर है। यह तब बिगड़ता है जब आप सिर्फ़ एक संख्या बदलें, या गुणा की जगह जोड़ें। $\frac{1}{2}$1/2 के दोनों भागों में 1 जोड़ने पर $\frac{2}{3}$2/3 मिलता है, जो आधे से ज़्यादा है, तो दोनों तुल्य नहीं हैं। दो भिन्नों की जाँच के लिए, आर-पार गुणा कीजिए: $\frac{3}{4}$3/4 और $\frac{6}{8}$6/8 के लिए, 3 × 8 = 24 और 4 × 6 = 24, और बराबर गुणनफल का मतलब है बराबर भिन्न।

पूरी व्याख्या, आकृतियों और सवालों के साथ: दो भिन्नें तुल्य किससे होती हैं?।

सरल करना

किसी भिन्न को सरल करने के लिए, अंश और हर को एक ही संख्या से भाग दीजिए, और तब तक चलते रहिए जब तक 1 से बड़ी कोई संख्या दोनों को न बाँटे। $\frac{12}{30}$12/30 के लिए, दोनों संख्याएँ 6 से बँटती हैं, क्योंकि 12 = 2 × 6 और 30 = 5 × 6, तो $\frac{12}{30}$12/30 सरल होकर $\frac{2}{5}$2/5 बनता है। दोनों भागों को 6 से भाग देना, $\frac{6}{6}$6/6 से भाग देने जैसा है, जो 1 है, तो मात्रा नहीं बदलती; बस टुकड़े बड़े हो जाते हैं। सबसे तेज़ रास्ता है महत्तम समापवर्तक से एक बार भाग देना। अगर वह नज़र न आए, तो किसी भी साझा गुणनखंड से भाग दीजिए और दोबारा देखिए: $\frac{12}{30}$12/30 आधा होकर $\frac{6}{15}$6/15 बनता है, और $\frac{6}{15}$6/15, 3 से भाग देने पर $\frac{2}{5}$2/5 देता है, वही उत्तर दो क़दमों में। जिस मामले से सावधान रहना है वह है पहले से सरलतम रूप में मौजूद भिन्न, जैसे $\frac{7}{12}$7/12, जहाँ 1 के अलावा कोई संख्या दोनों को नहीं बाँटती। जाँचने के लिए, सुनिश्चित कीजिए कि नए अंश और हर का कोई गुणनखंड साझा न हो, फिर पीछे गुणा कीजिए: 2 × 6 = 12 और 5 × 6 = 30।

$\frac{18}{24}\to$18/24 → दोनों को 6 से $\to \frac{3}{4}$→ 3/4. $\frac{8}{12}\to$8/12 → दोनों को 4 से $\to \frac{2}{3}$→ 2/3.

दो बार आधा करके फिर 5 से भाग देना उसी जगह पहुँचाता है: $\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5.

दो भिन्नों की तुलना कैसे करें?

दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, उन्हें एक ही हर दीजिए, और फिर बड़ा अंश बड़ी भिन्न बताता है। $\frac{2}{3}$2/3 और $\frac{3}{4}$3/4 की तुलना के लिए, दोनों को बारहवें में फिर लिखिए: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12 और $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$3/4 = 9/12, तो $\frac{3}{4}$3/4 बड़ी है। यह इसलिए चलता है क्योंकि टुकड़े एक ही आकार के होते ही, आपको बस उन्हें गिनना है। दो छोटे रास्ते इस फिर-लिखने से बचाते हैं। अगर हर पहले से बराबर हों, तो अंशों की तुलना कीजिए। अगर अंश बराबर हों, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है, क्योंकि कम कट बड़े टुकड़े बनाते हैं: $\frac{2}{5}$2/5, $\frac{2}{7}$2/7 से ज़्यादा है। जब कोई भी बराबर न हो, तो आर-पार गुणा कीजिए, जो एक ही क़दम में फिर-लिखने का काम कर देता है: $\frac{2}{3}$2/3 और $\frac{3}{4}$3/4 के लिए, 2 × 4 = 8 और 3 × 3 = 9, और बड़ा गुणनफल बड़ी भिन्न, $\frac{3}{4}$3/4, के साथ बैठता है। जाँचने के लिए, छोटी को बड़ी से घटाइए: $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 = 1/12, और शून्य से ऊपर का अंतर क्रम की पुष्टि करता है।

