代數式、指數與根式

更新 2026年10月7日

代數就是用字母代替其中一些數字的算術。它的規則就是算術的規則，只是寫成能同時適用於每一個數的形式。

字母代表什麼？

代數裡的字母代表一個可以變化的數，或一個還不知道的數。數字寫在字母旁邊表示相乘，所以 3n 表示 3 × n，$n^2$n² 表示 n × n，$\frac{n}{4}$n/4 表示 $n/4$n / 4。詳見 代數記法。要求一個式子的值，就把每個字母換成它代表的數，再按運算順序計算。當 n = 5 時，3n + 2 是 3 × 5 + 2 = 17，$n^2$n² 是 5 × 5 = 25。字母只是佔位符，所以算術的每一條規則對它底下的數依然成立。乘方比它前面的乘法先算，所以 $2n^2$2n² 先把 n 平方：n = 5 時它是 2 × 25 = 50，而不是 10 × 10 = 100。用第二個值檢驗結果：當 n = 1 時，3n + 2 得 3 + 2 = 5。

把數放進字母所在的位置，叫做代入。詳見 代入。

解方程時，對等號兩邊做同樣的運算，直到字母單獨留在一邊。對於 3x + 7 = 22，兩邊先減 7，再同除以 3：x = 5。詳見 解一元一次方程和方程與不等式指南（英文）。

怎麼合併同類項？

同類項的字母部分完全相同，次方也相同，合併時把前面的數字相加。字母部分保持不變：3x + 5x = 8x，就像 3 個蘋果加 5 個蘋果是 8 個蘋果。在 4a + 7b − a + 2b 中，a 項合起來是 3a，b 項合起來是 9b，所以式子化簡為 3a + 9b。前面的數字叫係數，它數的是字母部分有幾份，所以合併只是把這些份數加總。詳見 同類項。字母部分不同的項要分開寫，所以 3x + 5y 和 $3x+3x^2$3x + 3x² 都不能再化簡：x 和 $x^2$x² 是不同的量，就像長度和面積。每個正負號都屬於它後面的那一項。用數字試試結果：a = 2、b = 1 時，原式得 8 + 7 − 2 + 2 = 15，3a + 9b 得 6 + 9 = 15。

展開括號

展開一個括號，就是把括號外的項乘以括號內的每一項：4(2x + 3) = 8x + 12。這是分配律，也正是 4 × 23 = 80 + 12 背後的道理。詳見 展開括號。

有兩個括號時，第一個括號的每一項都要乘以第二個括號的每一項，然後合併同類項：$\left(x+3\right)\left(x+5\right)=x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15$(x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15。詳見 展開兩個括號。

怎麼因式分解？

因式分解是把一個和寫成一個積，所以它就是反過來的展開。先把每一項的最大公因數提到括號外面。對於 6x + 9，兩個數都有因數 3，所以 6x + 9 = 3(2x + 3)。對於 $12x^2+8x$12x² + 8x，兩項都含 4x，得到 4x(3x + 2)。這行得通，是因為乘法對加法有分配律：3 個 2x 加 3 個 3，等於 3 個括號。詳見 提公因數因式分解。但 $x^2+7x+12$x² + 7x + 12 沒有公因數，所以要寫成兩個括號：找出相乘得 12、相加得 7 的兩個數。它們是 3 和 4，因為 3 × 4 = 12 且 3 + 4 = 7，得到 (x + 3)(x + 4)。代一個值來檢查：x = 1 時，$12x^2+8x$12x² + 8x 是 12 + 8 = 20，4x(3x + 2) 是 4 × 5 = 20。

要分解 $x^2+bx+c$x² + bx + c，就找相乘得 c、相加得 b 的兩個數。對於 $x^2+8x+15$x² + 8x + 15，3 × 5 = 15 且 3 + 5 = 8，所以它等於 (x + 3)(x + 5)。詳見 二次式因式分解。

