機率與組合事件

更新 2026年9月25日

機率是學校數學裡少有的一個分支：算對了的結果常常和強烈的直覺相矛盾——而且通常是直覺錯了。這讓它格外值得仔細對待。運算本身很簡單，難的始終是把「你問的到底是哪個事件」說準確。

機率到底衡量什麼？

機率衡量一件事有多可能發生，用一個從 0（不可能）到 1（必然）的數表示。當每種結果的可能性都相同時，機率就是「事件發生的結果數」除以「結果總數」。一枚均勻的骰子有六個面，其中三個是偶數，所以擲出偶數的機率是 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$3/6 = 1/2。參見機率標尺，它把「不太可能」「機會均等」這類說法放在同一條線上。這個分數之所以成立，是因為每一種可能性相同的結果，占的「必然性」份額都一樣。當各種結果不是等可能時，步驟就不一樣了，比如圖釘落地時針尖朝上——這時機率要透過多次試驗來估計，用「成功次數除以嘗試次數」表示。一件事不發生的機率是 1 減去它發生的機率，所以沒擲出六的機率是 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$1 − 1/6 = 5/6。所有結果的機率加起來必須等於 1：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$1/2 + 1/2 = 1。

要得到一個數字，得先把可能發生的事情列出來。樣本空間就是把每一種結果都寫出來的訓練，也是人們最容易跳過、之後又後悔的一步：兩顆骰子的樣本空間有 36 種結果，而不是 11 種，因為擲出 3 和 4，跟擲出 4 和 3，是兩種不同的結果。

單一事件的機率接著用除法——有利結果除以總結果——但這個除法要成立，有個條件：各種結果必須是等可能的。互補事件把一個問「不發生什麼」的問題，換成了問「發生什麼」。

從實驗而非理論出發的機率

實驗機率處理的是無法直接數出來的結果。

大數法則說的是這種估計會收斂：試驗次數越多，相對頻率就越接近真實機率。

由機率推算期望次數是反過來做：用機率乘以試驗次數，預測某件事應該發生多少次。擲 20 次骰子，六大概會出現三四次，而「預測值」和「實際發生的次數」之間的差距，正是後面每一種統計檢定要度量的量。

兩個事件同時發生，要怎麼處理？

要同時處理兩個事件，就把它們畫出來，讓每一種結果都有地方安放。文氏圖用一個方框裡兩個重疊的圓表示兩個事件，把結果分成四個區域：只有 A、只有 B、兩者都有、兩者都沒有。參見給文氏圖的區域命名。假設一個 30 人的班級裡，12 人踢足球，10 人打網球，4 人兩樣都參加。那麼只踢足球的有 8 人，只打網球的有 6 人，兩樣都不參加的有 30 − 8 − 6 − 4 = 12 人。隨機抽到一名參加運動的學生的機率是 $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$18/30 = 3/5。這幾個區域互不重疊，合起來又覆蓋了全班，所以每個學生正好被算一次。把兩個總數直接相加，中間那部分就被算了兩次，這就是為什麼 12 + 10 = 22 會把實際參加運動的 18 人算多了；要把重疊部分扣掉一次。把四個區域加回全班人數可以驗證這張圖：8 + 6 + 4 + 12 = 30。

可能性表格是兩階段實驗的表格版本：一個階段的結果排在上方，另一個排在側邊。兩顆骰子就變成一張 6 × 6 的表格，你可以直接數出和為 7 的格子數；由面積求機率把同樣的想法延伸到連續型的情況，這時機率變成了面積之比，而不是計數。

互斥事件是可以直接相加的條件：如果兩個事件不可能同時發生，那麼其中一個或另一個發生的機率就是兩者之和。如果它們可能重疊，重疊事件的加法法則就要把重疊部分扣掉一次：P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。

獨立事件是可以直接相乘的條件：如果一個事件的結果不會影響另一個事件發生的機率，那麼兩者都發生的機率就是兩者的乘積。擲兩次硬幣是獨立的；不放回地抽兩張牌則不是。

樹狀圖是怎麼運作的？

樹狀圖展示一連串事件：每個階段畫出一組分支，每條分支上標著機率。沿一條路徑把機率相乘，就是這一串結果的機率；把回答問題的幾條路徑加起來，就是答案。一個袋子裡有 2 個紅色籌碼和 3 個藍色；取一個，放回去，再取一個。兩次都取到紅色的機率是 $\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$2/5 × 2/5 = 4/25。一紅一藍有兩種取法，所以把兩條路徑加起來：$\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{12}{25}$2/5 × 3/5 + 3/5 × 2/5 = 12/25。參見樹狀圖。乘法之所以成立，是因為第二階段只發生在第一階段留下的那一部分情況裡。加法之所以成立，是因為不同的路徑不可能同時發生。如果取出的籌碼不放回去，第二層的分支就會變：取到一個紅色之後，剩下的 4 個籌碼裡只有 1 個紅色，所以兩次都紅變成了 $\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$2/5 × 1/4 = 1/10。從每一點出發的幾條分支加起來是 1，所有路徑加起來也是 1：$\frac{4}{25}+\frac{12}{25}+\frac{9}{25}=1$4/25 + 12/25 + 9/25 = 1。

至少一次的機率是第一個真正有用的技巧。「三次裡至少一次六」要拆成七條路徑；「一次六都沒有」只是一條路徑。$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\approx 0.42$1 − (5/6)³ ≈ 0.42。用窮舉的辦法並沒有錯，只是很容易漏掉一種情況。

接下來，分支開始發生變化。不放回指的是取走一件東西會改變剩下的情況，所以第二層的分數和第一層不一樣——而且每條分支都不一樣。不放回時沿樹狀圖相乘給出了完整的計算過程。

