36 個心算魔法技巧，每一招為什麼成立
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不帶理由的心算技巧，背下來也會忘掉。下面每條捷徑都是一條喬裝打扮的代數恆等式 —— 一旦看見了那條恆等式，招忘了也能從頭重造出來，更有用的是，你分得清它什麼時候適用。
這是 Math Challenge 裡全部 36 課，一條不漏。
想看短版的話，心算技巧指南講的是最常用的那十來招，每一招的篇幅更足。
全部 36 個，按順序
- 乘 5
- 乘 9
- 乘 11
- 乘 12
- 乘 15
- 乘 25
- 99 法則
- 101 法則
- 加倍與減半
- 平方差
- 交叉相乘
- 剛過 100
- 靠近 100，從下方
- 都以 5 結尾，相差十
- 尾數是 5 的平方
- 100 附近的平方
- 50 多的平方
- 40 多的平方
- 1000 附近的平方
- 除以 5
- 除以 25
- 除以 3
- 加上倒過來的數
- 減去倒過來的數
- 從 1000 減
- 連續奇數之和
- 從 1 加到 N（高斯）
- 裂項相消
- 芝諾悖論
- 次方的末位數字
- 乘積的末位數字
- 數字根（模 9）
- 被 11 整除
- 大指數的循環
- 百分比對調
- 連分數裡的黃金比例
乘法 — 14 招
這些幾乎全是同一個動作：拿旁邊一個好算的數換掉難算的那個，再補上差。
46 × (10 − 1) = 460 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414：減去的長條是1份46，×9和×99都是這條長條
把M拖到12，讀出上面加的兩條長條
乘 5
48 × 5 → 48 的一半是 24 → 2405 是 10 的一半，所以 ×5 就是 ×10 再減半 —— 而在十進位裡，10 是最好乘的數。
乘 9
48 × 9 → 480 − 48 = 4329 是 10 − 1，所以取十份，再還回一份。這也是 9 的乘法表裡每個答案的數字相加都是 9 的原因。
乘 11
43 × 11 → 4 (4+3) 3 → 47311 是 10 + 1，所以 43 × 11 就是 430 + 43。對齊一加，十位變成 4 + 3 —— 「和放中間」這條規則就是那次加法，只是提前做完了；這也是和到了 10 就要進位的原因。
乘 12
34 × 12 → 340 + 68 = 40812 是 10 + 2：十份，再加一個加倍。
乘 15
34 × 15 → 340 + 170 = 51015 是 10 + 5，而 5 是 10 的一半 —— 所以先 ×10，再加上剛得出來那個數的一半。
乘 25
32 × 25 → 32 的四分之一是 8 → 80025 是 100 的四分之一。把數除以四，再乘 100。
99 法則
43 × 99 → 4300 − 43 = 425799 是 100 − 1。和 ×9 同一個形狀，高一個數位。
101 法則
43 × 101 → 4343101 是 100 + 1，所以得到 4300 + 43。數不滿 100，兩份抄本永遠不會撞在一起，答案就是把這個數寫兩遍。
加倍與減半
14 × 45 → 7 × 90 = 630一個因數加倍、另一個減半，是乘了 2 又除了 2，乘積動不了。重複下去，直到某一邊變成你喜歡的數。
平方差
98 × 102 → 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996在一個好算的中點兩側、距離相等的兩個數，是 (m − d) 和 (m + d)，它們的乘積永遠是 。
交叉相乘
23 × 12 → 2×1 | 2×2 + 3×1 | 3×2 → 2 | 7 | 6 → 276它就是 (20 + 3)(10 + 2) 的普通展開，只是按數位歸攏而不是寫成直式。從左到右一遍過，沒有中間行。
剛過 100
104 × 106 → 104 + 6 = 110 → 11000，再加 4 × 6 = 24 → 11024(100 + a)(100 + b) = 10000 + 100(a + b) + ab。第一步管百位，第二步管零頭。
靠近 100，從下方
