方程式的圖形與座標幾何

更新 2026年10月13日

座標幾何是一個想法的反覆使用：曲線就是滿足一個方程式的點的集合。形狀一旦有了方程式，關於形狀的問題就變成了關於代數的問題，而代數能查帳。

這就是笛卡兒提出的那筆交易的全部。距離變成畢氏定理，「這條直線是切線」變成「判別式等於零」，一個需要巧妙作圖的幾何論證，變成一筆誰都能做的計算。

座標究竟做什麼？

座標給平面上每個點一個獨一無二的地址，讓形狀不用畫出來就能被描述和測量。這個平面是兩條互相垂直的數線，交點是原點 (0, 0)。一對 (x, y) 的意思是先橫著走 x，再往上走 y，負數就往左或往下走。見座標平面。點 (3, 4) 是橫著走3、往上走4，用勾股定理可以求出它到原點的距離：3 × 3 + 4 × 4 = 25，也就是5的平方，所以距離是5。橫向和縱向的兩步互相垂直，正好是一個直角三角形較短的兩條邊。順序很重要：(3, 4) 和 (4, 3) 是不同的點，x 永遠寫在前面。中點是把每個座標取平均：從 (2, 6) 到 (8, 10)，中點是 (5, 8)，因為 (2 + 8) ÷ 2 = 5，(6 + 10) ÷ 2 = 8。

(3, 5) 是橫著 3、往上 5；(5, 3) 完全是另一個點。

斜率是什麼，負斜率為什麼往下走？

斜率衡量的是陡峭程度：x 每走1步，y 變化多少。在兩點之間，用 y 的變化除以 x 的變化。從 (2, 1) 到 (6, 9)，斜率是 (9 − 1) ÷ (6 − 2) = 2，也就是每橫向走1，就往上爬2。見由兩點求斜率。負斜率代表 x 增大時 y 減小，直線從左到右往下走。從 (1, 7) 到 (4, 1)，y 的變化是 1 − 7 = −6，x 的變化是3，所以斜率是 −6 ÷ 3 = −2。符號來自減法，所以兩個差要按同樣的順序取。水平線的斜率是0，垂直線沒有斜率，因為它的 x 變化是0。交換兩點的順序結果不變：(1 − 9) ÷ (2 − 6) = 2。

從 (1, 4) 到 (3, 10)：縱向差 6，橫向差 2，斜率是 3。 從 (0, 7) 到 (2, 1)：縱向差 −6，橫向差 2，斜率是 −3。

y = mx + c 是什麼意思？

在 y = mx + c 裡，m 是斜率，c 是 y 軸截距，也就是直線穿過 y 軸的地方。對 y = 3x − 2 來說，直線在 (0, −2) 處穿過 y 軸，每橫向走1就爬升3。令 x = 0，就只剩 y = c，而 x 每走1步就給 y 加上 m。見y = mx + c。要從兩點求方程式，先求出 m，再代入一個點求 c。過 (1, 5) 和 (3, 9) 的直線，m 是 (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 2，代入 (1, 5) 得 5 = 2 + c，所以 c = 3，直線是 y = 2x + 3。另一種形式要先整理：2y = 4x + 6 兩邊同除以2後，斜率是2，不是4。用第二個點檢驗方程式：2 × 3 + 3 = 9。

它不是唯一的形式，別的形式也不是擺設。把直線寫成 Ax + By = C 接住了 y = mx + c 接不住的那一種 —— 鉛直線，它的斜率沒有定義 —— 聯立方程式也天然長成這個樣子。點斜式是你知道一個斜率和一個點時最快的路，而幾乎每道切線題遞給你的正是這兩樣。

這三種形式是同一條直線換了三身衣服，座標幾何這一課在更難的工作開始之前把它們縫到一起。

怎麼求過兩點的直線方程式？

1. 用兩個點求斜率。
2. 把這個斜率和隨便哪個點放進 $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$y − y₁ = m(x − x₁)。
3. 整理成題目要的那種形式。

