比、速率與比例

更新 2026年9月25日

比是這樣一個主題：算術很簡單，讀題卻很難。幾乎沒有人會把 360 ÷ 9 算錯；但很多人會在比是 4:5 的時候去除以 4，因為他們拿一部分去比另一部分，而題目問的其實是部分與整體的比較。

「比」是拿兩部分互相比較。「分數」是拿一部分和整體比較。「速率」是比較兩個不同單位的量。把這三個概念分清楚，剩下的就只是乘法了。

什麼是比？

比比較的是兩個或更多部分的大小。比介紹了冒號記法：紅 : 藍 = 2 : 3 表示每 3 顆藍色棋子就有 2 顆紅色棋子。順序很重要，所以藍 : 紅是 3 : 2。部分與整體的比補上了關鍵的一步：把各部分加起來求出整體。這裡 2 + 3 = 5，所以紅色占全部棋子的 $\frac{2}{5}$2/5 ，而不是 $\frac{2}{3}$2/3。如果一個袋子裡按這個比裝了 20 顆棋子，一份就是 20 ÷ 5 = 4 顆，所以紅色有 2 × 4 = 8 顆，藍色有 3 × 4 = 12 顆。這是因為 20 顆棋子剛好分成 4 組 5 顆，每組 2 紅 3 藍。比的各部分同乘或同除以一個數，比值不變，所以 8 : 12 化簡回 2 : 3。把兩份加起來可以檢驗：8 + 12 = 20，正是整袋棋子的數量。

化簡比的做法跟約分一樣——把每一份都除以它們的公因數，所以 12 : 18 變成 2 : 3——這個辦法用到 三項比上也一樣不變。比、分數、百分比補全了這張換算表：2 : 3 是整體的 $\frac{2}{5}$2/5，也就是 40%。

按比分配一個數量

先加起來，再除，然後乘出去。把 360 按 4 : $5\to 9$5 → 9 份 $\to$→ 一份是 $40\to$40 → 兩份分別是 160 和 200。檢查的辦法是兩份加回去等於原數。

比的線段圖是一種讓人很難出錯的畫法：把九個相等的方塊分成兩組，問題就變得一目了然。它比看上去有用得多——這一頁上最刁鑽的題目，畫出線段圖照樣能解出來。

合併兩個比處理的是有共同中間項的情況。如果 A : B = 2 : 3，B : C = 4 : 5，兩個 B 對不上，就把每個比都縮放，直到它們一致：A : B = 8 : 12，B : C = 12 : 15，合起來 A : B : C = 8 : 12 : 15。

歸一法是貫穿這一切的通用工具：先求出一個單位，再乘出去。7 本筆記本要 21 元，一本就是 3 元，12 本就是 36 元。它從來不是最快的方法，但也從不出錯，所以遇到故意繞人的題目，就該用它。比例係數是同一個想法換了個名字，叫做乘數——把一個量變成它對應量的那個數。

什麼是速率？

速率比較的是用不同單位測量的兩個量，比如公里和小時，所以它的值帶著兩個單位。速率介紹了這個概念，速率、總量、單位數把三個數聯繫起來：速率 × 單位數 = 總量，知道其中兩個就能求出第三個。一輛車 3 小時行駛 150 公里，速率就是 150 ÷ 3 = 50 公里/小時。按這個速率，5 小時能開 50 × 5 = 250 公里，行駛 400 公里要 400 ÷ 50 = 8 小時。這是因為穩定的速率每個單位增加的量都一樣。相乘之前單位必須一致。用分鐘表示的時間要先換成小時：30 分鐘是 $\frac{1}{2}$1/2 小時，所以車走了 $50\times \frac{1}{2}=25$50 × 1/2 = 25 公里。單位可以檢查做法：公里每小時乘以小時剩下公里，正是答案該有的單位。

比較單位速率是一項實用技能——750 公克一盒賣 3.60 元，和 1.2 公斤一盒賣 5.40 元相比，換算成每 100 公克就是 0.48 元對 0.45 元——超市貨架標籤上寫的正是這個。匯率用的是同樣的算法，只是要多留意速率指向哪個方向，這才是真正容易出錯的地方。

速度、密度與壓力

速度是單位時間走過的距離，這是每個人憑直覺就懂的速率。平均速度是直覺失靈的地方：它是總距離除以總時間，而不是把幾個速度取平均。去程 60、回程 30，走的是同一條路，平均下來是 40，不是 45，因為較慢的那一段花的時間是另一段的兩倍，所佔的分量也就兩倍重。

