複數

更新 2026年10月7日

複數有實部和虛部，寫成 a + bi。虛數單位 i 由 $i^2=-1$i² = −1 定義。這樣的數放不進一條數線，所以複數住在一個平面上，在這個平面上，加法是平移，乘法是旋轉。

負數的平方根是什麼？

負數沒有實數的平方根，因為每個實數的平方不是零就是正的，所以 $x^2=-1$x² = −1 在數線上無解。數學的回應是定義一個新的數 i，它的平方是 −1。這樣每個負數都有兩個平方根：−16 的平方根是 4i 和 −4i，因為 4i 平方得 $16\times i^2$16 × i²，而 16 × (−1) = −16。一般而言，對任何正數 a，$\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$√(−a) = i√a，所以 $\sqrt{-25}=5i$√(−25) = 5i。這個定義行得通，是因為 i 遵守代數所有的一般規則，只多了一個事實：$i^2$i² 不論出現在哪裡都等於 −1。有一條規則確實要改。$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b = √(ab) 這條法則只在 a 和 b 都不是負數時才成立，所以 $\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}$√(−1) × √(−1) 是 i × i = −1，不是 $\sqrt{1}=1$√1 = 1。要檢驗一個平方根，就把它平方：5i 平方得 $25\times i^2$25 × i²，而 25 × (−1) = −25，正是你一開始的那個數。

有了 i 由 $i^2=-1$i² = −1 來定義，其他負數的平方根也就隨之而來：$\sqrt{-9}=\sqrt{9}\times \sqrt{-1}=3i$√(−9) = √9 × √(−1) = 3i。算式裡有 i 時，代數照樣能用：像以前一樣展開括號，並在 $i^2$i² 出現的每個地方換成 −1。詳見 虛數單位。

i 的次方以四個為一個循環重複：i, −1, −i, 1。要求 i²⁰²⁷，把指數除以 4，只留餘數。因為 2027 = 4 × 506 + 3，i²⁰²⁷ $=i^3=-i$= i³ = −i。詳見 i 的次方。

複數要怎麼相加和相乘？

複數相加時，實部與虛部分開相加：(3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i，因為 3 + 1 = 4，2 − 5 = −3。詳見 複數的加法。相乘時，把括號當成 i 是一個字母那樣展開，再把 $i^2$i² 換成 −1：(2 + i)(3 + 4i) 得 $6+8i+3i+4i^2$6 + 8i + 3i + 4i²，也就是 2 + 11i。加法從不混合兩個部分，因為實數和 i 的倍數是不同類的項，就像 3 和 2x 一樣；乘法則會混合，因為 i × i 是實數。除法還要多一步：分子分母同乘分母的共軛複數，讓分母變成實數。模是相乘的，可以用來驗算乘積：$|2+i{|}^2$|2 + i|² 是 5，$|3+4i{|}^2$|3 + 4i|² 是 25，$|2+11i{|}^2$|2 + 11i|² 是 4 + 121 = 125 = 5 × 25。

完整寫出來，並把 $i^2$i² 換成 −1：

$\left(3+2i\right)\left(1-5i\right)=3-15i+2i-10i^2=3-13i+10=13-13i$(3 + 2i)(1 − 5i) = 3 − 15i + 2i − 10i² = 3 − 13i + 10 = 13 − 13i.

最後一步是最容易出錯的地方：$-10i^2$−10i² 是 −10 × (−1) = +10，不是 −10。詳見 複數的乘法。

用共軛複數做除法

a + bi 的共軛複數是 a − bi。一個數乘以它的共軛複數必定是實數，因為中間項互相抵消，$-b^2{i}^2$−b²i² 變成 $+b^2$+b²：$\left(a+\text{bi}\right)\left(a-\text{bi}\right)=a^2+b^2$(a + bi)(a − bi) = a² + b²。詳見 共軛複數。

這和分母含有根式時做的分母有理化，是同一招。詳見 複數的除法。

(4 + i) / (2 − 3i) = (4 + i)(2 + 3i) / ((2 − 3i)(2 + 3i)) = (5 + 14i) / 13.