過 (1, 4) 和 (3, 10)：斜率 3，所以 y − 4 = 3(x − 1)，得 y = 3x + 1。過兩點的直線方程式把這一路做完，包括每次都值得做的那個驗算 —— 把另一個點代進去，確認它坐得進去。

兩條直線什麼時候平行、什麼時候垂直？

兩條直線的斜率相等就平行，斜率相乘等於 −1 就垂直。所以 y = 2x + 1 和 y = 2x − 5 是平行的：兩者都是每橫向走1就爬升2。與它們垂直的直線斜率是 $-\frac{1}{2}$−1/2，因為 $2\times -\frac{1}{2}=-1$2 × −1/2 = −1。見平行線與垂直線的斜率。把一條直線轉過直角，會交換它的升與走並改變一個符號：橫向1、縱向2變成橫向2、縱向下1。所以把分數上下顛倒再變號，$\frac{3}{4}$3/4 就變成 $-\frac{4}{3}$−4/3。水平線和垂直線是互相垂直的，但乘積法則看不出來，因為垂直線沒有斜率。過 (4, 1) 且與 y = 2x + 1 垂直的直線是 $y=-\frac{x}{2}+3$y = −x/2 + 3，因為 $-\frac{1}{2}\times 4+3=1$−1/2 × 4 + 3 = 1。把一對斜率相乘來確認：$\frac{3}{4}\times -\frac{4}{3}=-1$3/4 × −4/3 = −1。

中點與距離

中點就是兩個點的平均，一個座標一個座標地取。線段的中點把理由擺明：橫向的中點是 x 值的平均，縱向也一樣。

距離是把直角三角形藏起來的畢氏定理。兩點間的距離把它搭出來：橫向的缺口和縱向的缺口是兩條直角邊，直線距離是斜邊。從 (1, 2) 到 (4, 6)：橫 3，縱 4，距離是 5。

標準曲線長什麼樣？

大多數圖形都屬於幾種標準類型，每一種在描點之前就能從方程式認出來。直線裡 x 的次數不超過1。帶 $x^2$x² 項的是二次函數，圖形是拋物線：對稱，有一個轉折點，這個係數為正時開口向上。見二次函數的圖形。曲線 $y=x^2-4$y = x² − 4 的轉折點在 (0, −4)，與 x 軸相交於2和−2，因為 2 × 2 − 4 = 0。三次函數的圖形可以扭兩下，永遠從平面的一角跑向對角；見二次與三次曲線。最高次項決定圖形的形狀，因為當 x 很大時，它會蓋過其他各項。最高次項係數為負會把圖形整個翻過來：$y=-x^2$y = −x² 開口向下。描幾個點可以確認草圖。在同一條拋物線上，x = 3 給出 3 × 3 − 4 = 5，x = −3 給出同樣的值，正如對稱性所說的那樣。

反比例函數的圖形是第一條中間破了個洞的曲線：$y=\frac{1}{x}$y = 1/x 在 x = 0 沒有值，貼著兩條軸走卻永遠碰不上。這是讀者第一次遇見漸近線，它會在分式函數（英文）裡大舉回歸。

絕對值曲線看起來古怪，其實不怪。y = |x| 的圖形是個 V，因為絕對值放過正的輸入、把負的往上翻。給整個式子取絕對值把這面鏡子照到任何曲線上 —— 原來在軸下面的都翻上來 —— 而把 x 換成 |x| 做的是截然不同的事：把圖形的左半邊丟掉，換成右半邊的鏡像。兩個長得像的記號，兩幅不相干的畫。

