偏微分

更新 2026年10月7日

利潤取決於售價，也取決於賣出多少件，所以它是一個二元函數。偏微分就是處理這類函數的微積分。普通微分的每一條規則依然適用。改變的是幾何：圖形是一個曲面，而曲面在每個方向上的坡度都不一樣。

什麼是二元函數？

二元函數接收一對數 (x, y)，傳回一個數，寫作 f(x, y)。對於 $x^2+y^2$x² + y²，輸入 (3, 4) 得到 9 + 16 = 25。輸入是平面上的一個點，輸出是它上方的高度，所以圖形是一個曲面，這裡是一個最低點在原點的碗。普通的微積分在這裡要小心，因為曲面在每個方向上的坡度都可能不同。等高線有幫助：每一條都是某個固定高度的切片，就像地圖上的等高線，而這個碗在高度 25 的切片，是通過 (3, 4)、半徑為 5 的圓。有些輸入必須排除，這會改變定義域：$\sqrt{x-y}$√(x − y) 需要 $x\ge y$x ≥ y。點 (−3, 4) 的高度相同，因為平方會去掉正負號。詳見 二元函數和三維空間裡的曲面。

在高度 4 切開碗 $z=x^2+y^2$z = x² + y²，切片是圓 $x^2+y^2=4$x² + y² = 4，半徑為 2。詳見 等高線。

兩個變數時，極限還適用嗎？

適用，但在兩個變數時，極限必須沿著每一條通往該點的路徑都得到同一個值，而不只是從兩側逼近。看原點附近的 $f=2xy/\left(x^2+y^2\right)$f = 2xy / (x² + y²)。沿著 x 軸，f 是 0。沿著直線 y = x，f 是 $2x^2/2x^2$2x² / 2x²，也就是 1。兩條路徑給出兩個值，所以極限不存在。這個值取決於逼近的方向：沿著 y = mx，它在每一個距離上都是 $2m/\left(1+m^2\right)$2m / (1 + m²)。兩條路徑一致什麼也證明不了，所以要證明極限存在需要另一種做法，通常是找一個上界。對於 $x^{2}y/\left(x^2+y^2\right)$x²y / (x² + y²)，它的大小最多是 |y|，而 |y| 趨近 0，所以那個極限是 0。直線 y = 2x 讓第一個函數處處等於 $\frac{4}{5}$4/5，分子是 2 × 2 = 4，分母是 1 + 4 = 5。

詳見 二元函數的極限。

連續的意思和單變數時一樣：函數在某點的極限存在，而且等於函數在那一點的值。詳見 二元函數的連續性。

什麼是偏導數？

偏導數是 f 在一個方向上的變化率，另一個變數保持不變。求 $\frac{\partial f}{\partial x}$∂f/∂x 時，把 y 當作常數，照常對 x 求導；$\frac{\partial f}{\partial y}$∂f/∂y 則反過來。對於 $x^{2}y+5y^2$x²y + 5y²，$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$∂f/∂x = 2xy，因為 y 是常數因子，而 $5y^2$5y² 是常數；同時 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+10y$∂f/∂y = x² + 10y。在 (1, 2)，x 方向的斜率是 2 × 1 × 2 = 4，y 方向的斜率是 1 + 10 × 2 = 21。固定 y，就是用平行於 x 軸的平面切開曲面，切出來的是一條普通曲線，它的斜率就是 $\frac{\partial f}{\partial x}$∂f/∂x。彎曲的 $\partial$∂ 取代了 d，表示其他變數正被固定住，而不含 x 的項對 x 求導得 0。(1, 2) 和 (2, 2) 的高度分別是 22 和 28，所以這條割線的斜率是 28 − 22 = 6，比 4 大，因為切片是向上彎的。詳見 偏導數。

不需要任何新規則。詳見 計算偏導數。

設 $f=x^{2}y+y^3$f = x²y + y³。那麼 $\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$∂f/∂x = 2xy，因為 y 是常數因子，而 $y^3$y³ 是常數。又 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3y^2$∂f/∂y = x² + 3y²，因為 $x^2$x² 是常數因子，而 $y^3$y³ 求導得 $3y^2$3y²。

