矩陣與馬可夫鏈

更新 2026年10月7日

矩陣是按橫行和直列排成的一個長方形數表。矩陣乘以一個直列的數，會得到一個新的直列，所以矩陣是一條把一串數變成另一串數的規則；兩個矩陣的乘積，就是先套用一條規則，再套用另一條。

矩陣怎麼描述，怎麼相加？

描述一個矩陣要說它的階數：先說行數（橫向），再說列數（直向），所以 2 行 3 列的矩陣是 2 × 3 矩陣。一個元素用它所在的行和列來命名：$a_{21}$a₂₁ 位於第 2 行、第 1 列。矩陣相加是對應元素逐一相加，所以兩個矩陣的階數必須相同。用分號隔開各行來書寫，(1 4; 2 0) + (3 −1; 5 2) = (4 3; 7 2)，因為 1 + 3 = 4、4 − 1 = 3、2 + 5 = 7、0 + 2 = 2。這行得通，是因為兩個矩陣裡同一個位置放的是同一種量，例如某一家店某一種商品的銷量。階數不同的矩陣不能相加，因為有些元素找不到對應的夥伴。純量乘法是把每個元素都乘上這個數：3 乘 (1 4; 2 0) 等於 (3 12; 6 0)。檢查和的方法是減去其中一個矩陣，看能否得回另一個。

詳見 矩陣的階數和矩陣的加減與純量乘法。

矩陣乘法怎麼算，為什麼 AB 不等於 BA？

兩個矩陣相乘時，把左邊矩陣的每一行和右邊矩陣的每一列配對：對應元素相乘，再把乘積加起來。設 A = (1 2; 3 4)、B = (0 1; 1 0)，A 的第 1 行配 B 的第 1 列得 1 × 0 + 2 × 1 = 2，完整的乘積是 AB = (2 1; 4 3)。這條規則讓乘積表示「先做一個變換，再做另一個」。AB 通常和 BA 不同：BA = (3 4; 1 2)，因為 B 在左邊時交換的是 A 的兩行，在右邊時交換的是 A 的兩列。大小也可能讓乘積不存在：只有當 A 的列數等於 B 的行數時，AB 才存在，所以 2 × 3 乘 3 × 2 得到 2 × 2。檢查 BA 的一個元素：B 的第 1 行配 A 的第 1 列得 0 × 1 + 1 × 3 = 3。

A 的一行必須和 B 的一列一樣長，而兩個階數外側的數字，就是答案的階數。

這條規則之所以這樣定，是因為它在算帳：一行數量乘以一列價格，就是一家店的營業額。

反過來，3 × 2 乘 2 × 3 得到 3 × 3，所以兩個乘積連階數都不一定相同。矩陣乘法不滿足交換律。

單位矩陣 I 的主對角線上都是 1，其餘位置都是 0；乘以 I 不會改變任何東西，就像一個數乘以 1 一樣。A 的反矩陣是和 A 相乘得到 I 的那個矩陣。A 的冪呈現的規律用數學歸納法證明：先在 n = 1 時驗證公式，再把假設成立的矩陣多乘一次 A。詳見 矩陣的乘積、用矩陣乘積合併數據、為什麼 AB 不等於 BA、單位矩陣與零矩陣和用數學歸納法求矩陣的冪。

行列式量的是什麼？

對於 2 × 2 矩陣 (a b; c d)，行列式是 ad − bc：主對角線的乘積減去另一條對角線的乘積。它是矩陣把面積放大的倍數。(4 2; 5 3) 的行列式是 4 × 3 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2，所以單位正方形變成面積為 2 的平行四邊形。這個公式算出的是面積，因為兩個直列 (4, 5) 和 (2, 3) 正是這個平行四邊形的兩邊，而 ad − bc 就是帶正負號的面積。行列式為負表示還做了一次鏡射。行列式為 0 則完全不同：整個平面被壓到一條直線或一個點上，所以矩陣沒有反矩陣，例如 (2 4; 1 2)，其中 2 × 2 − 4 × 1 = 0。檢查：面積為 3 的圖形會變成面積 3 × 2 = 6。

行列式為 0 時，不同的點會落到同一個點上，再也沒有辦法把它們分開送回去。

行列式不為 0 時，求 (a b; c d) 的反矩陣只要三步：交換 a 和 d，改變 b 和 c 的正負號，再把每個元素除以 ad − bc。用乘法檢查：乘積是 I。

反矩陣一步就能解聯立方程。把方程組寫成 A X = b，係數放在 A 裡，未知數放在直列 X 裡，常數放在 b 裡，再把兩邊從左邊同乘 $A^{-1}$A⁻¹，X 就單獨留下了。

3 × 3 行列式沿著一行展開：第 1 行的每個元素，乘以刪去它所在的行和列之後剩下的 2 × 2 行列式，正負號依次為 +、−、+。它量的是體積，而且恰好在沒有反矩陣時等於 0。3 × 3 反矩陣是餘因子矩陣的轉置除以行列式，一步就能解三個方程。詳見 2 × 2 矩陣的行列式、2 × 2 矩陣的反矩陣、用反矩陣解聯立方程、3 × 3 矩陣的行列式、3 × 3 矩陣的反矩陣和用反矩陣解三元方程。

