邏輯與證明

更新 2026年10月7日

證明是一個一次涵蓋所有情形的論證，包括永遠不會有人去檢查的那些情形。檢查一千個情形只是證據，證明才能把問題解決。下面的方法就是這種論證可能採取的幾種形式。

數學論證由哪些部分組成？

數學論證由幾種敘述組成。定義固定一個詞的意義；它是一種選擇，所以無所謂真假。命題是一個不是真就是假的主張。定理是已經證明的命題，引理是為了證明更大的定理而先證出的較小定理，推論則是從定理出發一兩步就能得到的結果。把 3 的倍數定義為 3k，其中 k 是整數。那麼「兩個 3 的倍數的和是 3 的倍數」，在證明了 3a + 3b = 3(a + b) 之後就成為一個定理，而對三個倍數的同樣主張就是一個推論。這些名稱之所以重要，是因為證明只能使用定義和已經證明的敘述。猜想看起來是真的，但還沒有證明。一個例子不是證明：6 + 9 = 15 只是說明了這個定理，並沒有證明它。

所以爭論 1 是不是質數是沒有結果的。這個定義把 1 排除在外，是為了讓每個正整數都恰好有一種質因數分解。這是一個選擇，不是一個發現。

敘述可以用 and、or 和 not 連接，而真值表會列出真和假的每一種組合，把每個連接詞精確地決定下來。在數學裡，or 是包含式的：P or Q 在兩者都成立時也是真的。

一個敘述的否定恰好在該敘述為假時為真，而且不能否定得比這更多。x > 5 的否定是 $x\le 5$x ≤ 5，不是 x < 5，因為 x = 5 從來沒有被排除。在否定之下，and 變成 or，or 變成 and。這就是笛摩根定律。

詳見 定義、命題與定理、邏輯連接詞與真值表和否定一個敘述。

為什麼逆否命題成立，逆命題卻不一定？

條件敘述「若 P 則 Q」只在一種情形下為假：P 為真而 Q 為假。逆否命題「若非 Q 則非 P」恰好也在這個情形下為假，所以只要原命題為真，它就為真。逆命題「若 Q 則 P」在 Q 為真而 P 為假時為假，那是另一種情形，所以原命題為真時它仍可能為假。以「若一個數的末位是 0，則它能被 5 整除」為例。它的逆否命題「若一個數不能被 5 整除，則它的末位不是 0」為真。它的逆命題「若一個數能被 5 整除，則它的末位是 0」為假：15 = 3 × 5 的末位是 5。當兩個方向都成立時，這個敘述就是「若且唯若」，而且每個方向都需要各自的證明。對原命題而言，打破它的情形永遠不會發生：末位是 0 的數是 10 的倍數，而 10 = 2 × 5。

它寫成 $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q，其中 P 是前提，Q 是結論。當 P 為假時，條件敘述什麼都沒有承諾，所以不可能被打破。

用符號來寫，逆命題是 $Q\Rightarrow P$Q ⇒ P，逆否命題是 not $Q\Rightarrow$Q ⇒ not P。以「若 n 是 4 的倍數，則 n 是偶數」為例，逆命題在 n = 6 時不成立，而逆否命題「若 n 不是偶數，則 n 不是 4 的倍數」為真。

真值表用四列就能判定。$P\Rightarrow Q$P ⇒ Q 與 not $Q\Rightarrow$Q ⇒ not P 這兩欄在每一列都一致，所以這兩個敘述在邏輯上是等價的。逆命題和否命題 not $P\Rightarrow$P ⇒ not Q 也以同樣的方式成對。

當 P 保證 Q 時，P 對 Q 是充分的；當沒有 P 就不可能有 Q 時，P 對 Q 是必要的。當一個條件既充分又必要時，這個敘述讀作「P 若且唯若 Q」，要證明它就是要證明 $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q 和 $Q\Rightarrow P$Q ⇒ P。漏掉一個方向，主張就沒有證完。