हर एक जैसा: अंश देख लीजिए

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, क्योंकि पाँच आठवें हिस्से, तीन से ज़्यादा आठवें हिस्से हैं।

अंश एक जैसा: बड़ा हर यानी छोटी भिन्न

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8 — टुकड़े उतने ही, पर पाँचवें हिस्से आठवें हिस्सों से बड़े हैं।

दोनों अलग: तिरछा गुणा

$\frac{3}{5}$3/5 और $\frac{5}{8}$5/8 की तुलना के लिए हर अंश को दूसरी भिन्न के हर से गुणा कीजिए।

3 × 8 = 24 बनाम 5 × 5 = 25, तो $\frac{5}{8}$5/8 बड़ी है।

आधे से तुलना

सबसे तेज़ जाँच: अंश को दुगुना कीजिए और देखिए वह हर के मुक़ाबले कहाँ बैठता है। $\frac{7}{16}$7/16 — 7 का दुगुना 14, जो 16 से कम है, तो यह आधे से कम है।

भिन्नों को कैसे जोड़ें और घटाएँ?

भिन्न जोड़ने या घटाने के लिए, पहले उन्हें एक ही हर दीजिए, फिर अंश जोड़िए या घटाइए और हर वही रखिए। $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$2/3 + 1/5 के लिए, 3 और 5 दोनों 15 में बँटते हैं, तो $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$2/3 = 10/15 और $\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$1/5 = 3/15, और $\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$10/15 + 3/15 = 13/15। हर 15 ही रहता है क्योंकि वह टुकड़ों का आकार बताता है, और एक ही आकार के टुकड़े जोड़ने से उनका आकार नहीं बदलता। इसीलिए $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 भी $\frac{2}{5}$2/5 नहीं है: आधे और तिहाई अलग-अलग टुकड़े हैं, और जब तक दोनों छठे न बन जाएँ, वे साथ नहीं गिने जा सकते। घटाव भी वही क़दम इस्तेमाल करता है: $\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$2/3 − 1/5 = 10/15 − 3/15 = 7/15। एक क़दम और तब आता है जब उत्तर का अंश उसके हर से बड़ा हो, जैसे $\frac{5}{4}$5/4, जिसे आप मिश्रित संख्या $1\frac{1}{4}$1 1/4 के रूप में फिर लिखते हैं। जाँचने के लिए, अंदाज़ा लगाइए: $\frac{2}{3}$2/3, 1 से थोड़ा कम है और $\frac{1}{5}$1/5 छोटा है, तो $\frac{13}{15}$13/15, जो 1 से थोड़ा कम है, सही आकार है।

हर एक जैसा: अंश जोड़िए, हर वही रखिए

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7.

हर अलग-अलग: पहले उन्हें बराबर कीजिए

ऐसी संख्या ढूँढ़िए जिसे दोनों हर बाँटते हों, दोनों भिन्नों को उस पर लिखिए, फिर अंश जोड़ दीजिए।

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\to$1/3 + 1/4 → बारहवें हिस्सों में $\to \frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$→ 4/12 + 3/12 = 7/12.

$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\to$2/5 + 1/2 → दसवें हिस्सों में $\to \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$→ 4/10 + 5/10 = 9/10.