方程式裡的複數是從哪裡來的？

當二次方程式的判別式為負時，就會出現複數。它的圖形碰不到 x 軸，所以沒有實根，但只要把 $\sqrt{-1}$√(−1) 寫成 i，求根公式照樣管用。對 $x^2-4x+13=0$x² − 4x + 13 = 0，判別式 $b^2-4ac$b² − 4ac 是 16 − 52 = −36，而 $\sqrt{-36}=6i$√(−36) = 6i，所以 $x=\left(4\pm 6i\right)$x = (4 ± 6i) / $2=2\pm 3i$2 = 2 ± 3i。詳見 二次方程的複數根。公式能保留下來，是因為產生它的配方法從不要求平方根是實數。判別式的正負把各種情形分開：為正時有兩個實根，為零時有一個重根，只有為負時才帶進 i。用係數檢驗這一對根：兩根相加是 2 + 2 = 4，即實部之和，相乘是 $2^2+3^2=4+9=13$2² + 3² = 4 + 9 = 13，這和這個方程式的 $-\frac{b}{a}$−b/a 與 $\frac{c}{a}$c/a 相符。

這兩個根互為共軛複數。當係數是實數時，非實數的根一定成對出現，且互為共軛複數。

所以係數為實數的三次方程式，要嘛有三個實根，要嘛有一個實根加一對共軛複數根，它的圖形一定會穿過 x 軸。已知一個非實數的根，它的共軛複數就是第二個根。把這兩個對應的因式相乘，得到一個實係數的二次式，再用它去除三次式，就能求出那個實根。詳見 三次方程的複數根和二次方程式與多項式指南。

複數長什麼樣子？

複數看起來像平面上的一個點。把 a + bi 畫在 (a, b)，實部沿水平軸，虛部沿垂直軸向上；這個平面叫作阿岡圖。詳見 阿岡圖。−2 + 3i 這個點在原點左邊 2、上面 3。一個點也可以用它到原點的距離（模）和它與正實軸的夾角（輻角）來表示。需要平面，是因為複數有兩個獨立的部分，而一條線只容得下一個。乘以 i 會讓每個點逆時針轉四分之一圈：$i\left(2+i\right)=2i+i^2=-1+2i$i(2 + i) = 2i + i² = −1 + 2i，所以 (2, 1) 移到 (−1, 2)。長度也證實了這個轉動。兩個點到原點的距離都是 $\sqrt{5}$√5，因為 $2^2+1^2=5$2² + 1² = 5，而 ${\left(-1\right)}^2+2^2=1+4=5$(−1)² + 2² = 1 + 4 = 5。

模 |z| 是它到原點的距離。指向 a + bi 的箭頭，是以 a 和 b 為兩股的直角三角形的斜邊，所以 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$|z| = √(a² + b²)。3 + 4i 的模是 $\sqrt{9+16}=5$√(9 + 16) = 5。詳見 複數的模。

輻角是箭頭與正實軸所夾的角，從正實軸起逆時針量，而在同一個三角形裡 $\tan \theta =\frac{b}{a}$tan θ = b/a。計算機的反正切只會回傳 −90° 到 90° 之間的角，所以對第二或第三象限的點，要先畫出圖，再加減 180° 來修正。詳見 複數的輻角。

用模 r 和輻角 $\theta$θ 來寫一個數，就是極式：$z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$z = r(cos θ + i sin θ)，因為實部是 $r\cos \theta$r cos θ，虛部是 $r\sin \theta$r sin θ。詳見 極式和$r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$r(cos θ + i sin θ) 的寫法。

除法是把這兩步倒過來：模相除，輻角相減。詳見 極式的除法。

什麼是棣美弗定理？

棣美弗定理是極式中整數次方的規則：$\left[r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\right]$[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ$\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)$(cos nθ + i sin nθ)。把 z 取 n 次方，就是把模取 n 次方，並把輻角乘以 n。對 z = 2(cos 30° + i sin 30°)，它的立方的模是 2 × 2 × 2 = 8，輻角是 30° 的三倍，即 90°，所以 $z^3=8i$z³ = 8i。詳見 棣美弗定理。這個定理成立，是因為複數相乘時模相乘、輻角相加，而次方就是重複的乘法；對 n 用數學歸納法就是證明。較大的次方還要多一步：超過 180° 的輻角，要減去 360°，拉回 −180° 到 180° 的範圍，所以 300° 變成 −60°。用直角座標形式驗證這個例子：$z=\sqrt{3}+i$z = √3 + i，它的平方是 $2+2\sqrt{3}i$2 + 2√3 i，再乘以 $\sqrt{3}+i$√3 + i 就得到 8i。

一個用途是推導三角恆等式。用二項式定理展開 ${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^3$(cos θ + i sin θ)³，再把實部和 $\cos 3\theta$cos 3θ 對照。把 ${\sin }^2\theta$sin²θ 換成 $1-{\cos }^2\theta$1 − cos²θ，得到 $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ。詳見 棣美弗定理與倍角。

