函數與有理函數

更新 2026年10月7日

函數是一條規則：給它一個輸入，就恰好回傳一個輸出。這個定義決定了哪些輸入可以用、什麼時候規則可以倒著走，以及為什麼有些圖形會有缺口。

f(x) 是什麼意思？

f(x) 是函數 f 在輸入為 x 時的輸出，不是 f 乘以 x。求值時，把輸入代入規則裡的每一個 x。若 $f\left(x\right)=x^2-3x$f(x) = x² − 3x，則 f(5) 是 $5^2-3\times 5=25-15=10$5² − 3 × 5 = 25 − 15 = 10。x 只是一個佔位符號，所以任何數或式子都可以取代它：f(a + 1) 的意思是 ${\left(a+1\right)}^2-3\left(a+1\right)$(a + 1)² − 3(a + 1)。這個記法的好處是把輸入和輸出放進同一個符號，所以 f(5) = 10 這樣的敘述同時記下了兩者。負的輸入要加括號：f(−2) 是 ${\left(-2\right)}^2-3\times \left(-2\right)=4+6=10$(−2)² − 3 × (−2) = 4 + 6 = 10，少了括號，${\left(-2\right)}^2$(−2)² 就變成 −4。可以用圖形檢驗一個值：點 (5, 10) 在曲線 y = f(x) 上，因為 x 為 5 時，y 就是輸出。

若 f(x) = 2x + 1，則 f(3) = 2 × 3 + 1 = 7。同樣地，f(a + 1) = 2a + 3。

詳見 函數記法。

怎麼求定義域和值域？

定義域是函數接受的輸入所成的集合，值域是它產生的輸出所成的集合。求定義域時，先從所有實數出發，再去掉每一個會破壞規則的值：分母不能為零，根號內不能是負數，對數的輸入必須為正。對 $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}+1$f(x) = √(x − 3) + 1，根號內需要 $x-3\ge 0$x − 3 ≥ 0，所以定義域是 $x\ge 3$x ≥ 3。根號的值最小是 0，出現在 x = 3，所以最小的輸出是 0 + 1 = 1，值域是 $y\ge 1$y ≥ 1。這些規則之所以存在，是因為每種運算在範圍之外都沒有定義。實際情境可能把定義域縮得更小，例如長度必須為正。值域通常要靠圖形或規則的形狀來判斷，而不是列出禁用的值。用一個值來檢驗：x = 7 得到 $\sqrt{4}+1$√4 + 1，也就是 3，落在值域之內。

再看兩個例子：$f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-2\right)}$f(x) = 1/(x − 2) 的定義域是除了 2 以外的所有實數。$f\left(x\right)=\sqrt{x-5}$f(x) = √(x − 5) 的定義域是 $x\ge 5$x ≥ 5。

對 $f\left(x\right)=x^2$f(x) = x²，每個輸入都允許，但平方永遠不會是負數，所以值域是 $y\ge 0$y ≥ 0。

詳見 定義域和值域。

由幾段組成的函數

分段函數在定義域的每一段上使用不同的規則。求值時，先找出輸入落在哪一段，再用那一段的規則。邊界歸屬於不等式含有「等於」的那條規則。

兩條規則在邊界上的值相同時，各段銜接處就沒有跳躍。要做到這一點，先算出每條規則在邊界上的值，令兩個值相等，再解出未知的常數。

詳見 分段函數、畫出分段函數的圖形和讓分段函數連續。

合成函數與反函數

合成函數把一個函數的輸出，當作另一個函數的輸入。fg(x) 表示 f(g(x))：先套用 g，再套用 f。若 f(x) = x + 1 且 $g\left(x\right)=x^2$g(x) = x²，則 fg(2) = f(4) = 5，但 gf(2) = g(3) = 9。

反函數把原函數還原：若 f 把 3 送到 10，則 $f^{-1}$f⁻¹ 把 10 送回 3。要求反函數，就把步驟的順序倒過來，並把每一步換成它的相反運算。f(x) = 3x + 1 先乘以 3 再加 1，所以 $f^{-1}$f⁻¹ 先減 1 再除以 3：$f^{-1}\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{3}$f⁻¹(x) = (x − 1)/3。

