Frazioni

Aggiornato 13 ottobre 2026

Quasi tutto ciò che risulta difficile nelle frazioni nasce da un'idea che viene saltata: il numero in basso non è una quantità, è un'unità di misura. In $\frac{3}{5}$3/5 il 5 dice che misura hanno i pezzi che stai contando — quinti — e il 3 dice quanti ne hai.

Si possono sommare solo cose misurate nella stessa unità, ed è tutta qui la storia del denominatore comune.

Che cosa dice davvero una frazione

Taglia qualcosa in pezzi uguali. Il numero in basso (il denominatore) dice in quanti pezzi è stato tagliato l'intero. Quello in alto (il numeratore) dice quanti di quei pezzi hai in mano.

$\frac{3}{4}$3/4 significa: taglia in 4 parti uguali e prendine 3.

Un denominatore più grande vuol dire pezzi più piccoli

$\frac{1}{8}$1/8 è più piccolo di $\frac{1}{3}$1/3, anche se 8 è più grande di 3. Tagliare una torta in otto dà meno per fetta che tagliarla in tre.

Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti quando indicano la stessa quantità, e se ne fa una moltiplicando o dividendo il sopra e il sotto per lo stesso numero. Prendi $\frac{3}{4}e$3/4 e moltiplica entrambe le parti per 2: ottieni $\frac{6}{8}$6/8, e sei ottavi di una barra coprono esattamente quanto tre quarti. Ogni quarto è stato tagliato in 2 ottavi, quindi ci sono il doppio dei pezzi, ciascuno la metà della dimensione. Per questo la quantità resta la stessa: moltiplicare sopra e sotto per 2 è moltiplicare per $\frac{2}{2}$2/2, che è uguale a 1. Va storto se cambi solo un numero, o sommi invece di moltiplicare. Sommare 1 a entrambe le parti di $\frac{1}{2}$1/2 dà $\frac{2}{3}$2/3, che è più di un mezzo, quindi le due non sono equivalenti. Per controllare due frazioni, moltiplica in croce: per $\frac{3}{4}\text{e}\frac{6}{8}$3/4 e 6/8, 3 × 8 = 24 e 4 × 6 = 24, e prodotti uguali significano frazioni uguali.

La spiegazione completa, con figure e domande: Che cosa rende equivalenti due frazioni?.

Semplificare

Per semplificare una frazione, dividi il sopra e il sotto per lo stesso numero, e continua finché nessun numero maggiore di 1 divide entrambi. Per $\frac{12}{30}$12/30, entrambi i numeri si dividono per 6, perché 12 = 2 × 6 e 30 = 5 × 6, quindi $\frac{12}{30}$12/30 si semplifica $\text{a}\frac{2}{5}$a 2/5. Dividere entrambe le parti per 6 è dividere per $\frac{6}{6}$6/6, che è 1, quindi la quantità non cambia; i pezzi sono solo più grandi. La via più veloce è dividere una volta per il massimo comune divisore. Se non lo vedi, dividi per qualsiasi fattore comune e guarda di nuovo: $\frac{12}{30}$12/30 dimezzato dà $\frac{6}{15}$6/15, $\text{e}\frac{6}{15}$e 6/15 diviso per 3 dà $\frac{2}{5}$2/5, la stessa risposta in due passaggi. Il caso da tenere d'occhio è una frazione già nella forma più semplice, come $\frac{7}{12}$7/12, dove nessun numero tranne 1 divide entrambi. Per controllare, conferma che il nuovo sopra e sotto non condividano fattori, poi moltiplica all'indietro: 2 × 6 = 12 e 5 × 6 = 30.

$\frac{18}{24}\to$18/24 → dividi entrambi per $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4. $\frac{8}{12}\to$8/12 → dividi entrambi per $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3.

Dimezzare due volte e poi dividere per 5 arriva allo stesso punto: $\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5.

Come si confrontano due frazioni?

Per confrontare due frazioni, dai loro lo stesso denominatore, e allora il sopra più grande dà la frazione più grande. Per confrontare $\frac{2}{3}\text{e}\frac{3}{4}$2/3 e 3/4, riscrivi entrambe in dodicesimi: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\text{e}\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$2/3 = 8/12 e 3/4 = 9/12, quindi $\frac{3}{4}$3/4 è più grande. Questo funziona perché una volta che i pezzi hanno la stessa dimensione, basta contarli. Due scorciatoie evitano la riscrittura. Se i denominatori già coincidono, confronta i numeratori. Se i numeratori coincidono, la frazione con il denominatore più piccolo è più grande, perché meno tagli fanno pezzi più grandi: $\frac{2}{5}$2/5 è più di $\frac{2}{7}$2/7. Quando nessuno coincide, moltiplica in croce, che fa la riscrittura in un passaggio: per $\frac{2}{3}\text{e}\frac{3}{4}$2/3 e 3/4, 2 × 4 = 8 e 3 × 3 = 9, e il prodotto più grande sta con la frazione più grande, $\frac{3}{4}$3/4. Per controllare, sottrai la più piccola dalla più grande: $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 = 1/12, e una differenza sopra zero conferma l'ordine.

Stesso denominatore: confronta i numeratori

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, perché cinque ottavi sono più ottavi di tre.

Stesso numeratore: il denominatore più grande è il minore

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8 — lo stesso numero di pezzi, ma i quinti sono più grandi degli ottavi.

