方程式的圖形與座標幾何

座標幾何是一個想法的反覆使用：曲線就是滿足一個方程式的點的集合。形狀一旦有了方程式，關於形狀的問題就變成了關於代數的問題，而代數能查帳。

這就是笛卡兒提出的那筆交易的全部。距離變成畢氏定理，「這條直線是切線」變成「判別式等於零」，一個需要巧妙作圖的幾何論證，變成一筆誰都能做的計算。

座標究竟做什麼？

它給平面上每個點一個獨一無二的地址，讓形狀不用畫出來就能被描述。座標平面把這套搭起來：兩條互相垂直的數線，一對 (x, y)，先橫著走再往上走就到。

順序要緊，而且人人都栽過一次。(3, 5) 是橫著 3、往上 5；(5, 3) 完全是另一個點。先橫後縱，正好和字母表把 x 排在 y 前面同一個順序。

斜率是什麼，負斜率為什麼往下走？

斜率是 x 每走 1，y 變化多少，所以負斜率代表 x 漲的時候 y 在掉 —— 直線從左到右往下走。由兩點求斜率把它算成 y 值的差除以 x 值的差。

從 (1, 4) 到 (3, 10)：縱向差 6，橫向差 2，斜率是 3。 從 (0, 7) 到 (2, 1)：縱向差 −6，橫向差 2，斜率是 −3。

y = mx + c 是什麼意思？

m 是斜率，c 是直線穿過 y 軸的地方，這兩個數合起來把直線釘得死死的。y = mx + c 是你想畫一條直線、或想把兩條直線一眼比出來時該伸手拿的形式。

它不是唯一的形式，別的形式也不是擺設。把直線寫成 Ax + By = C 接住了 y = mx + c 接不住的那一種 —— 鉛直線，它的斜率沒有定義 —— 聯立方程式也天然長成這個樣子。點斜式是你知道一個斜率和一個點時最快的路，而幾乎每道切線題遞給你的正是這兩樣。

這三種形式是同一條直線換了三身衣服，座標幾何這一課在更難的工作開始之前把它們縫到一起。

怎麼求過兩點的直線方程式？

1. 用兩個點求斜率。
2. 把這個斜率和隨便哪個點放進 y − y₁ = m(x − x₁)。
3. 整理成題目要的那種形式。

過 (1, 4) 和 (3, 10)：斜率 3，所以 y − 4 = 3(x − 1)，得 y = 3x + 1。過兩點的直線方程式把這一路做完，包括每次都值得做的那個驗算 —— 把另一個點代進去，確認它坐得進去。

兩條直線什麼時候平行、什麼時候垂直？

平行線斜率相等；垂直線的斜率乘起來是 −1。平行線與垂直線的斜率很短，做的工作卻比這一頁上任何一課都多，因為座標幾何的一半都歸結成這兩條檢驗之一。

中點與距離

中點就是兩個點的平均，一個座標一個座標地取。線段的中點把理由擺明：橫向的中點是 x 值的平均，縱向也一樣。

距離是把直角三角形藏起來的畢氏定理。兩點間的距離把它搭出來：橫向的缺口和縱向的缺口是兩條直角邊，直線距離是斜邊。從 (1, 2) 到 (4, 6)：橫 3，縱 4，距離是 5。

標準曲線長什麼樣？

四種形狀蓋住你會遇到的大半，而且每種都能在描出一個點之前就從方程式認出來。二次函數的圖形引入拋物線 —— 對稱，一個轉折點，x² 係數為正時開口向上 —— 二次與三次曲線再添上三次曲線，它可以扭兩下，而且永遠從平面的一角跑向對角。

反比例函數的圖形是第一條中間破了個洞的曲線：y = 1/x 在 x = 0 沒有值，貼著兩條軸走卻永遠碰不上。這是讀者第一次遇見漸近線，它會在分式函數（英文）裡大舉回歸。

絕對值曲線看起來古怪，其實不怪。y = |x| 的圖形是個 V，因為絕對值放過正的輸入、把負的往上翻。給整個式子取絕對值把這面鏡子照到任何曲線上 —— 原來在軸下面的都翻上來 —— 而把 x 換成 |x| 做的是截然不同的事：把圖形的左半邊丟掉，換成右半邊的鏡像。兩個長得像的記號，兩幅不相干的畫。

怎麼找兩條圖形的交點？

讓兩個方程式相等再解 —— 交點是同時滿足兩個方程式的一對 (x, y)，這正是聯立方程式的意思。聯立方程式管代數，圖形的交點管解讀：代數解出幾個解，曲線就相交幾次。

圓的方程式是什麼？

半徑 r、圓心 (a, b) 的圓是 (x − a)² + (y − b)² = r²，這是穿上方程式外衣的畢氏定理。圓的方程式從距離公式把它推出來，一旦看出左邊是一個距離的平方，這個形式就不用背了。

真實的題目很少把它按這個樣子遞過來。展開之後，它長成 x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 這樣，想把圓心和半徑找回來，就要對 x 的項和 y 的項分別配方 —— 解二次方程式用的同一門手藝，派了個幾何用場。

有兩個追問常來。圓上一點處的切線只用一件事 —— 切線在切點處垂直於半徑 —— 所以切線的斜率是半徑斜率的負倒數，一點微積分都不用。直線與圓相交把直線代進圓、讀掉出來的那個二次方程式的判別式：兩個根是弦，一個根是切線，沒有根是錯過。

橢圓與雙曲線

橢圓是一個朝兩個方向被拉伸了不同倍數的圓，它的方程式把兩個拉伸都記了下來。橢圓的方程式給出 x²/a² + y²/b² = 1，a 和 b 是從中心沿兩條軸到曲線的距離；讓 a = b，圓就分毫不差地回來了。

把那個加號換成減號，曲線斷成兩截。雙曲線的方程式講清為什麼：x²/a² − y²/b² = 1 在 x 小的時候根本沒有解，平面正中一整條帶子是空的，剩下的兩支朝一對直線漸近線跑開。這和反比例圖形逃向無窮遠是同一種行為，擺在一個更對稱的舞台上。

描述一段旅程的圖

在路程–時間圖上，斜率是速度，因為路程的變化除以時間的變化正是速度的意思。路程–時間圖也倒著讀它們：平的一段是停下，更陡的線是更快的一程。

速度–時間圖換掉了各個特徵的含義。這裡斜率是加速度，而下方的面積是走過的路程 —— 速度 × 時間這塊長方形就是一段路程，曲線下任何形狀都一樣。

這一切的一般形態是區間上的平均變化率：任何曲線上連接兩點的那條直線的斜率，它說的是這個量在兩點之間平均變得多快。把區間縮到幾乎沒有，你手裡就是微分學的中心想法 —— 這條線索從那裡接著走。

值得點名的錯誤

• 把截距讀成斜率。y = 4 + 2x 裡斜率是 2，不是 4。先整理成 y = mx + c，歧義就沒了。
• 兩個座標按相反的方向相減。兩個差必須朝同一個方向跑，不然斜率的符號是錯的。
• 把右邊那個數當半徑。(x − 2)² + (y + 1)² = 25 裡半徑是 5，不是 25。
• 直接從括號上讀圓心的符號。(x − 2)² 代表圓心在 x = +2。

在應用程式裡好好學

Math Challenge 把這一切教成配圖帶試一試的課程，裝在一套從數數到微積分的 800 多課課程目錄裡。從這裡出發，兩個自然的鄰居是二次方程式與多項式 —— 這一頁上每條拋物線背後的代數 —— 和函數與分式函數（英文），它把變換的想法帶得更遠。

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