一個袋子裡有 5 個紅球和 3 個藍球。$P\left(\text{both red}\right)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}$P(both red) = 5/8 × 4/7 = 20/56。分母變小是因為少了一個球；分子變小是因為拿走的正好是紅球。

什麼是條件機率？

條件機率是「在已知另一件事已經發生的情況下」，某個事件發生的機率，也就是樣本空間縮小到了「已知事件」發生的那些結果。條件機率展示了這種縮小，條件機率的寫法把它寫成：$P\left(A|B\right)=P\left(A\cap B\right)$P(A | B) = P(A ∩ B)。擲一枚均勻的骰子，假設你被告知結果是偶數。這時只剩下 2、4、6，所以在「結果是偶數」的條件下擲出 4 的機率是 $\frac{1}{3}$1/3，而不是 $\frac{1}{6}$1/6。用公式算，$\frac{1}{6}÷\frac{3}{6}=\frac{1}{3}$1/6 ÷ 3/6 = 1/3。除法把變小的樣本空間重新調整比例，使它的機率之和重新變回 1。順序很重要：在「擲出 4」的條件下結果是偶數的機率是 1，因為 4 一定是偶數；而在「結果是偶數」的條件下擲出 4 的機率是 $\frac{1}{3}$1/3。在樹狀圖裡，第二階段的每一條分支本身就已經是條件機率。剩下的三種結果必須分完全部機率：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$1/3 + 1/3 + 1/3 = 1。

把這個公式理解成「限定範圍」，而不是單純的除法。分子算的是兩者都發生的結果；分母算的是這個變小了的新世界裡的全部結果。在雙向表裡，這就是只讀一欄，忽略其餘部分，圖表指南（英文）裡講了頻數樹。

「獨立」在這裡有了真正的定義：當且僅當 P(A | B) = P(A) 時，A 和 B 才是獨立的——也就是說，知道 B 發生了，對 A 毫無影響。

為什麼那些經典難題人人都會中招？

經典的機率難題之所以能騙到人，是因為每一道題都藏著一個直覺答案忽略掉的條件。在蒙提霍爾問題裡，有三扇門和一份獎品。你選一扇門，主持人打開另一扇沒有獎品的門，然後你可以選擇換門。換門贏的機率是三分之二。你一開始選對的機率是 $\frac{1}{3}$1/3，主持人的動作不會改變這一點，所以另一扇沒打開的門就帶著剩下的 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$1 − 1/3 = 2/3。藏著的條件是，主持人知道獎品在哪裡，絕不會打開那扇門；如果主持人是隨機開門，那機率就會變成對半開。把所有情況列出來就一目了然：假設獎品在 1 號門後面，依序假設你選每一扇門，換門的話會輸一次、贏兩次。生日悖論藏著的是一次計數：23 個人能組成 23 × 22 ÷ 2 = 253 對，每一對都可能生日相同。蒙提霍爾問題裡的兩份機率合起來正好是全部獎品：$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$1/3 + 2/3 = 1。

蒙提霍爾問題：主持人知道獎品在哪裡，正是這份知情，把三分之二的機率都轉移到了那扇沒打開的門上。

生日悖論：在一個 23 人的房間裡，兩人生日相同的可能性其實超過一半。直覺是拿自己和其他 22 個人比較，而這件事問的是每一對之間的比較。把它算成「1 減去所有人生日都不同的機率」——$\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \dots$365/365 × 364/365 × 363/365 × …——就能清楚看出機率是怎麼一步步崩塌下去的。

陽性結果為什麼可能仍然健康是唯一一個走出教室也有實際後果的例子。假設一種病每千人有一人患病，檢測在兩個方向上都有 99% 的準確率，對 10 萬人做檢測：患病的 100 人裡大約 99 人會測出陽性，而沒患病的 99,900 人裡，也會有大約 999 人測出陽性。陽性結果只有大約 9% 的機率是真的。

反過來讀樹狀圖：基率的答案是背後的一般方法。按事件發生的順序把樹狀圖畫出來，然後反過來讀：「已知檢測呈陽性，患病的機率是多少」這個問題的答案，就是那一條相關路徑，除以所有走到陽性結果的路徑之和。這正是貝氏定理，只是靠數數得出來，而不是靠套公式。

值得點名的常見錯誤

• 把可能同時發生的事件的機率直接相加。要扣掉重疊部分，否則就是算了兩次。
• 在事件不獨立時直接相乘。不放回的情況下，第二個分數必須跟著變。
• 把不是等可能的結果拿來列舉。兩顆骰子有 36 種等可能的結果；它們的 11 種可能的和卻不是等可能的。
• 以為連續出現之後「該輪到」另一面了。獨立試驗沒有記憶。比例是靠「稀釋」拉平的，不是靠「糾正」。
• 把 P(A | B) 和 P(B | A) 弄反。這就是基率錯誤，是這個主題裡後果最嚴重的一種錯誤。
• 逐一列舉「至少一個」的情況。用互補事件；窮舉的辦法很容易漏掉一條分支。

接下來學什麼

一旦樣本空間變得很大，直接算結果就不再可行了，解決辦法是不列舉也能算——排列、組合，以及整理它們的集合記號，都在集合、計數與分布指南（英文）裡，那一篇也把重複試驗變成了二項分布。把觀察到的頻率變成對整個群體的判斷，是抽樣與推論指南（英文）的內容。而每一棵樹狀圖都要用到的分數運算，在分數指南（英文）裡。

到應用裡系統學一遍

Math Challenge 把這些內容都做成配圖講解的課程——畫出樹狀圖或文氏圖，給出完整的計算過程，還有練習題：答錯了，重新教的就是你錯的那一道題，而不是隨便找一道相近的。這些課程收在一個有 800 多節課的課程庫裡，從最初的計數一路講到大學入學考試程度的機率。