詳見 條件敘述、逆命題與否命題、逆否命題、必要條件與充分條件和若且唯若。

量詞怎樣改變一個敘述？

量詞說明一個主張涵蓋多少個物件。「任意」寫成 $\forall$∀，對一個集合裡的每個物件提出主張；「存在」寫成 $\exists$∃，主張至少有一個物件具有這個性質。它們的證明和推翻方式正好相反。任意的主張需要涵蓋每一種情形的論證，而一個反例就能推翻它。存在的主張只需要一個例子，要推翻它則必須排除每一種情形。所以「每個質數都是奇數」敗在質數 2 手上，而「有些平方數的末位是 6」可以用 4 × 4 = 16 證明。原因在於否定：任意主張的否定是存在主張。量詞的順序會改變意義。「對每個 x 都有一個更大的 y」對整數是真的，因為 y = x + 1 就行，但「有一個 y 比每個 x 都大」主張有一個最大的數，是假的。要否定一個量化的主張，就把量詞互換，再否定它後面的內容。

「每個人都有母親」和「有一個人是所有人的母親」用了相同的量詞，順序卻相反，而只有第一句是真的。

「每隻天鵝都是白的」的否定是「有些天鵝不是白的」，不是「沒有天鵝是白的」，後者主張的遠多得多。

詳見 任意與存在和否定一個量化敘述。

證明某件事的標準方法有哪些？

大多數證明用六種方法之一：直接證法、逆否證法、窮舉證法、反例反證法、唯一性證明和數學歸納法。直接證法假設前提，經過必然成立的步驟走到結論。要證明兩個奇數的乘積是奇數，把它們寫成 2a + 1 和 2b + 1；它們的乘積是 4ab + 2a + 2b + 1，也就是 2(2ab + a + b) + 1，所以是奇數。例如 7 × 9 = 63 = 2 × 31 + 1。主張的形式決定方法。當前提能用的資訊很少時，例如「若 $n^2$n² 是奇數，則 n 是奇數」，就證明它的逆否命題。少數幾種情形適合窮舉，錯誤的主張適合用一個反例，而關於每個整數的主張則適合用歸納法。證明只有在每一步都從前面的步驟推出時才算完整，所以每一行都要說明它的根據。

要證明兩個偶數的和是偶數，把它們寫成 2a 和 2b。和是 2(a + b)，是 2 乘以一個整數，所以是偶數。

逆否證法改證 not $Q\Rightarrow$Q ⇒ not P，當否定後的敘述比較容易處理時，這是正確的選擇。要證明若 $n^2$n² 是偶數則 n 是偶數，從「n 是奇數」出發：n = 2k + 1，所以 $n^2=4k^2+4k+1$n² = 4k² + 4k + 1，是奇數。這就證明了主張，不需要再多一步。

窮舉證法把主張拆成有限個情形，逐一證明。要先檢查這些情形沒有遺漏。「n 是偶數或奇數」涵蓋每個整數。「n 是質數或合數」就沒有，因為 1 兩者都不是。

反例反證法用一個失敗的情形，結束一個一般性的主張。$n^2+n+41$n² + n + 41 在 n 從 0 到 39 時都是質數，但這什麼也證明不了。

主張恰好有一個物件存在，需要兩個論證：造出一個符合的物件，再取任意兩個符合的物件，證明它們相等。數學歸納法證明一個敘述在 n = 1 時成立，而且每一個情形都會推出下一個；它在數列與級數指南中講解。

詳見 直接證法、逆否證法、窮舉證法、反例反證法、證明存在性與唯一性和數學歸納法證明：1加到n的和。

兩個有名字的計數論證

鴿籠原理說：把比箱子數量還多的物件放進箱子裡，必有某個箱子至少裝了兩個。它證明有一對存在，卻不說是哪一對，而這常常就是證明所需要的全部。

用雙射計數，是把兩個集合一對一配對、沒有任何剩下，以證明它們大小相同。一個有 n 個元素的集合有 $2^n$2ⁿ 個子集，因為每個子集恰好對應一串 n 個是或否的選擇。

詳見 鴿籠原理和用雙射計數。

哪些不等式值得記住名字？

有四個不等式值得記住名字：三角不等式、算術平均–幾何平均不等式、柯西–施瓦茲不等式，以及指數、多項式與對數的成長順序。當精確值難以求得或不需要時，它們各自給一個量設定界限。算術平均–幾何平均不等式用得最多：對非負的 a 和 b，算術平均 $\frac{a+b}{2}$(a + b)/2 至少等於幾何平均 $\sqrt{ab}$√(ab)。取 a = 9、b = 1，(9 + 1) ÷ 2 = 5，$\sqrt{9}=3$√9 = 3，而 $5\ge 3$5 ≥ 3。它成立是因為平方永遠不是負的：$\sqrt{a}-\sqrt{b}$√a − √b 的平方至少是 0，重新整理就得到這個不等式。要相等必須 a = b，這就是這個不等式找到最小值的方式。對 x > 0，$x+\frac{1}{x}\ge 2$x + 1/x ≥ 2，最小值出現在 x = 1，因為 x 和 $\frac{1}{x}$1/x 的幾何平均是 1。試一個值：x = 4 時，$4+\frac{1}{4}$4 + 1/4 高於 2。