怎麼找兩條圖形的交點？

要找兩條圖形的交點，就讓它們的方程式相等再求解：交點同時滿足兩個方程式。對 y = 2x + 1 和 y = 7 − x，令 2x + 1 = 7 − x，得 3x = 6，所以 x = 2，代入任一方程式都得 y = 5。代數部分見聯立方程式，解讀草圖見圖形的交點。這個點同時落在兩條圖形上。解的個數就是交點的個數。當其中一條圖形是曲線時，代數會給出一個二次方程式，交點可能有兩個、一個或沒有：$y=x^2$y = x² 和 y = x + 2 在 $x^2-x-2=0$x² − x − 2 = 0 處相交，即 x = 2 和 x = −1，也就是點 (2, 4) 和 (−1, 1)。從圖上讀出的交點只是估計值，所以要代入兩個方程式確認：2 × 2 + 1 = 5，7 − 2 = 5。

圓的方程式是什麼？

半徑為 r、圓心在 (a, b) 的圓，方程式是 ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$(x − a)² + (y − b)² = r²。這就是畢氏定理：對圓上任意一點 (x, y)，它到圓心的水平距離和垂直距離是一個直角三角形較短的兩條邊，半徑是斜邊。見圓的方程式。所以圓心在 (2, −1)、半徑為5的圓是 ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25$(x − 2)² + (y + 1)² = 25。每個括號裡的符號都和圓心座標相反，這是常見的失誤。當方程式以展開的形式出現，比如 $x^2+y^2-4x+2y-20=0$x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0，步驟就不一樣了：要分別對 x 項和 y 項配方，才能還原成括號的形式。用一個你預期在圓上的點來檢驗：(5, 3) 相對圓心橫向3、縱向4，3 × 3 + 4 × 4 = 25。

另一個展開的圓是 $x^2+y^2-6x+4y-3=0$x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0，透過配方可以求出它的圓心和半徑。

有兩個追問常來。圓上一點處的切線只用一件事 —— 切線在切點處垂直於半徑 —— 所以切線的斜率是半徑斜率的負倒數，一點微積分都不用。直線與圓相交把直線代進圓、讀掉出來的那個二次方程式的判別式：兩個根是弦，一個根是切線，沒有根是錯過。

橢圓與雙曲線

橢圓是一個朝兩個方向被拉伸了不同倍數的圓，它的方程式把兩個拉伸都記了下來。橢圓的方程式給出 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$x²/a² + y²/b² = 1，a 和 b 是從中心沿兩條軸到曲線的距離；讓 a = b，圓就分毫不差地回來了。

把那個加號換成減號，曲線斷成兩截。雙曲線的方程式講清為什麼：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$x²/a² − y²/b² = 1 在 x 小的時候根本沒有解，平面正中一整條帶子是空的，剩下的兩支朝一對直線漸近線跑開。這和反比例圖形逃向無窮遠是同一種行為，擺在一個更對稱的舞台上。

描述一段旅程的圖

在路程–時間圖上，斜率是速度，因為路程的變化除以時間的變化正是速度的意思。路程–時間圖也倒著讀它們：平的一段是停下，更陡的線是更快的一程。

速度–時間圖換掉了各個特徵的含義。這裡斜率是加速度，而下方的面積是走過的路程 —— 速度 × 時間這塊長方形就是一段路程，曲線下任何形狀都一樣。

這一切的一般形態是區間上的平均變化率：任何曲線上連接兩點的那條直線的斜率，它說的是這個量在兩點之間平均變得多快。把區間縮到幾乎沒有，你手裡就是微分學的中心想法 —— 這條線索從那裡接著走。

值得點名的錯誤

• 把截距讀成斜率。y = 4 + 2x 裡斜率是 2，不是 4。先整理成 y = mx + c，歧義就沒了。
• 兩個座標按相反的方向相減。兩個差必須朝同一個方向跑，不然斜率的符號是錯的。
• 把右邊那個數當半徑。${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25$(x − 2)² + (y + 1)² = 25 裡半徑是 5，不是 25。
• 直接從括號上讀圓心的符號。${\left(x-2\right)}^2$(x − 2)² 代表圓心在 x = +2。

從這裡出發，兩個自然的鄰居是二次方程式與多項式 —— 這一頁上每條拋物線背後的代數 —— 和函數與分式函數（英文），它把變換的想法帶得更遠。