दोनों हरों को गुणा कर देने से समान हर हमेशा मिल जाता है, और यह तरीक़ा कभी नहीं चूकता। बस कभी-कभी ज़रूरत से बड़ी संख्या दे देता है — $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 के लिए 24 लिया जा सकता है, पर 12 से काम चल जाता है और सरल करने को कम बचता है।

घटाना वही चाल है

$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to$3/4 − 2/3 → बारहवें हिस्सों में $\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$→ 9/12 − 8/12 = 1/12.

मिश्र भिन्न: पूर्ण संख्याओं को अलग निपटाइए

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, और $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, तो $4\frac{1}{4}$4 1/4.

जिस घटाव में भिन्न वाला हिस्सा कम पड़ जाए, वहाँ एक पूर्ण उधार लेकर उसे टुकड़ों में बदल दीजिए: $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → उधार लेकर: $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

गुणा और भाग

भिन्न गुणा करने के लिए, ऊपर वाली संख्याओं को आपस में और नीचे वाली को आपस में गुणा कीजिए: $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10। समान हर की ज़रूरत नहीं, क्योंकि गुणा करना किसी भाग का भाग लेता है: दो पाँचवें का तीन चौथाई, दोनों भिन्नों से छोटा टुकड़ा है। किसी भिन्न से भाग देने के लिए, दूसरी भिन्न को उलट दीजिए और गुणा कीजिए। $\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$3/4 ÷ 1/8 के लिए, $\frac{1}{8}$1/8 को उलटकर $\frac{8}{1}$8/1 बनाइए और गुणा कीजिए: $\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$3/4 × 8/1 = 24/4 = 6। यह इसलिए चलता है क्योंकि भाग यह पूछता है कि तीन चौथाई में कितने आठवें हिस्से समाते हैं, और हर चौथाई में 2 आठवें हिस्से होते हैं, तो तीन चौथाई में 6 समाते हैं। सिर्फ़ दूसरी भिन्न उलटती है, पहली कभी नहीं। किसी मिश्रित संख्या को पहले अनुचित भिन्न बनाना होगा: $1\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$1 1/2 × 2/3, $\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$3/2 × 2/3 = 6/6 = 1 बन जाता है। किसी भाग की जाँच के लिए, उत्तर को उस भिन्न से गुणा कीजिए जिससे आपने भाग दिया था: $6\times \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6 × 1/8 = 6/8 = 3/4, वही संख्या जिससे आपने शुरू किया था।

पूरी व्याख्या, आकृतियों और सवालों के साथ: भिन्नों का गुणा और भाग।

भिन्न, दशमलव और प्रतिशत

एक ही विचार लिखने के तीन ढंग। भिन्न असल में एक अधूरा भाग है: $\frac{3}{4}$3/4 यानी 3 ÷ 4 = 0.75, यानी 75%।

पूरी व्याख्या, आकृतियों और सवालों के साथ: वे भिन्नें जो देखते ही पहचान लेनी चाहिए।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• हर को जोड़ देना। $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 यानी 1, $\frac{2}{4}$2/4 नहीं। हर इकाई है; वह इकट्ठा नहीं होता।
• बड़े हर को बड़ी भिन्न समझ लेना। $\frac{1}{8}<\frac{1}{3}$1/8 < 1/3। जितने ज़्यादा कट, उतने छोटे टुकड़े।
• सिर्फ़ अंश को सरल करना। जो एक पंक्ति के साथ किया, वही दूसरी के साथ भी — वरना मान खिसक जाएगा।
• गुणा से पहले समान हर खोजना। ग़लत नहीं है, पर बेकार की मेहनत है — गुणा को एक जैसी इकाइयाँ नहीं चाहिए।

पूरी सीढ़ी के लिए — विषम भिन्न और मिश्र भिन्न, किसी राशि का भिन्न भाग, एक साथ तीन भिन्नों को क्रम में लगाना, और हर पायदान के पीछे एक सचित्र पाठ — देखिए तुल्य भिन्न और मिश्र भिन्न (अंग्रेज़ी में)।