Né l'uno né l'altro: moltiplica in croce

Per confrontare $\frac{3}{5}\text{e}\frac{5}{8}$3/5 e 5/8, moltiplica ogni numeratore per il denominatore dell'altra.

3 × 8 = 24 contro 5 × 5 = 25, quindi $\frac{5}{8}$5/8 è la maggiore.

Confrontala con un mezzo

La verifica più rapida di tutte: raddoppia il numeratore e guarda come si posiziona rispetto al denominatore. $\frac{7}{16}$7/16 — il doppio di 7 è 14, che è meno di 16, quindi sta sotto un mezzo.

Come si sommano e si sottraggono le frazioni?

Per sommare o sottrarre frazioni, dai loro prima lo stesso denominatore, poi somma o sottrai i numeratori e mantieni il denominatore. Per $\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$2/3 + 1/5, sia 3 sia 5 dividono in 15, quindi $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}\text{e}\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$2/3 = 10/15 e 1/5 = 3/15, $\text{e}\frac{10}{15}+\frac{3}{15}=\frac{13}{15}$e 10/15 + 3/15 = 13/15. Il denominatore resta 15 perché indica la dimensione dei pezzi, e sommare pezzi di una dimensione non cambia la loro dimensione. Per questo anche $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 non fa $\frac{2}{5}$2/5: mezzi e terzi sono pezzi diversi, e non si possono contare insieme finché non sono entrambi sesti. La sottrazione usa gli stessi passaggi: $\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}=\frac{7}{15}$2/3 − 1/5 = 10/15 − 3/15 = 7/15. Un passaggio in più arriva quando il sopra della risposta è più grande del sotto, come $\frac{5}{4}$5/4, che riscrivi come il numero misto $1\frac{1}{4}$1 1/4. Per controllare, stima: $\frac{2}{3}$2/3 è un po' meno di $1\text{e}\frac{1}{5}$1 e 1/5 è piccolo, quindi $\frac{13}{15}$13/15, appena sotto 1, è della dimensione giusta.

Stesso denominatore: somma i numeratori, tieni il denominatore

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7.

Denominatori diversi: prima falli coincidere

Trova un numero in cui entrano entrambi i denominatori, riscrivi le due frazioni su quello, poi somma i numeratori.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\to$1/3 + 1/4 → dodicesimi $\to \frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$→ 4/12 + 3/12 = 7/12.

$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\to$2/5 + 1/2 → decimi $\to \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$→ 4/10 + 5/10 = 9/10.

Moltiplicare i due denominatori dà sempre un denominatore comune, e funziona sempre. Solo che a volte dà un numero più grande del necessario: per $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 potresti usare 24, ma 12 va bene e lascia meno da semplificare.

La sottrazione è la stessa mossa

$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to$3/4 − 2/3 → dodicesimi $\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$→ 9/12 − 8/12 = 1/12.

Numeri misti: tratta gli interi a parte

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, $\text{e}\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$e 1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, quindi $4\frac{1}{4}$4 1/4.

Per una sottrazione in cui la parte frazionaria non basta, prendi in prestito un intero e trasformalo in pezzi: $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → in prestito: $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

Moltiplicare e dividere

Per moltiplicare frazioni, moltiplica i sopra tra loro e i sotto tra loro: $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10. Non serve un sotto comune, perché moltiplicare prende una parte di una parte: tre quarti di due quinti è un pezzo più piccolo di entrambi. Per dividere per una frazione, capovolgi la seconda frazione e moltiplica. Per $\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$3/4 ÷ 1/8, capovolgi $\frac{1}{8}$1/8 in $\frac{8}{1}e$8/1 e moltiplica: $\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$3/4 × 8/1 = 24/4 = 6. Questo funziona perché dividere chiede quanti ottavi stanno in tre quarti, e ogni quarto contiene 2 ottavi, quindi tre quarti ne contengono 6. Solo la seconda frazione si capovolge, mai la prima. Un numero misto deve prima diventare una frazione impropria: $1\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}$1 1/2 × 2/3 diventa $\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{6}=1$3/2 × 2/3 = 6/6 = 1. Per controllare una divisione, moltiplica la risposta per la frazione per cui hai diviso: $6\times \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6 × 1/8 = 6/8 = 3/4, il numero da cui sei partito.

La spiegazione completa, con figure e domande: Moltiplicare e dividere le frazioni.

Frazioni, decimali e percentuali

Tre notazioni per una stessa idea. Una frazione è una divisione in attesa: $\frac{3}{4}$3/4 è 3 ÷ 4 = 0.75, cioè il 75%.

La spiegazione completa, con figure e domande: Le frazioni da riconoscere a colpo d'occhio.

I quattro errori da nominare

• Sommare i denominatori. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 fa 1, non $\frac{2}{4}$2/4. Il denominatore è l'unità; non si accumula.
• Leggere un denominatore più grande come una frazione più grande. $\frac{1}{8}<\frac{1}{3}$1/8 < 1/3. Più tagli, pezzi più piccoli.
• Semplificare solo il numeratore. Quello che fai a una riga lo fai anche all'altra, altrimenti il valore si sposta.
• Cercare il denominatore comune prima di moltiplicare. Non è sbagliato, è lavoro buttato: la moltiplicazione non ha bisogno di unità che coincidano.

Per la scala didattica completa — frazioni improprie e numeri misti, frazioni di una quantità, ordinarne tre alla volta e una lezione illustrata dietro ogni gradino — vedi frazioni equivalenti e numeri misti (in inglese).