圖形、面積與周長

更新 2026年9月25日

學校數學裡幾乎所有的面積公式，都來自一個形狀：長方形。長方形的面積是長乘寬，因為這恰好就是裡面能放下多少個單位正方形；這一頁其餘每一個公式，都是把某個形狀變成一個你已經會量的長方形的辦法。

這一點值得在公式出現之前先弄清楚，因為五個公式排成一張清單很難記住，而一個道理帶出五個結果就容易多了。

面積和周長有什麼不同？

周長是沿一個形狀的邊走一整圈的總距離，面積是它內部平坦表面的大小。一個長 5 公分、寬 3 公分的長方形，周長把四條邊加起來：5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm。面積數的是蓋住它的那些公分方格，每排 5 個，共 3 排，所以 5 × 3 = 15 cm²。面積和周長 把這兩個放在一起教，因為大多數錯誤都是把它們搞混了。周長是長度，單位是 cm 或 m 這類單位。面積數的是方格，單位是平方單位，cm² 或 $m^2$m²。對於一個由若干長方形組成的形狀，例如 L 形，先補出每一條缺的邊再把周長加起來；求面積則把形狀切成幾個長方形，再把它們的面積加起來。看單位可以快速檢查：算出來是 cm² 的結果一定是面積。

它們也是真正互相獨立的。一個 6 乘 6 的正方形和一個 1 乘 11 的長方形，周長都是 24，但面積分別是 36 和 11——同樣長的籬笆，圍起來的田地大小可以天差地別。

為什麼三角形的面積是底乘高的一半？

三角形的面積是底乘高的一半，因為它的兩份能拼成一個平行四邊形，而這個平行四邊形的面積和一個同底同高的長方形一樣。把複製的那一份轉半圈，兩塊就嚴絲合縫地拼在一起。三角形的面積 展示了這個拼法。所以一個底 10 公分、高 7 公分的三角形，面積是 10 × 7 ÷ 2 = 35 cm²。高是從底邊到對角的垂直距離，不是斜邊的長度。在一個有鈍角的三角形裡，高可能落在三角形外面，這時要把底邊延長，用虛線畫出高。任何一條邊都可以當底，只要高是垂直於那條邊量出來的。三角形的面積一定小於圍住它的那個長方形：35 是 70 的一半。

底 8 cm，高 5 cm $\to 8\times 5÷2=20$→ 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm².

同樣的拆分論證對另外兩種形狀也成立。平行四邊形的面積 是底乘高，因為把一端切下一個三角形移到另一端，平行四邊形就變成了長方形。梯形的面積 把兩條平行邊取平均後乘以高，這正是把斜的那條邊拉平後得到的那個長方形——它的寬是底邊和頂邊寬度的平均值。

圓周率是從哪裡來的？

圓周率就是把任何一個圓的圓周長除以它的直徑所得到的數。不管圓有多大多小，答案永遠一樣，大約是 3.14159。圓周長和直徑 這一課是把這個事實量出來的，而不是直接告訴你：把一條繩子繞罐子一圈，再跟罐子的寬度比一比，繩子總是比三倍寬度稍長一點。因為所有的圓都是同一種形狀，所以這個比值永遠不變。寬度加倍，圓周長也加倍。這個事實寫成公式就是：圓周長 $=\pi \times$= π × × 直徑。用 $\frac{22}{7}$22/7 這個接近圓周率的分數來算，一個直徑 7 公分的圓，圓周長大約是 $\frac{22}{7}\times 7=22$22/7 × 7 = 22 cm。如果題目給的是半徑，先把它加倍得到直徑。半徑 7 公分的圓，圓周長大約是 44 公分。圓周長應該比直徑的三倍稍微多一點：3 × 14 = 42。

一個直徑 10 cm 的圓，圓周長是 $\pi \times 10\approx 31.4$π × 10 ≈ 31.4 cm.

圓的面積 是 $\pi r^2$πr²，而它為什麼會出現同一個 $\pi$π，值得看一次。把圓切成許多細長的扇形，尖頭一上一下交錯排開：隨著扇形越切越細，它們拼出的形狀會越來越接近一個長方形。這個長方形的高是半徑，寬是圓周長的一半——也就是 $2\pi r$2πr，也就是 $\pi r$πr。乘起來，面積就是 $\pi r^2$πr²。

怎麼量一個立體圖形？

立體圖形用體積來量，也就是能填滿它的單位正方體的個數，正如面積數的是單位正方形。長方體的體積 把長、寬、高三個數乘起來。一個長 5 公分、寬 4 公分、高 3 公分的箱子，體積是 5 × 4 × 3 = 60 cm³。這個公式是一層一層算出來的：最底下一層裝 5 × 4 = 20 個一公分的正方體，箱子有 3 層高，所以一共裝 3 × 20 = 60 個正方體。任何一個柱體都是這樣算：體積是橫截面的面積乘長度。三個量在相乘之前必須換算成同一個單位，所以一個長 2 公尺、寬 50 公分、高 40 公分的箱子，要先寫成 200 公分乘 50 公分乘 40 公分。體積的單位永遠是立方單位，比如 cm³ 或 $m^3$m³，看單位就能快速檢查。