把輸入和輸出對調，就是把每個點的座標對調，所以 (3, 10) 變成 (10, 3)。

詳見 合成函數和反函數。

變換怎樣改變圖形？

括號外的改變作用在輸出上，圖形的移動和字面一致：$y=x^2+3$y = x² + 3 把 $y=x^2$y = x² 的每個點向上移 3。括號內的改變作用在輸入上，效果相反：$y={\left(x-3\right)}^2$y = (x − 3)² 把圖形向右移 3。會相反，是因為 x 現在必須大 3，才能讓括號得到相同的值，所以頂點從 x = 0 移到 x = 3。幾個改變同時出現時，先做括號內的，再做括號外的：$y=2{\left(x-3\right)}^2+3$y = 2(x − 3)² + 3 先右移 3，再把每個高度加倍，最後上移 3。用一個點檢驗：$y=x^2$y = x² 上的 (1, 1) 應該移到 $y={\left(x-3\right)}^2+3$y = (x − 3)² + 3 上的 (4, 4)，確實 ${\left(4-3\right)}^2+3=1+3=4$(4 − 3)² + 3 = 1 + 3 = 4。

伸縮也遵循同樣的分法。$y=2x^2$y = 2x² 把每個高度加倍，沒有任何點橫向移動。$y={\left(2x\right)}^2-4$y = (2x)² − 4 作用在輸入上，所以括號在 x 只有一半時就達到原來的值，曲線被壓成一半寬。

詳見 圖形的變換、圖形的垂直伸縮和圖形的水平伸縮。

指數增長有什麼不同？

指數增長每一步乘以同一個因數，線性增長則每一步加上同一個量。倍增 n 次之後，起始量 A 變成 $A\times 2^n$A × 2ⁿ。從 3 開始，每步加 3 得到 6、9、12、15，但每步倍增得到 6、12、24、48。倍增十次等於乘以 1,024，3 × 1,024 = 3,072，而 3 + 10 × 3 = 33。指數函數每一步都比前一步大，因為增加的是目前量的固定比例，所以曲線終究會超過任何一條直線。百分率決定因數：每年增長 10% 就是乘以 $\frac{11}{10}$11/10。因數小於 1 時情況相反：量朝零縮小卻永遠到不了零，這就是指數衰減。檢驗數據時，把每一項除以前一項。對 6、12、24、48，每個比值都是 2，而差 6、12、24 一直在變。

半衰期 3 天，表示每 3 天量就減半：80 g 變成 40 g，再變成 20 g，再變成 10 g。

現實中沒有東西能永遠倍增，因為空間會用完。邏輯斯模型一開始像指數函數一樣增長，之後趨於平緩，貼近一個稱為承載量的上限。

詳見 指數增長、指數衰減、增長與衰減應用題和邏輯斯增長與承載量。

對數有什麼用？

對數給出底數必須乘方到的次數：${\log }_{2}8=3$log₂ 8 = 3，因為 $2^3=8$2³ = 8。取對數是乘方的還原，就像減法是加法的還原。一般來說，y 以 b 為底的對數，是滿足 $b^x=y$bˣ = y 的數 x，所以每一個對數的事實，都是把指數的事實倒著讀：${\log }_{10}1000=3$log₁₀ 1000 = 3，因為 10 × 10 × 10 = 1,000。對數可以解未知數在指數位置的方程。答案不是整數時，兩邊取對數，再用冪次法則把次方拉下來：$5^x=30$5ˣ = 30 得到 x log 5 = log 30，所以 x = log 30 / log 5。只有正數才有實數對數，因為正數底數的任何次方都不會是零或負數。把底數乘方到答案來檢驗：2 × 2 × 2 = 8。

對數定律來自指數定律。同底數的冪相乘，指數相加，$2^3\times 2^4=2^7$2³ × 2⁴ = 2⁷，所以 log(ab) = log a + log b。相除則指數相減：$\log \left(a/b\right)=\log a-\log b$log(a / b) = log a − log b。乘方是重複的乘法，所以指數會移到前面：$\log \left(x^n\right)=n\log x$log(xⁿ) = n log x。

解 $3^x=20$3ˣ = 20：x log 3 = log 20，所以 $x=\log 20/\log 3\approx 2.727$x = log 20 / log 3 ≈ 2.727。