97 × 94 → 97 − 6 = 91 → 9100，再加 3 × 6 = 18 → 9118(100 − a)(100 − b) = 10000 − 100(a + b) + ab —— 同一條恆等式，符號翻了面，這就是要減去對方到 100 的距離、而不是加上的原因。
都以 5 結尾，相差十
35 × 45 → 3 × 5 = 15 → 1575(10n + 5)(10n + 15) 算出來是 100 × n(n + 2) + 75，所以規則是「十位數字乘上比它大二的數，再接 75」。驗一下：。
換你試試
276 × 20
31 × 16
平方 — 5 招
這幾招全都錨在一個整數上，再用一個小平方來修正。
沒有增加也沒有減少——這個矩形就是去掉了一個d × d角的正方形，所以積恰好少了 9
做出一個比正方形小16的矩形。
尾數是 5 的平方
65 × 65 → 6 × 7 = 42 → 4225尾數是 5 的數是 10n + 5，而 。這正是那條規則：n 乘比它大一的數，末尾接 25。
100 附近的平方
96² → 96 − 4 = 92 → 9200，再加 4² = 16 → 9216。把距離減掉一次，百位就有了；剩下的正好是距離的平方。
50 多的平方
54² → 25 + 4 = 29 → 2900，再加 4² = 16 → 2916。那個 25 來自 是 2500。
40 多的平方
48² → 25 − 2 = 23 → 2300，再加 2² = 4 → 2304同一條恆等式，從上方靠近：。
1000 附近的平方
996² → 996 − 4 = 992 → 992000，再加 4² = 16 → 992016。就是 100 附近那招，高一個數位。
換你試試
是多少？
是多少？
除法 — 3 招
除以 5
130 ÷ 5 → 260 → 26除以 5 就是乘 2 再除以 10，因為 5 = 10 ÷ 2。加倍容易，去掉一個零不花錢。
除以 25
800 ÷ 25 → 3200 → 3225 是 100 的四分之一，所以 ÷25 就是 ×4 再 ÷100。
除以 3
5712 → 5+7+1+2 = 15，能整除 → 5712 ÷ 3 = 190410 的每個次方除以 3 都餘 1，所以不管一個數字坐在哪一位上，它對餘數的貢獻都只有它自己。這就是一個數和它的數字之和餘數相同的原因，也是這條檢驗公平的原因。
換你試試
一個數能被 10 整除……
下面哪一個能被 2 整除？
加法和減法 — 3 招
加上倒過來的數
47 + 74 → 11 × (4 + 7) = 121(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)。正是這一倒，讓兩個數位互換、配成了對。
減去倒過來的數
82 − 28 → 9 × (8 − 2) = 54(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b)。每個這樣的差都是 9 的倍數 —— 不是巧合，是恆等式。
從 1000 減
1000 − 473 → 9−4, 9−7, 10−3 → 5271000 是 999 + 1，而從 999 減什麼都不用借位。每一位從 9 裡減，最後一位從 10 裡減，借位就整個消失了。
級數與數列 — 2 招
1 + 2 + … + n 是一個階梯形，把它倒過來複製一份剛好填滿空隙
設 n = 6，把第二個階梯滑進來
連續奇數之和
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²每個新的奇數，恰好是把一個正方形長成下一個正方形的那圈 L 形邊。把前 N 個加起來，你搭出的正是一個 N × N 的正方形。
從 1 加到 N（高斯）
1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050兩頭配對：1 + 100，2 + 99，3 + 98 —— 五十對，每一對都是 101。公式就是把這個配對寫了下來。
無窮和與裂項和 — 2 招
裂項相消