密度（質量除以體積）和壓力（力除以面積）是同一個三角形換了標籤，這正是把它們放在一起教的用意——一種關係，三個科目。

複合單位換算是物理和數學裡都常被跳過的一步。要把分子和分母分開換算：72 km/$h\to 72$h → 72,$000\frac{m}{h}\to 72$000 m/h → 72,000 ÷ 3,$600=20\frac{m}{s}$600 = 20 m/s。兩個一起處理，正是出錯的地方。

正比和反比

正比中，一個量翻倍，另一個量也跟著翻倍，比值不變。反比中，一個量翻倍，另一個量就減半，乘積不變。

正比是 y = kx，一條過原點的直線。反比是 xy = k：4 個油漆工用 6 天完成的工作，8 個油漆工用 3 天就能完成，因為總工作量——24 個「工人·天」——是不變的。

比例常數就是數字 k 本身，把它寫出來，才能把一道比例題變成一個可以求解的方程，而不是一個要靠眼力去發現的規律。按單位值求比例就是把歸一法用在這裡，一步一步來。

地圖比例尺是常數固定的正比，這個記法值得說清楚：1 : 50,000 表示地圖上 1 公分，對應地面上 50,000 公分——也就是半公里。

比的前後變化問題

方法總是一樣的：先找出沒有變化的量，再把兩個比同時縮放，讓這個不變的量在兩邊寫成相同的份數。

改寫比來匹配份數教的就是這個縮放動作本身。接下來有三種基本情形，幾乎涵蓋了這類題目的所有考法：

• 部分不變的比——一個量不動，另一個量在變，所以要讓這一部分的數字在兩個比裡相等。
• 總量不變的比——東西在兩組之間轉移，但沒有進出，所以總量必須相等。
• 差值不變的比——兩個量各自增加同樣多，就像年齡一樣，所以它們之間的差才是不變量。

比的前後變化問題把它們綜合到了一起。兩人按 5 : 3 分錢。其中一人給出 12 後，兩人相等。一開始 2 份的差是 12，而這 12 全部從較大的一份移出，沒有進到別處，所以一份是 6，原來兩份是 30 和 18。

面積和體積的縮放

面積的縮放是一個讓人吃驚兩次的結果。把每條長度都放大 3 倍，面積就變成 $3^2=9$3² = 9，因為長和寬都變成了 3 倍。體積則按立方來算。

這就是為什麼比例尺 1 : 50,000 的地圖，面積比例是 1 : 2,500,000,000，也是為什麼把蛋糕烤盤的寬度翻倍，需要的麵糊是原來的 4 倍，而不是 2 倍。

應用題裡怎麼分辨正比和反比？

問自己：第一個量翻倍時，第二個量會怎樣？如果也翻倍，就是正比；如果減半，就是反比。3 支筆要 6 元，6 支筆要 12 元：筆的數量翻倍，價錢也翻倍，這是正比。4 個工人粉刷一道籬笆要 6 天，8 個工人要 3 天：工人翻倍，時間減半，這是反比。這個判斷之所以有效，是因為正比關係保持商不變，反比關係保持積不變。在買筆的例子裡，6 ÷ 3 = 12 ÷ 6 = 2，就是一支筆的價錢。在粉刷籬笆的例子裡，4 × 6 = 8 × 3 = 24，就是總的「工人·天」數。要留意固定收費的情況：一輛計程車起步 5 元，每公里再加 2 元，10 公里要 25 元，20 公里要 45 元，距離翻倍並沒有讓費用翻倍，這種關係兩者都不是。

如果題目給出的數據裡，商和積都不是常數，那這個關係根本就不是比例關係，無論怎麼縮放都不會變得規規矩矩。

值得點名的四個錯誤

• 拿一份去除，而不是拿總數去除。按 4 : 5 分配，要除以的是 9。每次都先把總數寫下來。
• 把兩個速度直接取平均。應該是總距離除以總時間。較慢的那一段花的時間更長，所以佔的分量更重。
• 只換算複合單位的一半。km/h 換算成 $\frac{m}{s}$m/s 需要分子和分母都換算。
• 用長度的縮放倍數去縮放面積。長度按 k 倍縮放，面積按 $k^2$k²縮放，體積按 $k^3$k³縮放。

接下來學什麼

比其實就是用分數來比較部分，而不是描述部分，所以等值分數和帶分數指南（英文）是它下面的底層主題，而百分比指南（英文）則是把總量固定成一百的比。給比例常數命名，是邁入代數記法指南（英文）的第一步，而那條過原點的直線，正是方程式指南（英文）接手的地方。

在遊戲裡練習

Math Challenge 把上面每一步都教成一節配圖的課程——畫出線段圖，標出前後不變的量，複合單位的換算分成兩個看得見的步驟——全部收在一套 800 多節課程的目錄裡。