計算機只有 ${\log }_{10}$log₁₀ 和 ln，換底公式能從這兩個得到其他任何底數：${\log }_{2}N=\log N/\log 2$log₂ N = log N / log 2。ln 是以 $e\approx 2.718$e ≈ 2.718 為底的對數，並且遵守上面所有定律。

詳見 指數與對數、對數定律、解指數方程、換底公式和自然對數。

在對數刻度上讀數據

對數軸把每個值 v 放在距離 log v 的位置，所以相等的距離代表相等的倍數：1、10、100 和 1000 等距排列。

對數軸可以檢驗是否為指數增長。若 $y=a\times b^x$y = a × bˣ，兩邊取對數得到 log y = log a + x log b，這是一條關於 x 的直線。把 log y 對 x 作圖：若點排成直線，數據就是指數型，再對斜率和截距還原對數，就能求回 b 和 a。

取對數的那條軸決定模型。冪次律 $y=a{x}^n$y = a xⁿ 在 log y 對 log x 作圖時會變成直線，斜率是 n。對數模型 y = a + b ln x 則在 y 對 ln x 作圖時變成直線。

詳見 對數函數圖形、用對數把增長拉直、把冪次關係拉直和配適對數模型。

為什麼有些圖形會有缺口？

有理函數是一個多項式除以另一個多項式，分母為零的地方沒有值，所以圖形在那裡有缺口。先把分子和分母因式分解，再檢查每個使分母為零的因式。若它沒有相消，圖形就有一條垂直漸近線：$y=\frac{1}{\left(x-3\right)}$y = 1/(x − 3) 在 x = 3 有一條，因為 x 靠近 3 時分母很小，函數值無限增大。若它相消，缺口就只是一個遺漏的點，稱為空點。對 $y=\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(x-3\right)}$y = (x² − 9)/(x − 3)，分子是 (x − 3)(x + 3)，所以圖形就是直線 y = x + 3，只是 x = 3 的那一點被拿掉，高度是 3 + 3 = 6。這個分式和這條直線，除了 x = 3 以外處處相同。附近的輸入可以檢驗漸近線：$\frac{1}{\left(x-3\right)}$1/(x − 3) 在 $x=3+\frac{1}{100}$x = 3 + 1/100 是 100，在 $x=3-\frac{1}{100}$x = 3 − 1/100 是 −100。

分數只有在分子為零時才為零，所以分子的零點就是 x 截距。

$\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}$(x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2)。相消之後，除了 x = 2 以外，每個 x 都剩下 x + 2，而原式在 x = 2 是 0 ÷ 0。空點是可去間斷點；漸近線則無法修補。

離原點很遠時，領導項決定圖形的形狀，所以比較分子和分母的次數。分母次數較高時，曲線貼近 y = 0。次數相等時，曲線貼近領導係數的比：$\frac{\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)}$(2x + 1)/(x − 1) 貼近 y = 2。分子恰好高一次時，曲線改為趨近一條斜線。

長除法可以求出那條線。多項式的除法和數的除法一樣：比較領導項、乘回去、相減，再重複。商就是斜漸近線，餘式除以除式在很遠處會消失。$\frac{\left(x^2+3x+5\right)}{\left(x+1\right)}=x+2+\frac{3}{\left(x+1\right)}$(x² + 3x + 5)/(x + 1) = x + 2 + 3/(x + 1)，所以斜漸近線是 y = x + 2。

詳見 零點和垂直漸近線、因式相消形成的空點、由次數判斷水平漸近線、多項式長除法和用長除法求斜漸近線。

值得點名的錯誤

• 把 f(x) 當成乘法。f(4) 是把 4 代入 x，而 f(a + b) 不等於 f(a) + f(b)，除非 f(x) = kx。
• 往錯的方向平移。f(x + 3) 把圖形向左移 3。括號內的改變，效果相反。
• 合成的順序錯了。fg(x) 表示 f(g(x))：先套用 g。
• 相消後沒有記下空點。把 $\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}$(x² − 4)/(x − 2) 化簡成 x + 2，就丟掉了 x = 2 本來就不被允許這件事。

方程式的圖形與座標幾何講的是這些變換所作用的直線和曲線，數列與級數則從指數增長接續到等比級數。相關指南：極限與連續和二次方程式與多項式。