二階偏導數呢？

把偏導數再求一次導，就得到二階偏導數，共有四個：對 x 兩次、對 y 兩次，以及兩個混合的，先 x 後 y 和先 y 後 x。看 $f=x^3{y}^2$f = x³y²，它對 x 的一階偏導數是 $3x^2{y}^2$3x²y²，對 y 的是 $2x^{3}y$2x³y。再求一次導得到 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=6x{y}^2$∂²f/∂x² = 6xy² 和 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2x^3$∂²f/∂y² = 2x³，而兩個混合偏導數都是 $6x^{2}y$6x²y。在 (1, 2)，它們分別是 6 × 1 × 4 = 24、2，以及每個混合偏導數的 12。兩個混合偏導數相等，這是混合偏導數定理：只要兩者都連續，順序就不重要，所以只需算出三個。這三個合起來衡量曲面怎麼彎曲，而駐點的檢定會用到全部三個。換個順序，$2x^{3}y$2x³y 對 x 求導得 $6x^{2}y$6x²y，而 6 × 1 × 2 = 12，又是 12。詳見 高階偏導數。

看 $f=x^2{y}^3$f = x²y³。那麼 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x{y}^3$∂f/∂x = 2xy³，再對 y 求導得 $6x{y}^2$6xy²。另外 $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2{y}^2$∂f/∂y = 3x²y²，再對 x 求導得 $6x{y}^2$6xy²。詳見 混合偏導數定理。

連鎖律在這裡怎麼用？

當 x 和 y 都取決於 t 時，z = f(x, y) 會同時因為兩個原因而改變，而 $\frac{dz}{dt}$dz/dt 為每個變數加上一項：z 對該變數的偏導數，乘以該變數的變化率。對於 z = xy，其中 $x=t^2$x = t² 且 y = 3t，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=y$∂z/∂x = y 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=x$∂z/∂y = x，而兩個變化率是 2t 和 3，所以 $\frac{dz}{dt}=2$dz/dt = 2ty + 3x。在 t = 1 時，x = 1、y = 3，結果是 2 × 3 + 3 × 1 = 9。在很短的時間內，每個變數都讓 z 上升「自己的斜率乘以自己的步長」，而小小的上升可以相加。如果 x 和 y 都取決於 s 和 t，那麼 $\frac{\partial z}{\partial s}$∂z/∂s 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$∂z/∂t 各有兩項，一項經過 x，一項經過 y。只有一個變數時，這個公式就是普通的連鎖律。先代入再求導，結果一致：$z=3t^3$z = 3t³ 求導得 $9t^2$9t²，而 9 × 1 = 9。

$\frac{dz}{dt}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dt}\right)$dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt).

把依賴關係畫成一棵樹，沿每條分支相乘，再把各分支相加。詳見 偏導數的連鎖律。

什麼是梯度向量？

梯度向量 $\nabla f$∇f 以兩個偏導數為分量，$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)；它指向上升最陡的方向，它的長度就是那個方向的斜率。對於 $x^2+y^2$x² + y²，$\nabla f=\left(2x,2y\right)$∇f = (2x, 2y)，所以在 (3, 4) 它是 (6, 8)，正對著碗壁往上指，長度為 10，因為 36 + 64 = 100。沿單位向量 u 的斜率是 $\nabla f\cdot u$∇f · u，也就是 $|\nabla f|\cos \theta$|∇f| cos θ，其中 $\theta$θ 是兩者的夾角。它在 $\theta =0$θ = 0 時最大，所以梯度是最陡的上坡方向；在直角時它是 0，所以梯度和每條等高線都正交，這裡就是半徑為 5 的圓。梯度為零表示曲面是平的，沒有最陡的方向。沿單位向量 $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$(3/5, 4/5) 的斜率是 $6\times \frac{3}{5}+8\times \frac{4}{5}=10$6 × 3/5 + 8 × 4/5 = 10，也就是梯度的全長。詳見 梯度向量。