當 $x^2$x² 前面有係數時，這兩個數要相乘得 a × c。對於 $2x^2+11x+15$2x² + 11x + 15，a × c 是 30，而 5 + 6 = 11。把中間項拆成 6x + 5x，再兩兩分組提公因數：2x(x + 3) + 5(x + 3)。括號 (x + 3) 出現了兩次，把它提出來：(2x + 5)(x + 3)。詳見 分組分解因式和帶首項係數的二次式因式分解。

值得一眼認出的恆等式

有三個展開式值得一看就認得。詳見 代數恆等式。

• ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$(a + b)² = a² + 2ab + b²
• ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$(a − b)² = a² − 2ab + b²
• $a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$a² − b² = (a + b)(a − b)，即平方差公式，由它可得 $97\times 103=100^2-3^2=9$97 × 103 = 100² − 3² = 9,991。

兩個立方的和或差也能分解：$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)。詳見 兩個立方數的和與差。如果兩個式子對每一個 x 都相等，那麼它們的 $x^2$x² 項、x 項和常數項分別相等，每個未知數就各得到一條方程。詳見 通過比較係數求未知係數。

指數法則有哪些？

指數數的是底數有幾個相乘：$2^3=2\times 2\times 2=8$2³ = 2 × 2 × 2 = 8，而不是 6。各條法則都從這個個數推出。同底數的冪相乘，指數相加：$x^3\times x^4=x^7$x³ × x⁴ = x⁷，三個再並排四個。相除則指數相減：$x^5/x^2=x^3$x⁵ / x² = x³，因為有兩個互相消去。所以 $2^4\times 2^2$2⁴ × 2² 就是 $2^6$2⁶，而 16 × 4 確實等於 64。詳見 指數記法和指數法則。這些法則只在底數相同時適用。$2^3\times 3^2$2³ × 3² 不能合成一個冪，所以要分別算出每一部分：8 × 9 = 72。加法也不遵守這些法則：$2^3+2^3$2³ + 2³ 不是 $2^6$2⁶，因為 8 + 8 = 16，也就是 $2^4$2⁴。在新題目上使用一條法則之前，先用小數字試一試：$3^2\times 3=27$3² × 3 = 27，而 3 × 3 × 3 = 27。

冪的冪，指數相乘：${\left(x^3\right)}^4=x^{12}$(x³)⁴ = x¹²，四組各三個。詳見 冪的冪。

減法法則得到 $2^3/2^3=2^0$2³ / 2³ = 2⁰，直接相除則是 8 ÷ 8 = 1，所以 $2^0=1$2⁰ = 1。再往前一步，$2^2/2^3=2^{-1}=\frac{1}{2}$2² / 2³ = 2⁻¹ = 1/2：負指數表示這個冪的倒數。詳見 零指數和負指數。

平方根是平方的逆運算，所以 $\sqrt{25}=5$√25 = 5；立方根是立方的逆運算，所以 $\sqrt[3]{27}=3$∛27 = 3。詳見 平方和平方根和立方和立方根。

分數指數就是開方：$x^{\frac{1}{2}}\times x^{\frac{1}{2}}=x^1$x^(1/2) × x^(1/2) = x¹，所以 $x^{\frac{1}{2}}$x^(1/2) 是 x 的平方根，而 $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=4$8^(2/3) = (∛8)² = 4。詳見 分數指數。

乘方在括號之後、乘法之前計算，所以 $3\times 2^2=12$3 × 2² = 12，而不是 36。詳見 運算順序中的冪。

科學記數法

科學記數法把一個數寫成 1 到 10 之間的數乘以 10 的乘冪：$4,700,000=4.7\times 10^6$4,700,000 = 4.7 × 10⁶，以及 $0.00032=3.2\times 10^{-4}$0.00032 = 3.2 × 10⁻⁴。詳見 科學記數法。

相乘時，前面的數相乘、10 的指數相加，再把前面的數調回 10 以下：$\left(3\times 10^5\right)\times \left(4\times 10^3\right)=12\times 10^8=1.2\times 10^9$(3 × 10⁵) × (4 × 10³) = 12 × 10⁸ = 1.2 × 10⁹。詳見 科學記數法的運算。