什麼是特徵值和特徵向量？

方陣 A 的特徵向量是一個非零的直列，A 只會把它拉長或縮短，而拉伸的倍數就是它的特徵值：$Av=\lambda v$A v = λ v。乘以 A = (4 −1; 2 1) 時，大多數直列都會改變方向，但 (1, 1) 回來時是 (3, 3)，因為 4 × 1 − 1 × 1 = 3 且 2 × 1 + 1 × 1 = 3，所以 (1, 1) 是特徵值為 3 的特徵向量。特徵向量的任何倍數也是特徵向量，所以特徵向量指的是一個方向。負的特徵值會把方向反轉，0 則把它壓扁。特徵向量重要，是因為沿著它們，矩陣的作用就像普通的乘法，所以求冪很容易：把 A 作用五次，(1, 1) 就被放大 $3^5$3⁵ 倍。求特徵向量要從特徵值開始，特徵值是 $\det \left(A-\lambda I\right)=0$det(A − λI) = 0 的解，每個特徵值再給出一個方向。驗證一個聲稱的特徵向量：A 乘 (1, 2) 得 (2, 4)，是原直列的兩倍，所以另一個特徵值是 2。

求特徵值時，把 $Av=\lambda v$A v = λ v 改寫成 $\left(A-\lambda I\right)v=0$(A − λI) v = 0。一個非零直列被送到零，表示 $A-\lambda I$A − λI 沒有反矩陣，所以 $\det \left(A-\lambda I\right)=0$det(A − λI) = 0。減去 $\lambda I$λI 就是從每個對角元素減去 $\lambda$λ，所以這裡 $\det \left(A-\lambda I\right)=\left(4-\lambda \right)\left(1-\lambda \right)+2={\lambda }^2-5\lambda +6$det(A − λI) = (4 − λ)(1 − λ) + 2 = λ² − 5λ + 6，這就是特徵多項式。它的根 2 和 3 就是特徵值。

對每個特徵值解 $\left(A-\lambda I\right)v=0$(A − λI) v = 0。在 $\lambda =3$λ = 3 時兩行都得出 y = x，所以 v = (1, 1)；在 $\lambda =2$λ = 2 時兩行都得出 y = 2x，所以 v = (1, 2)。

把特徵向量作為 P 的各列，再把特徵值按同樣的順序放在 D 的對角線上。於是 A P = P D，所以 $A=PD{P}^{-1}$A = P D P⁻¹。冪也就跟著出來了，因為中間的每個 $P^{-1}P$P⁻¹ P 都互相抵消：$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹，而 $D^n$Dⁿ 可以逐個元素求出。詳見 特徵值與特徵向量、特徵多項式、求特徵向量、2 × 2 矩陣的對角化和用對角化求矩陣的冪。

什麼是馬可夫鏈，它為什麼會穩定下來？

馬可夫鏈在固定幾種狀態之間移動，每一步只取決於目前的狀態。移動的機率填成一個轉移矩陣 T，T 乘以今年的分布就得到明年的分布。假設每年城市裡有 0.2 的人搬到鄉下，鄉下有 0.3 的人搬到城市。T 的每一列代表一個起始狀態，所以每一列的元素加起來等於 1。如果兩地各有 500 人，明年城市就有 400 + 150 = 550 人，因為 500 人中有 $\frac{4}{5}$4/5 留下，另外 500 人中有 $\frac{3}{10}$3/10 搬來。正則的鏈會穩定下來，是因為 T 會讓某一個分布保持不變，而起點裡其餘的部分每一步都在縮小。這裡那個分布讓雙向的流量相等，城市因此佔所有人的 $\frac{3}{5}$3/5。陷阱狀態是沒有人會離開的狀態，最終會收容所有能到達它的人。驗證這個穩定分布：$\frac{2}{10}$2/10 等於 400 的 $600=120=\frac{3}{10}$600 = 120 = 3/10。

n 年後的分布是 $T^n$Tⁿ 乘以起始分布，而把 T 對角化，求 $T^n$Tⁿ 就很容易了。

轉移圖用狀態之間的箭頭表示同樣的數字，留在原地的比例畫成一個回到自己的圈。如果 T 的某個冪的所有元素都是正數，這條鏈就是正則的。一個狀態如果唯一的箭頭指回自己，進去的人就全被困住，這樣的鏈就不是正則的。

讓所有人一開始都在城市，分布就會穩定下來。穩定的分布是 T 不會改變的分布，所以它是 T 的特徵值為 1 的特徵向量。解 (T − I) s = 0：兩行都得出 2x = 3y，所以長期來看，城市和鄉下的人口比是 3 比 2。

每個轉移矩陣都有特徵值 1，因為它的每一列加起來都是 1。其餘特徵值的大小都小於 1，所以它們在任何起點中所佔的部分每一步都在縮小，最後剩下的就是特徵值 1 的特徵向量。PageRank 就是網頁之間連結矩陣的這個向量。詳見 轉移矩陣、轉移圖和長期穩定狀態。

接下來通往哪裡

矩陣運算說明矩陣對一個直列做了什麼，行列式說明這能不能復原，特徵值則說明矩陣作用很多次之後會發生什麼。馬可夫鏈就是把最後這個問題，放在一個由機率組成的矩陣上來問。

值得點名的錯誤

• 逐個元素相乘。矩陣乘法是把左邊矩陣的每一行和右邊矩陣的每一列配對。
• 以為 AB = BA。兩個都要算出來。
• 把矩陣約掉。只有當 A 有反矩陣時，AB = AC 才能推出 B = C。
• 把行列式為零當成一個很小的答案。它表示這個矩陣沒有反矩陣。

矩陣對圖形的作用，在全等、圓的定理與變換（英文）中繼續；特徵多項式用到的因式分解，來自二次方程式與多項式。相關指南：積分的應用與極座標曲線（英文）和複數。