三角不等式說：在任何邊長為 a、b、c 的三角形中，$a+b\ge c$a + b ≥ c。寫成 $|a+b|\le |a|+|b|$|a + b| ≤ |a| + |b|，它對數、向量和複數都成立。

用符號寫，這個不等式是 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$(a + b)/2 ≥ √(ab)，只有在 a = b 時才取等號。證明只是一個平方式：${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$(√a − √b)² ≥ 0，所以 $a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$a − 2√(ab) + b ≥ 0。整理成 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$a + b ≥ 2√(ab)，再把兩邊除以 2。在面積固定的長方形中，正方形的周長最小。

柯西–施瓦茲不等式說，兩個向量的內積至多是它們長度的乘積，$|a\cdot b|\le |a||b|$|a · b| ≤ |a| |b|，因為 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$a · b = |a| |b| cos θ，而餘弦值永遠不超過 1。

成長順序說，長期而言，指數會超過任何多項式，而多項式會超過任何對數。很大的次方只會延後交叉點，不會消除它。

詳見 三角不等式、算術平均–幾何平均不等式、柯西–施瓦茲不等式和多項式、指數與對數成長。

卡住的時候，怎麼找出證明？

卡住的時候，用一個解題策略：它是尋找證明的方法，而不是寫出證明。有三個策略做了大部分的事：從目標倒推、先解一個更簡單的版本，以及從特例走向通則。假設你想求 n 邊形的對角線數量。數幾個小情形：四邊形有 2 條，五邊形有 5 條，六邊形有 9 條。每個頂點用對角線連到其他 n − 3 個頂點，而每條對角線有兩個端點，這提示答案是 $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$n(n − 3)/2。小情形有幫助，因為可以用手檢查，而且能顯示一般論證必須解釋的規律。不過規律不是證明：是計數論證證明了公式，不是那張表。倒推改變了書寫的順序：你從目標找出步驟，再從前提順著寫出證明。用一個數過的情形檢驗公式：對六邊形，6 × 3 ÷ 2 = 9。

從目標倒推，是從結論開始，問什麼能產生它，再問什麼能產生那個，直到所需的條件是已經知道的事。

先解一個更簡單的問題，是把問題縮小到可以用手算，小情形就會顯示規則。

從特例走到所有情形，需要一個一般性的論證。依序加奇數得到 1、4、9、16，在有論證涵蓋每個 n 之前，這都只是一個猜想。還要檢查特例用到的東西，是不是一般情形也有。一個悄悄假設有直角或正數的證明，證明的是比它宣稱的更窄的定理。

找出論證的破綻是反方向的技能。在那些經典的 1 = 2 的證明裡，錯誤的結論代表有一步沒有根據，而它通常是在 a = b 時除以 a − b，也就是除以 0。

詳見 從目標倒推、先解一個更簡單的問題、從特例到通則和找出論證中的破綻。

值得點名的錯誤

• 證明了逆命題。檢查你假設的是哪個敘述、得到的又是哪一個。
• 假設了要證明的東西。從結論出發什麼也證明不了，除非每一步都可以反過來。
• 否定量詞時沒有互換它。「全都是」的否定是「至少有一個不是」，絕不是「沒有一個是」。
• 把例子當成證明。費馬猜想 $2^{2^n}+1$2^(2^n) + 1 永遠是質數，在 n = 5 時就不成立。
• 情形沒有涵蓋全部。窮舉證法的好壞，取決於是否檢查過這些情形是完整的。
• 在開平方或取絕對值時漏掉一種情形。$x^2=9$x² = 9 有兩個解，3 和 −3。把不等式除以負數，不等號要反過來。

接下來往哪裡走

直線、角與畢氏定理指南中的幾何證明是帶圖的直接證法，全等、圓定理與變換指南中的圓定理則是一連串這樣的證明。歸納法隨著它所證明的數列與級數一起展開。鴿籠原理和雙射在集合與計數指南中會再度用到。