什麼是根式？

根式（也叫無理根式）是開不盡的方根，結果既不是整數也不是分數。它的小數永遠寫不完，所以 $\sqrt{2}$√2 是精確值，而 1.414 只是近似值。化簡根式時，把根號裡的數拆成一個平方因數和剩下的部分，再把平方因數開出來：$\sqrt{12}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$√12 = √4 × √3 = 2√3。對於 $\sqrt{50}$√50，最大的平方因數是 25，所以 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$√50 = √25 × √2 = 5√2。積的方根等於方根的積，所以可以這樣拆。詳見 根式。一定要用最大的平方因數；把 $\sqrt{72}$√72 拆成 $\sqrt{4}\times \sqrt{18}$√4 × √18，根號裡還留著一個平方數 $\sqrt{18}$√18，還得繼續化簡到 $6\sqrt{2}$6√2。和不能這樣拆：$\sqrt{9}+\sqrt{16}$√9 + √16 是 3 + 4 = 7，但 $\sqrt{9+16}$√(9 + 16) 是 $\sqrt{25}$√25，也就是 5。化簡完可以把結果平方來檢查：$5\sqrt{2}$5√2 的平方是 25 × 2 = 50，正好是原來的數。

根號裡相同的根式可以像同類項一樣相加：$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$2√3 + 5√3 = 7√3，而 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$√2 + √3 就保持原樣。相乘時把根號合併：$\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$√2 × √8 = √16 = 4。詳見 根式的加法與乘法。

分母有理化時，把分子和分母同乘以那個根號：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$1/√3 = √3/3。如果分母是 $2+\sqrt{5}$2 + √5，就改為兩者同乘 $2-\sqrt{5}$2 − √5；平方差公式讓分母變成 4 − 5 = −1，所以 $\frac{1}{\left(2+\sqrt{5}\right)}=\sqrt{5}-2$1/(2 + √5) = √5 − 2。詳見 分母有理化。

代數分數

代數分數遵守一般分數的規則，只多一步：約分之前先因式分解，因為只有整個分子和整個分母共有的因式才能約掉：$\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(x+3\right)}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)}=x-3$(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3。詳見 代數分數。

相加需要公分母，就像 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 一樣：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\left(x+y\right)}{xy}$1/x + 1/y = (x + y)/xy。詳見 代數分數的加法與乘法。

一步一步化簡一個式子

化簡 ${\left(2x^2{y}^3\right)}^3/\left(4x^4{y}^2\right)$(2x²y³)³ / (4x⁴y²)。先處理括號，再處理數字，最後逐個處理字母。

1. 展開乘方。括號外的指數作用在括號內的每一個因數上，包括 2：${\left(2x^2{y}^3\right)}^3=8x^6{y}^9$(2x²y³)³ = 8x⁶y⁹。
2. 數字相除：8 ÷ 4 = 2。
3. 逐個字母把指數相減：$x^6/x^4=x^2$x⁶ / x⁴ = x² 和 $y^9/y^2=y^7$y⁹ / y² = y⁷。
4. 寫出答案：$2x^2{y}^7$2x²y⁷。

用代入法檢查。取 x = 1、y = 2，原式得 $16^3/16=256$16³ / 16 = 256，答案得 2 × 128 = 256。一次相符不能證明答案正確，但一次不符就證明有錯。

值得點名的四個錯誤

• 漏掉中間項。${\left(a+b\right)}^2$(a + b)² 等於 $a^2+2ab+b^2$a² + 2ab + b²，而不是 $a^2+b^2$a² + b²。

• 約掉一個項。在 $\frac{\left(x+3\right)}{3}$(x + 3)/3 中，兩個 3 不能約掉；3 不是整個分子的因數。
• 底數不同卻把指數相加。$x^3\times y^3$x³ × y³ 等於 ${\left(xy\right)}^3$(xy)³，而不是 $x^6$x⁶。

• 科學記數法超出範圍。$12\times 10^8$12 × 10⁸ 要整理成 $1.2\times 10^9$1.2 × 10⁹。

接下來通往哪裡

這些規則是解方程的工具，也就是方程與不等式（英文）的主題。一個方根是不是無理數，要在數論中解決；這些規則所推廣的算術，則在算術方法中。

相關指南：比、速率與比例。