因數、倍數與數論

更新 2026年9月25日

會除法之後，一個問題馬上就冒出來：哪些除法能整除？這一整頁要回答的就是這個問題，從七歲孩子把籌碼擺成相等的幾排，到質數永遠用不完的證明，都在講這一件事。

這也是算術裡最不像實用、其實最實用的一支。約分是因數的問題。兩輛車一起出發，什麼時候再次同時出發，是倍數的問題。一個小數會終止還是無限循環，完全由分母的質因數決定。

什麼是因數，什麼是倍數？

一個數的因數能把它整除，倍數則是這個數乘以某個整數的結果。20的因數是1、2、4、5、10和20，列到這裡就停了，因為沒有因數會比這個數本身還大。20的倍數是20、40、60、80，這樣一直下去，沒有盡頭。這兩個詞方向正好相反：4 × 5 = 20，所以4是20的因數，20是4的倍數。因數總是成對出現、乘起來等於這個數，所以從1開始往上找，找到配對開始重複就可以停了。像36 = 6 × 6這樣的平方數，有一對是數字乘自己，所以它的因數個數是奇數。整除判定法（英文）能省去逐個嘗試的功夫。把每一對乘回去可以核對這份清單：1 × 20、2 × 10和4 × 5都等於20。

整除把「整除」這個詞釘得清清楚楚——沒有餘數，一點不剩——而因數和倍數給出了這兩個方向的名字。因數對讓找因數變得可靠：因數總是成對出現、乘起來等於這個數，所以找12的因數就是檢查1 × 12、2 × 6、3 × 4，然後就可以停了，因為再往後配對就會以相反順序重複。

不用做除法也能判斷整除

整除判定法把能更快回答「除不除得盡」的檢驗方法都收在一起。

數字和判定法是最有意思的一類，而且這不是巧合：10的每一次冪除以9都餘1，所以一個數和它的數字和除以9的餘數相同。這個事實比判定法本身更有價值——棄九法驗算把它變成幾秒鐘內核對一次長乘法的辦法，而鐘面上的模運算正是背後的通用思想：只保留餘數的算術，時鐘、日曆和校驗碼用的都是這一套。

什麼是質數？

質數是大於1的整數，且只有1和它本身兩個因數——正好兩個因數。最初的幾個質數是2、3、5、7、11和13。大於1的其他整數都是合數，是更小的數相乘得到的，比如15 = 3 × 5。要判斷一個數是不是質數，依次用質數去試除它，一旦某個質數的平方超過了這個數，就可以停下來。以97為例，2、3、5、7都除不盡它，而11 × 11 = 121已經超過97，所以97是質數。之所以能在這裡停下，是因為因數總是成對出現，而一對裡較小的那個因數乘以自己，永遠不會超過這個數本身。1不是質數，因為它只有一個因數；2是唯一的偶質數。像91這樣的數，看起來像質數，直到你試到7：91 = 7 × 13。

埃拉托斯特尼篩法是找質數最古老的辦法，而且它是一個真正好用的演算法，不只是課堂上的趣聞：把數字都寫出來，留下2，劃掉後面2的每個倍數；留下3，劃掉它的倍數；這樣一直做下去。留下來的就是質數，而且你從頭到尾都沒有單獨去試除任何一個數。

質因數分解是這一切的回報。大於1的每個整數，分解成質數的方式都是唯一的——$180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5——正是這份獨一無二的「指紋」，讓下一節的內容成立。

該用最大公因數還是最小公倍數？

先判斷這道題是要把東西拆成相等的幾份，還是在等兩件事再次同步。拆成相等的幾份，要用最大公因數（HCF），也就是能同時整除兩個數的最大的數。等兩件事同步，要用最小公倍數（LCM），也就是兩個數都能整除它的最小的數。假設有24顆紅珠子和36顆藍珠子，要裝進同樣的袋子裡，不能有剩餘。最多能裝的袋數就是最大公因數12，每袋裝2顆紅珠子和3顆藍珠子。如果一輛車每6分鐘發一班，另一輛每8分鐘發一班，它們下一次同時發車要等最小公倍數24分鐘之後。關鍵詞有時會誤導人，不如直接問：答案是要能塞進兩個數裡面，還是要被兩個數都夠得到。當兩個數沒有公共因數時，最大公因數是1，最小公倍數就是它們的乘積，所以8和9的最小公倍數是72。最大公因數乘以最小公倍數，等於兩個數相乘的結果，這可以用來核對兩者：2 × 24 = 48 = 6 × 8。

公因數和最大公因數走的是第一個方向：能同時整除兩個數的最大的數。12和18的公因數有1、2、3和6，所以最大公因數是6——這是能把兩堆東西都不留縫隙地裝進去的最大托盤。

公倍數和最小公倍數走的是另一個方向：兩個數都能整除它的最小的數。12和18第一次在36相遇——這是一輛12分鐘一班和一輛18分鐘一班的車第一次再次同時發車的時刻。

最大公因數還是最小公倍數之所以要專門講，是因為算式本身很少是難點，從應用題裡挑對該用哪一個才是。質因數分解能一次回答兩個問題：每個公共質數取較低的次方，就是最大公因數；每個質數取較高的次方，就是最小公倍數。

從質因數分解求最大公因數和最小公倍數

對太大、沒法一一列出因數的數，就靠質因數分解來解決。把兩個數都寫成質數相乘的形式，再從同一對行裡直接讀出兩個答案。

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 和 $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• 最大公因數：取兩者共有的每個質數中較低的次方——2 × 3 = 6。只有兩邊都出現的質數才算數，這就是為什麼5和7被忽略。
• 最小公倍數：取兩邊任意一邊出現過的每個質數中較高的次方——$2^2\times 3^2\times 5\times 7=1$2² × 3² × 5 × 7 = 1,260。

