單位、金錢與時間

更新 2026年9月25日

測量是算術和現實世界交會的地方，也是最容易出現「算對了卻答錯了」的分支——因為數字沒錯，單位錯了。350 這個長度什麼都不是，除非你知道它是公分還是公尺。

這一頁講的三套系統裡，兩套是十進制的，一套不是。公制單位和金錢都以十為進制，所以普通的位值就能搞定。時間則以六十和二十四為進制，把它當成十進制來處理，是幾乎所有時間錯誤的根源。

測量從哪裡開始

測量從比較開始，那時候還沒有數字出場。誰更長誰更短把兩個物體放在一起比，講的就是一件事：比較需要一條共同的起跑線——兩端必須對齊，否則比出來的是位置，而不是長度。

認讀直尺是第一種帶數字的測量，延續的是同一個道理：要從零開始量，而不是從塑膠尺的邊緣開始，讀數量的是走過的距離，而不是穿過的刻度線。

公制單位是怎麼銜接的？

公制單位之間以十、百、千的關係銜接，同一個字首不管加在哪個單位上，意思都一樣。千（kilo）表示一千，所以 1 公里是 1,000 公尺，1 公斤是 1,000 公克。厘（centi）表示百分之一，毫（milli）表示千分之一，所以 1 公尺是 100 公分，也是 1,000 公釐，1 公升是 1,000 毫升。換算時，換成更小的單位就乘，換成更大的單位就除：3 km 是 3 × 1,000 = 3,000 公尺，4,000 g 是 4,000 ÷ 1,000 = 4 公斤。之所以行得通，是因為這些單位之間相差十的整數次冪，換算只是把數字在位值欄之間挪動。不同單位的量在相加之前必須先換成同一個單位：1 km 和 350 m 相加，是 1,000 + 350 = 1,350 公尺。數字的大小是一個快速檢查：單位越小，數字必須越大，所以 3 km 不可能是 300 公尺。

公尺、公分和公里建立起長度這一家單位，同樣重要的是，建立一種「什麼東西該用什麼單位量」的直覺——房間用公尺，鉛筆用公分，路程用公里。公克和公斤與毫升和公升對質量和容量也是同樣的道理，到第三個單位家族時，字首本身就已經在教你了。

長度換算就是這樣的運算：350 cm = 3.5 m。 2.4 km = 2,400 m。

面積單位為什麼不一樣

面積單位換算幾乎人人都會栽在這裡。$1m^2=10$1 m² = 10,000 cm²，而不是 100——一平方公尺是邊長 100 cm 的正方形，100 × 100 = 10,000。

這條規則可以推廣：面積換算要把長度係數平方，體積換算要把它立方。$1m^3=1$1 m³ = 1,000,000 cm³。同一個事實在比、比率與比例（英文）裡以比例係數規則的形式再次出現：把一個圖形放大 k 倍，它的面積就變成原來的$k^2$k²。

認讀刻度講的是各種測量工具——直尺、量杯、廚房秤、錶盤——方法永遠是同樣的兩步：先用標注的差除以格數，算出一格代表多少，再從最後一個標注數開始數格子。

認讀時間與 24 小時制

認讀時間講的是指針錶盤：兩根指針以不同速度繞著同一圈數字轉——這其實比看上去難，因為數字 3 對時針來說是「三點」，對分針來說卻是「十五分」。

24 小時制把小時從 00 編號到 23，消除了歧義，讓一天中的每個時刻都只有一個名字。3:45 pm 就是 15:45；下午的時間都加十二。午夜是 00:00，正午是 12:00，這一對是最容易搞混的，因為 12 am 和 12 pm 正是 12 小時制處理得最差的兩個標籤。

怎麼算出時長

時長計算是普通減法做不來的運算，因為一小時是 60 分鐘，不是 100。分階段數上去，又快又穩：

14:35 到 17:$10\to 25\min$10 → 25 min 到 15:00，再數 2 小時到 17:00，然後 $10\min \to 2$10 min → 2 小時 35 分鐘。

另一個陷阱是跨越午夜的時長。在 00:00 處把它拆成兩段再相加：22:40 到 06:15 是 1 小時 20 分鐘加 6 小時 15 分鐘，也就是 7 小時 35 分鐘。

