分数

分数が難しいと感じられる原因は、ほとんどが一つの考えを飛ばしたことにあります。下の数は量ではなく、単位です。$\frac{3}{5}$3/5 の 5 は、数えているかけらの大きさ — 5分の1 — を言い、3 はそれをいくつ持っているかを言います。

日本語では「5分の3」と、下から先に読みます。単位を先に名乗ってから個数を言う、という順序で、これは分数の正体そのものです。同じ単位で測ったものしか足せない — 通分の話は、まるごとこれです。

分数はほんとうは何を言っているのか

何かを等しいかけらに切ります。下の数（分母）は、全体をいくつに切ったかを言います。上の数（分子）は、そのうちいくつを手にしているかを言います。

$\frac{3}{4}$3/4 は、4等分して、そのうち3つを取る、ということ。

分母が大きいほど、かけらは小さい

8 は 3 より大きいのに、$\frac{1}{8}$1/8 は $\frac{1}{3}$1/3 より小さい。ケーキを8つに切れば、3つに切ったときより一切れは小さくなります。

等しい分数

上と下に同じ数をかけても、値は変わりません。

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100。 $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12（どちらも × 4）。

たし算も、ひき算も、大小くらべも、まず「同じ大きさのかけらで言い直す」ところから始まります。

約分

等しい分数を逆向きに走らせます。上と下を同じ数で割り、両方を割り切る数がなくなるまで続けます。

18/24 → どちらも 6 で割って → 3/4。 8/12 → どちらも 4 で割って → 2/3。

最大公約数がすぐ見えないときは、2 で割り続けるか、目につく 2、3、5 をひとつ外してもう一度見ます。$\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5。着く場所は同じで、歩数が増えるだけです。

分数の大小くらべ

分母が同じ — 分子を比べる

5/8 > 3/8。8分の1が5つは、3つより多いからです。

分子が同じ — 分母が大きいほうが小さい

3/5 > 3/8 — かけらの数は同じで、5分の1 のほうが 8分の1 より大きいからです。

どちらも同じでない — たすきにかける

$\frac{3}{5}$3/5 と $\frac{5}{8}$5/8 を比べるには、それぞれの分子に相手の分母をかけます。

3 × 8 = 24 と 5 × 5 = 25 を比べて、$\frac{5}{8}$5/8 のほうが大きい。

$\frac{1}{2}$1/2 と比べる

いちばん速い見分け方。分子を2倍して、分母とどちらが大きいかを見ます。$\frac{7}{16}$7/16 — 7 の2倍は 14 で、16 より小さいので、$\frac{1}{2}$1/2 より小さい。

分数のたし算とひき算

分母が同じ — 分子を足して、分母はそのまま

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7。

分母がちがう — まずそろえる

どちらの分母でも割り切れる数を見つけ、両方をその分母で書き直してから、分子を足します。

1/3 + 1/4 → 12分の1で → 4/12 + 3/12 = 7/12。

2/5 + 1/2 → 10分の1で → 4/10 + 5/10 = 9/10。

二つの分母をかけ合わせれば、共通の分母は必ず手に入りますし、必ずうまくいきます。ただ、必要より大きな数になることがあるだけです。$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 なら 24 でもできますが、12 で足りて、約分する手間も減ります。

ひき算も同じ動き

3/4 − 2/3 → 12分の1で → 9/12 − 8/12 = 1/12。

帯分数 — 整数の部分は分けて扱う

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3、そして $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4 なので、$4\frac{1}{4}$4 1/4。

ひき算で分数の部分が引けないときは、整数から1つ借りてかけらに変えます：3 1/5 − 1 3/5 → 借りて $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5。

かけ算とわり算

難しいと身構えられるほうですが、じつはこちらのほうがやさしいところです。

かけ算 — そのまま横に

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15。通分はいりません。

わり算 — 後ろをひっくり返してかける

$\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=3$1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3。

分数、小数、百分率

一つの考えの三つの書き方です。分数はまだ実行していないわり算で、$\frac{3}{4}$3/4 は 3 ÷ 4 = 0.75、つまり 75% です。

この数個を見ただけで言えるようにしておくと、日常の割合の問題から計算のほとんどが消えます。詳しくは百分率のガイドで。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

• 分母を足してしまう。$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 は 1 であって $\frac{2}{4}$2/4 ではありません。下は単位で、積み上がりません。
• 分母が大きいほど大きい分数だと読む。1/8 < 1/3。切るほど、かけらは小さい。
• 上だけ約分する。片方にしたことは、もう片方にもする。しないと値が動きます。
• かけ算の前に通分する。間違いではありませんが、要らない手間です。かけ算は単位をそろえる必要がありません。

ゲームで練習する

Math Challenge には分数のトピックがあり、たし算とひき算を出題します。通分が要る二つ、つまりみんなが間違える二つです。分母がそろっている問題や仲のよい分母から始まり、正解するほど幅が広がります。

小数、百分率、そのほかの計算の段ばしごのトピックと並んでいて、アカウントのいらない無料のデイリーチャレンジもあります。

このページは短い答えです。仮分数と帯分数、量の何分のいくつ、三つの分数を順に並べる、そして一段ごとの図つきレッスンまで含む全体の段ばしごは、等しい分数と帯分数にあります。

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