反方向是把 $\cos \theta$cos θ 的次方變成多倍角的餘弦，這是積分之前需要的形式。若 |z| = 1，則 $\frac{1}{z}$1/z 是 z 的共軛複數，所以 $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$z + 1/z = 2 cos θ，且 zⁿ $+\frac{1}{z}$+ 1/zⁿ $=2\cos n\theta$= 2 cos nθ。詳見 $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$z + 1/z = 2 cos θ 恆等式。

棣美弗定理也能求餘弦級數的和：$\cos k\theta$cos kθ 的和是 z^k 之和的實部，而那是公比為 z 的等比級數。詳見 用棣美弗定理求級數的和和數列與級數指南。

單位根

方程式 zⁿ = 1 有 n 個解，每個解的模都是 1，輻角依次是 0°、$\frac{360^{\circ }}{n}$360°/n、$2\times \frac{360^{\circ }}{n}$2 × 360°/n，依此類推，因為這些角乘以 n 都剛好是整數圈。詳見 單位根。

依序連起來，它們是一個正多邊形的頂點：1 的五次方根構成一個正五邊形。詳見 由單位根構成的正多邊形。

同樣的方法可以求任何複數的 n 次方根。取模的實數 n 次方根，把輻角除以 n，再每次轉 $\frac{360^{\circ }}{n}$360°/n，收集其餘的根。8i 的三個立方根，模都是 2，輻角分別是 30°、150° 和 270°。詳見 複數的 n 次方根。

這一切的背後是指數式。把 $x=i\theta$x = iθ 代入 e^x 的級數，各項就分成餘弦和正弦的級數，所以 e^$i\theta$iθ $=\cos \theta +i\sin \theta$= cos θ + i sin θ，而每個複數都是 re^$i\theta$iθ。棣美弗定理就成了指數律 (e^$i\theta$iθ)ⁿ = e^in$\theta$θ。詳見 複數的指數式。

怎樣把複數方程式當成圖來讀？

把每個模讀成距離，把每個輻角讀成方向：|z − a| 是 z 到點 a 的距離，所以 |z − a| = r 是圓心為 a、半徑為 r 的圓。例如，|z − 3 + 2i| = 4 是圓心在 3 − 2i、半徑為 4 的圓，因為 z − 3 + 2i 就是 z − (3 − 2i)。在讀出圓心之前，一定要先把式子改寫成 z 減去一個數。這個圖像行得通，是因為 z − a 是從 a 指向 z 的箭頭，而模就是長度。有兩個模時，|z − 1| = |z − 5| 說的是 z 到 1 和到 5 一樣遠，所以它是中垂線：通過 (1 + 5) ÷ 2 = 3 的垂直線。檢驗一個點：z = 7 − 2i 使 z − 3 + 2i 等於 4，而它的模是 4。

|z − a| = |z − b| 說的是 z 到 a 和到 b 的距離相等，所以 z 落在 a、b 兩點連線段的中垂線上。詳見 阿岡圖上的圓與中垂線。

固定輻角會得到一條射線：arg(z − a) = 45° 是從 a 出發、指向 45° 的射線。把等號改成不等號，就會塗出一個區域：$|z|\le 3$|z| ≤ 3 是半徑 3 的整個圓盤，而嚴格不等號則不含邊界。詳見 阿岡圖上的射線與區域。

值得點名的錯誤

• 丟了 $i^2$i² 的負號。 $-10i^2$−10i² 是 +10，因為 $i^2=-1$i² = −1。
• 相信計算機的反正切給出輻角。 它回傳的角在 −90° 到 90° 之間。要畫出該點，在第二或第三象限時加上或減去 180°。
• 寫成 $\sqrt{-4}\times \sqrt{-9}=\sqrt{36}=6$√(−4) × √(−9) = √36 = 6。 規則 $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b = √(ab) 只在 a、b 都是非負數時成立。要先轉換：$2i\times 3i=6i^2=-6$2i × 3i = 6i² = −6。
• 忘了非實數的根是成對出現的。 若 2 + 3i 是根而係數是實數，則 2 − 3i 也是根。
• 只給出一個 n 次方根。 一個複數有三個立方根，平均分布在一個圓上。

接下來往哪裡走

旋轉在這裡是乘以一個複數，在矩陣指南裡則是一個 2 × 2 矩陣。恆等式 e^$i\theta$iθ $=\cos \theta +i\sin \theta$= cos θ + i sin θ 來自數列與級數指南裡的麥克勞林級數，而二次方程式與多項式指南裡的每個多項式，只要容許複數，就有完整的一組根。