由此還能得到一個好用的核對方法：把最大公因數乘以最小公倍數，得到的總是兩個原數相乘的結果。6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90。每個質數都被算了一次較低的次方、一次較高的次方，兩者加起來正好是兩個原數各自應有的份額。

質數會用完嗎？

不會，而且證明很短。歐幾里得證明質數永遠用不完，一開始先假設有人拿到了一份包含所有質數的完整列表。把列表上的所有質數乘起來，再加1。這個新數除以列表上任何一個質數，餘數都是1，所以列表上沒有一個是它的因數。但大於1的每個整數都有質因數，所以一定有某個質數不在這份列表裡，任何有限的列表都不可能是完整的。用列表2、3、5、7來算，新數是2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211，它本身就是質數。新數不一定是質數：2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509。它的質因數照樣不在列表裡。而13 × 2,310 = 30,030，正好驗證了除以13餘1這件事。

哪些分數的小數會終止？

一個分數化成最簡形式後，如果分母的質因數只有2和5，它的小數就會終止。為什麼每個分數不是終止就是循環給出了原因：小數是按十分位、百分位、千分位來計數的，而10的每一次冪都只由2和5構成，因為10 = 2 × 5。以$\frac{7}{20}$7/20為例，分母是2 × 2 × 5，把分子分母都乘以5，就得到$\frac{35}{100}$35/100，也就是35個百分之一。分母裡只要有別的質因數，就永遠湊不出10的冪，除法就停不下來，數字會不斷循環。$\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125會終止；$\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333…不會。一定要先約分，因為能約掉的因數不算數：$\frac{6}{15}$6/15的分母裡有一個3，但$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5，這就會終止。要檢驗一個小數會不會終止，把它寫成10的冪做分母的分數就行：$\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000。

這種循環不只是大概率發生，而是必然發生：除以7只可能剩下1到6這幾種餘數，所以最多七步之內，餘數一定會重複出現，餘數一旦重複，數字也就跟著循環了。

把循環小數化成分數是把這個過程倒過來做，靠的是一個小技巧——乘以10的某次冪，讓循環節和自己對齊，再相減。x = 0.272727…，所以100x = 27.2727…，99x = 27，得到$x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11。

同樣的相減手法，也解決了人們常爭論的為什麼0.999…正好等於1：x = 0.999…，10x = 9.999…，所以9x = 9，x = 1。不是接近1，而是正好等於1。兩者之間不存在任何數，而兩個數之間什麼都塞不下，它們就是同一個數。

什麼是無理數？

無理數是不能寫成整數除以整數這種分數形式的數。有理數和無理數用小數來劃這條界線：每個分數的小數要麼終止要麼循環，所以一個永遠不循環、也不終止的小數，就不可能是分數。最有名的例子是$\sqrt{2}$√2和$\pi$π。沒有一個分數的平方正好等於2。你可以無限接近，比如${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25剛好比2小一點，${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$(3/2)² = 9/4又比2大一點，但有證明說明，沒有任何分數能正好落在2上。完全平方數的平方根是整數，所以$\sqrt{49}$√49是7，$\frac{9}{4}$9/4的平方根是$\frac{3}{2}$3/2。計算機上一長串小數，也不能證明一個數是無理數，因為螢幕到了幾位數字就會停下來。真正決定一個數是不是無理數的，是它能不能正好寫成一個整數除以另一個整數。

根號2是無理數證明了這樣的數至少存在一個，用的還是反證法。把$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b寫成最簡形式。兩邊平方得到$a^2=2b^2$a² = 2b²，所以$a^2$a²是偶數，於是a也是偶數。寫a = 2c，同一個方程就變成$b^2=2c^2$b² = 2c²，所以b也是偶數。可是最簡分數不可能分子分母同時是偶數。這個假設不可能成立，所以這樣的分數根本不存在。

還有兩個較早的想法，把這一支補全。埃及分數與貪心演算法講的是一種只允許使用單位分數的記法——$\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231——以及那個總能算完的貪心演算法，一個藏在趣味題裡的真定理。連分數把一個數寫成層層嵌套的倒數，能給出最好的分數近似值：$\frac{355}{113}$355/113就是這樣來的，用三位數的分子分母，就能把$\pi$π精確到七位數字。

三個值得點名的錯誤

• 把1當成質數。1被特意排除在外：如果1是質數，質因數分解就不再唯一了，因為可以隨便往裡加任意多個1。
• 混淆這兩份清單。因數是有限的，都不超過這個數本身；倍數是無限的，都不小於這個數本身。
• 把0.999…理解成「比1差一點點」。循環小數不是一個正在慢慢逼近某個極限的數；它本身就是那個極限，只是寫成了小數的樣子。

接下來學什麼

因數是分數運算背後的引擎——參見分數、等值與帶分數（英文）——終止還是循環的問題，直接接到小數指南那裡。冪、方根和根式則在代數式、指數與根式（英文）裡接著講無理數這條線。

到遊戲中練習

Math Challenge把以上每一步都做成了圖解課程——篩法是一張你親眼看著填滿的網格，最大公因數是一份共有因數清單，歐幾里得的證明也一行行擺開——全部收在800多節課的課程庫裡。要練手，最大公因數和最小公倍數專題和質數專題會一直練到你反應夠快為止。相關指南：算術方法。