表面積的問題，靠「攤平」來處理。展開圖 把一個立體圖形攤開成你會剪出來再摺起來的平面形狀——正方體是十字形排列的六個正方形，圓柱體是一個長方形加兩個圓——一旦攤平了，表面積就是普通的平面面積加法。展開圖不是為了畫圖而畫圖，它是把一個三維問題變成你已經會做的問題的技巧。

先幫圖形命名，為什麼要放在最前面

在測量之前，學習者首先要能可靠地認出一個形狀。圓形、三角形、正方形和長方形 確立了其餘一切都建立在其上的四個平面形狀，正方體、球體、圓錐體和圓柱體 則為立體圖形做了同樣的事。

一個微妙但重要的道理是：一個形狀移動之後還是它自己。轉動和縮放後的形狀 之所以存在，是因為一個立在頂點上的三角形仍然是三角形，一個又長又窄的長方形仍然是長方形——而小學生常常不這麼認為，因為他們只見過一種擺放方式。

上面、下面和旁邊 講的是描述位置的詞彙，聽起來像是在學生詞，其實是座標概念的起點：描述一個東西相對於另一個東西的位置，正是座標系後來要做的事，只是把它形式化了。

用其他形狀拼出新形狀

數數，是幾何和數字相遇的地方。數邊和角 給了一個形狀一種不依賴於它看起來怎樣的描述——不管壓成什麼樣子，四條邊、四個角就是四邊形的定義。

用更小的形狀拼出形狀 是拆分這個習慣最早的樣子：兩個三角形拼成一個正方形，六個三角形拼成一個六邊形。同樣的直覺——把難對付的形狀切成你會量的形狀——多年後正是解組合面積題的辦法。

接著畫出形狀規律 看起來是這裡最輕鬆的一項，其實在做實實在在的工作：找出重複的單元、預測接下來是什麼，正是後來讀懂一個數列、寫出它的第 n 項所需要的技能。

角與對稱

角量的是轉了多少，不是長度——這就是為什麼用很長的兩條邊畫出來的小角，仍然是一個小角。角 用直角作為參照來引入這個度量，而這個參照很重要：大多數角度估算靠的是跟 90° 比較，而不是去想像 37 個一度一度的刻度。

對稱 問的是一個形狀能從哪裡對摺，讓兩半完全重合。這是這一頁第一個關於形狀整體、而不是關於它某個測量值的想法，也是通向變換的入口——一條對稱軸，正是一面能讓形狀看起來毫無變化的鏡子。

實際問題到底要哪一個？

問一問買的或量的是什麼，答案就選好了要用哪種度量。給花園裝籬笆、給地毯滾邊、給房間裝踢腳板，都是周長的活，因為買的是長度。鋪草皮、鋪地毯、鋪磁磚、刷油漆，都是面積的活，因為買的是覆蓋物。給沙坑填沙、給水箱注水，是體積的活，因為填的是一個空間。以一個長 8 公尺、寬 5 公尺的花園為例。圍它的籬笆是 8 + 5 + 8 + 5 = 26 公尺，鋪滿它的草皮是 $8\times 5=40m^2$8 × 5 = 40 m²，鋪 $\frac{1}{10}m$1/10 m 深的泥土，要用 $40\times \frac{1}{10}=4m^3$40 × 1/10 = 4 m³。這樣算得通，是因為每一種活都按自己的單位賣。如果籬笆上要留一道 1 公尺寬的門，那就只需要 26 − 1 = 25 公尺的籬笆。買之前，把價目表上的單位和算出來的答案對一對。

這種「先問是哪種活」的思路，比死背公式更可靠，因為它能應付那些完全不提這幾個詞的題目。「這個蛋糕邊上要圍多少緞帶」是一道周長題，雖然它沒這麼說，能不能看出這一點，正是難點所在。

值得點名的錯誤

• 題目問的是周長，卻答了面積。 看答案那一行的單位，通常就能露餡。
• 把斜邊當成了高。 高永遠是垂直於底邊量出來的。
• 把直徑拿去平方。 $\pi r^2$πr² 要用的是半徑。先減半，再平方。
• 算三角形時忘了減半。 底乘高算出來的是長方形；三角形是它的一半。

在應用裡好好學這些

Math Challenge 把這裡的每一個重點都做成了一課配圖、例題和練習題的課程，收在一個從最初的數數一直到微積分、超過 800 課的課程庫裡。幾何這條線繼續在 直線、角和畢氏定理 裡展開，把這裡的角度知識變成正式的推理；多邊形、立體圖形和表面積 則把展開圖的內容講得更深。