這種沿著指定方向的斜率，就是方向導數。詳見 方向導數。

在某一點貼著曲面的那個平面，叫做切平面。兩個偏導數給出它在 x 和 y 方向上的傾斜程度，這就把它完全確定了。詳見 切平面。

怎麼求曲面上的極大值和極小值？

在光滑曲面的極大值或極小值處，兩個偏導數都等於 0，所以把它們聯立求解，再為每個點分類。對於 $f=x^2+2y^2-4x+4y$f = x² + 2y² − 4x + 4y，偏導數 2x − 4 和 4y + 4 只在 (2, −1) 同時為 0，那裡的高度是 4 + 2 − 8 − 4 = −6。分類的方法是：把對 x 和對 y 的二階偏導數相乘，再減去混合偏導數的平方：2 × 4 − 0 = 8，是正數，而對 x 的那個也是正數，所以這是極小值。山頂或谷底的切平面是平的，所以兩個斜率在那裡都消失。結果為負表示鞍點：對於 $x^2-y^2$x² − y²，在原點得 2 × (−2) − 0 = −4，往一個方向上升，往另一個方向下降。配方可以證實：f 等於 ${\left(x-2\right)}^2+2{\left(y+1\right)}^2-6$(x − 2)² + 2(y + 1)² − 6，永遠不會低於 −6。

因為可能出現鞍點，二元函數的二階導數檢定要用到全部三個二階偏導數。詳見 曲面的駐點。

如果變數受到限制呢？

在限制條件 g(x, y) = 0 之下，拉格朗日乘數法可以求出 f 沿著那條曲線的最大值或最小值：令 $\nabla f=\lambda \nabla g$∇f = λ∇g，再把各分量方程和限制條件聯立求解。要在直線 x + y = 10 上求 xy 的最大值，取 g = x + y − 10。那麼 $\nabla f=\left(y,x\right)$∇f = (y, x) 且 $\nabla g=\left(1,1\right)$∇g = (1, 1)，所以 $y=\lambda$y = λ 且 $x=\lambda$x = λ，這迫使 x = y = 5，最大值為 5 × 5 = 25。如果 $\nabla f$∇f 斜斜地穿過曲線，沿著曲線走一步仍然能讓 f 上升，所以在最佳點，兩個梯度是平行的。乘數本身也有意義：$\lambda =5$λ = 5 是把 10 調高時，最大值增加的速率。有兩個限制條件時，每個條件各有自己的乘數。直線上的其他點都比較小，因為 4 × 6 = 24、3 × 7 = 21。

先用 $\lambda$λ 把各分量方程中的 x 和 y 表示出來，再代入限制條件。詳見 拉格朗日乘數法。

怎麼在曲面下積分？

在平面的一個區域上積分，就是積分兩次，每個變數各一次，得到的是曲面下方的體積。先固定 y 對 x 積分，得到一個截面的面積，再把這些面積對 y 積分。對於 xy 在 x 從 0 到 2、y 從 0 到 3 的長方形上，內層積分是 $\frac{x^{2}y}{2}$x²y/2，代入上下限後得 2y，而 2y 的外層積分是 $y^2$y²，結果是 9。體積由許多薄片組成，每一片是截面積乘以一個很小的厚度，就像面積由許多細長條組成一樣。區域不是長方形時，積分的上下限會改變：在 y = x 下方的三角形上，對 y 的內層積分從 0 到 x。這個長方形上的積分還可以拆成乘積，因為 xy 是 x 乘 y，而 $2\times \frac{9}{2}=9$2 × 9/2 = 9。

用符號寫，$A\left(y\right)=\int f\left(x,y\right)dx$A(y) = ∫ f(x, y) dx 且 $V=\int A\left(y\right)dy$V = ∫ A(y) dy。詳見 曲面下方的體積。

值得點名的錯誤

• 把每個變數同時求導。不含你所選變數的項，求導得 0。
• 以為斜率只有一個數。斜率取決於方向，所以梯度是一個向量。
• 因為兩條路徑一致，就認定極限存在。沿著每一條路徑逼近，極限都必須相同。
• 把每個駐點都叫做極大值或極小值。鞍點讓兩個偏導數都等於 0，但兩者都不是。
• 在列出拉格朗日方程之前，就把限制條件代入 f。先對原本的 f 和 g 求梯度，再和限制條件聯立求解。

延續下來的單變數規則在微分法則（英文）中，最佳化的想法在微分的應用（英文）中，向量的語言則在向量（英文）中。相關指南：積分的應用與極座標曲線（英文）。