1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(N×(N+1)) = 1 − 1/(N+1)每一項都是 。這樣寫出來，中間的每一塊都被鄰居抵消，只有兩頭活了下來。
芝諾悖論
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1每一步走掉剩下路程的一半，所以到 1 的缺口每次都減半。步數無窮多，路卻還是走得完 —— 這就是「收斂」的意思。
數論 — 5 招
251 = 100a + 10b + c：每個百都是99 + 1，每個十都是9 + 1，把它們拆開，看看9吞不下什麼
做出342，然後把它拆開
次方的末位數字
7¹、7²、7³、7⁴ 的末位是 7、9、3、1 —— 然後開始循環只有上一步的個位會餵給下一步的個位，所以末位數字終究要進入循環。找出循環，再把指數化成它在圈裡的位置。
乘積的末位數字
347 × 893 → 7 × 3 = 21 → 末位是 1其他每個數位都帶著一個 10 的因子，而乘了 10 的東西末位都是 0。能到達個位的，只有兩個個位數字。
數字根（模 9）
4573 → 4+5+7+3 = 19 → 1+9 = 10 → 1，而 4573 = 9 × 508 + 110 除以 9 餘 1，10 的每個次方也一樣。所以不管數字坐在哪一位，它對餘數的貢獻都只有它自己。
被 11 整除
2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11，所以能（2728 = 11 × 248）10 除以 11 餘 −1，所以 10 的次方在 +1 和 −1 之間交替。這正是那個交錯和。
大指數的循環
7¹⁰⁰ → 循環長 4，而 100 能被 4 整除 → 末位是 1還是上面那個循環，用在一個大到沒辦法展開的指數上。你從頭到尾沒算這個次方 —— 你算的是它落在圈裡的哪個位置。
換你試試
829 mod 9 是多少？
447 mod 9 是多少？
分數與連分數 — 2 招
百分比對調
50 的 8% → 8 的 50% = 4兩邊是同一個乘法，8 × 50 ÷ 100，只是讀的順序不同。百分比指南裡還有更多。
連分數裡的黃金比例
x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) → x = 1 + 1/x → x² = x + 1 → x ≈ 1.618這個分數裡裝著一份完整的它自己，所以可以把整體命名為 x，再把 x 代回它自己。一個無窮的式子，塌縮成一個一元二次方程式。
拿這份清單怎麼辦
別想把 36 條捷徑都學會。心算快的人，往往是有那麼幾招不假思索就伸手拿，其餘的現場推。
挑兩三個和你真的會遇到的算式對得上的，學理由而不是背食譜 —— 理由才能讓你在題目還沒讀完時就知道這招用得上。要是乘法表還沒到脫口而出，先從那裡開始：這一頁上的每條捷徑，都預設你沒有把工作記憶花在 7 × 8 上。
輪到你了
三題試一試，點選作答。
65²
47 + 74
130 ÷ 5
常見問題
- 心算技巧值得學嗎，還是只是聚會上的把戲？
- 值得學的是有理由的那些。這一頁上的每條捷徑都是一條喬裝打扮的代數恆等式 —— 乘 9 就是乘 10 再拿回一份，因為 9 是 10 減 1。學會恆等式，忘了招也能當場重造出來，還分得清它什麼時候適用。只背食譜，你記住的是一個沒辦法檢驗的東西。
- 心算技巧該先學哪一個？
- 乘 5、乘 9、乘 11，還有尾數是 5 的平方。這四個天天用得上，四個都只有一步，而且四個靠的是同一個想法：拿旁邊一個好算的數換掉難算的那個，再把差補上。這個想法一旦熟了，剩下的清單就不再像清單了。
- 為什麼乘 11 是把兩個數字的和放到中間？
- 因為 11 是 10 加 1。43 乘 11 就是 430 加 43，兩個數對齊相加時，十位正好變成 4 加 3。「把數字和放中間」這條規則，就是那次加法，只是提前做完了。這也是和到了 10 就要進位的原因。
- 判斷能否被 3 或 9 整除的數字和檢驗法，憑什麼成立？
- 因為 10 除以 3 或 9 都餘 1，10 的每個次方也一樣。這代表不管一個數字坐在哪一位上，它對餘數的貢獻都只有它自己。所以一個數和它的數字之和餘數相同 —— 這就是把數字加起來是個公平檢驗的原因。