錢是怎麼運作的？

錢數寫成小數，小數點後正好兩位：整數部分數的是元，小數點後兩位數的是分，100 分等於 1 元。數硬幣從硬幣本身講起，元和分講的是這兩部分之間的劃分。小數點後第二位是「分」這一欄，所以$4.05 是 4 元 5 分，不是 4 元 50 分。錢數還要保留末尾的零：三元五角寫作 $3.50，絕不寫成 $3.5。找零時，從價格往上數。價格是 $6.35，付了 $10.00，先數 65 分到 $7.00，再數 3 元到十元，所以找零是 $3.65。往上數之所以管用，是因為它把差額拆成簡單的幾步，就像收銀員先給硬幣再給鈔票那樣。用找零加回價格可以驗證：635 + 365 = 1,000 分，正好是付出的 10 元。

找零是「數上去」這個方法最古老的形式。收銀機出現之前，店主們就是這麼做的，直到今天，這仍然是心算最快的路線。

錢數寫成小數把寫法固定下來，分這一欄少寫一位數字就相差十倍。這些遵循的是小數指南裡的一般位值規則。

怎麼用單位來估算？

要估算一個量，就把它和一個你已經知道大小的參照物比一比。用單位來估算建立了一小組這樣的參照物：一扇門大約 2 m 高，一袋糖大約 1 kg，一瓶水大約 500 ml，一步大約 70 cm。教室的天花板大約是一扇半門那麼高，所以大約是 3 m。參照物之所以管用，是因為它把一個陌生的大小變成了一個你能想像出來的比較，而比較比憑空猜一個數字容易得多。如果東西太大或者太多，沒法一次比完，就估算一份，再乘起來。一個蘋果大約 150 g，所以一袋 20 個蘋果大約是 20 × 150 = 3,000 g，也就是 3 kg。然後再回到參照物：3 kg 是三袋糖，對一袋蘋果來說是個可信的重量。

這些參照物看起來簡單，作用卻很大，因為它們能抓住答錯單位的答案。如果算出一個人身高 1.7 cm，或者一隻貓重 45 kg，那就是錯了一百倍，而參照物能在一秒之內揪出這種錯誤——不用計算，只需要和你親手拿過的東西比一比。

一道題，從頭到尾做一遍

一家包裹公司按重量收費，體積超過$0.03m^3$0.03 m³就拒收。一個箱子是 40 cm × 25 cm × 30 cm，裝了 12 袋每袋 250 g 的東西，加上 400 g 的包裝。它能不能寄，重量是多少？

運算本身很簡單，難的是單位。先把所有東西換算成同一套單位，再開始計算。

• 體積。 40 × 25 × 30 = 30,000 cm³。 一立方公尺是 1,000,000 cm³，所以這就是 $0.03m^3$0.03 m³——正好卡在臨界值上，答案完全取決於規則說的是「超過」還是「達到」。
• 重量。 12 × 250 g = 3,000 g = 3 kg，加上包裝的 0.4 kg，一共 3.4 kg。
• 常理檢查。 三點五公斤大約是一大袋馬鈴薯，邊長 40 cm 的箱子大約是一箱書。兩者都說得通；如果算出 3,400 kg，那就不合理了。

算錯的通常是體積這一步。把 30,000 除以 100 而不是 1,000,000，會得到$300m^3$300 m³，那是一間房子大小的箱子——而參照物檢查能一眼揪出這個錯誤。

值得說一說的四個錯誤

• 用長度係數去換算面積。 $1m^2$1 m²是 10,000 cm²。面積要把係數平方，體積要把它立方。
• 用直式減法算時間。 分鐘借位借的是六十，不是一百。改用分階段數上去的方法。
• 把 4.05 讀成四元五十。 小數點後第二位是「分」這一欄，這不是可選的。
• 數刻度上的線。 一格代表的值，是標注的差除以格數，而格數永遠比線數少一。

接下來學什麼

公制單位換算就是把位值用到現實世界裡，這一點在整數與位值裡從頭講起；錢數的運算是小數運算——參見小數、百分比與利息（英文）。速度、密度以及所有「每一單位對應另一單位」寫法的量，都屬於比、比率與比例（英文）。

到遊戲裡練一練

Math Challenge 把上面的每一步都做成帶插圖的課程——標好格數的直尺、一步步數出來的時長、畫成百格方陣的一平方公尺——收在一個涵蓋整條階梯的 800 多節課程庫裡。

在練習模式裡，金錢主題練找零和總數，時間主題練認讀時鐘和計算時長。