平均數與離散程度
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平均數是用一個數字代表一大堆數字，而這整個主題講的就是這種替代要付出什麼代價。兩組資料可以有相同的平均數，卻在其他方面毫無共同之處——這正是為什麼任何一句關於資料的正經陳述，都要同時給出集中趨勢和離散程度，也是為什麼單獨一個「平均數」，是統計學裡最悄無聲息、也最容易誤導人的說法。
該用哪種平均數？
數值分布比較均勻時用平均數，資料裡有離群值或者偏斜時用中位數，資料是分類別、沒有運算可做時用眾數。集中趨勢的度量把這個選擇變成一件要認真考慮的事。平均數是把各個值加起來，再除以個數。對於 4、5、5、6 和 30，平均數是 (4 + 5 + 5 + 6 + 30) ÷ 5 = 10，但中位數——排在中間的那個值——是 5，眾數——出現次數最多的值——也是 5。平均數之所以偏了，是因為那個較大的值 30 把總和拉高了，而中位數只取決於排列順序。數值個數是偶數時，中位數是中間兩個數的平均：對於 3、5、7 和 9，中位數是 (5 + 7) ÷ 2 = 6。平均數必定落在最小值和最大值之間。
把數據從小到大排好後，中位數就是中間的那個值，所以它只取決於排名，不取決於大小——把x₅移到其他值之外也不會改變中位數
把最後一個值拖到最右邊
薪水分別是 22、24、25、26 和 180（千元）：平均數是 55.4，中位數是 25。 這間辦公室裡沒有一個人賺的錢接近 55.4，中位數才是老實的概括。
從表格裡求平均數
同一個值反覆出現時，把它們全部列出來就太浪費了。次數表裡的平均數展示了這條捷徑：把每個值乘以它的次數，把這些乘積加起來，再除以總次數。中位數則來自次數的累計總數，看中間那一項落在哪裡。
分組資料更難處理，因為單個數值都不見了。分組資料的平均數假設每個值都落在它所在組的中點，這就讓答案成了一個估計值——一個誠實的估計值，也應該這樣標註出來。眾數組從另一邊講了同樣的道理：對分組資料，你能說出人數最多的那一組，卻說不出單獨一個眾數。
換你試試
一個非常小的極端值，幾乎不會移動哪一種集中趨勢量數？
一個非常大的極端值，幾乎不會移動哪一種集中趨勢量數？
為什麼只有平均數還不夠？
平均數給出資料的中心，卻完全沒說數值散布得有多開，而散布程度往往才是關鍵。離散程度的度量用兩組資料說明了這一點。看兩名球員三場比賽的得分：一人得了 9、10、11 分，另一人得了 1、10、19 分。兩人的平均數都是 10，因為 9 + 10 + 11 = 30，1 + 10 + 19 = 30。最簡單的離散程度指標是全距，也就是最大值減最小值。第一名球員的全距是 11 − 9 = 2，第二名是 19 − 1 = 18，所以第一名穩定得多。教練要挑一個靠得住的球員，看的正是離散程度。全距有個弱點：一個不尋常的值就能把它撐得很大，這正是為什麼常常改用四分位距。求全距之前先把資料排序，因為沒排序的清單會把最大值和最小值藏起來。
20/40 在這以下，所以這是中位數
在總數四分之一的高度橫著讀，再往下找到數值。
全距和四分位距介紹了全距的修正方案。四分位距是上四分位數減去下四分位數，描述的是資料中間一半的散布，一個極端值碰不到它。
百分位數把這個想法推廣開來：90% 的資料落在第 90 百分位數以下。四分位數其實就是第 25、第 50 和第 75 百分位數的舊稱，生長曲線圖、考試成績和回應時間指標，實際上都是用百分位數來報告的。
累積次數和四分位數
累積次數是計數的累計總和，把它對著每一組的上邊界畫出來，就得到一條 S 形曲線，能回答任何一個值「有多少筆資料低於它」。
從曲線上讀四分位數直接從曲線上讀出四分位數：沿縱軸走到總數的四分之一，橫著走到曲線上，再往下讀出數值。同樣的操作在二分之一和四分之三處，分別給出中位數和上四分位數。
換你試試
最小值 4，最大值 29。全距是多少？
讀數 14、18、23，還有一個離群值 48。全距是多少？
盒鬚圖看的是什麼？
盒鬚圖展示五個數：最小值、下四分位數、中位數、上四分位數和最大值。盒鬚圖把箱子從下四分位數畫到上四分位數，在箱子裡標出中位數，再從箱子兩端拉出鬚線，一直到最小值和最大值。對於資料 3、5、6、8、10、11 和 14，中位數是 8。下四分位數是下半部分 3、5、6 的中間值，也就是 5；上四分位數是 10、11、14 的中間值，也就是 11。箱子從 5 到 11，它的長度 11 − 5 = 6，就是四分位距。箱子裝著資料中間的一半。離群值——超出箱子一個半箱長以外的值——會單獨畫成一個叉。從左到右讀這五個數：它們必須是按順序排的。
在任何跨度下 中位數 − q1 = q3 − 中位數，所以對稱只是線索，從來不是證明
保持箱子兩半相等，並讓四個區間等寬。
盒子從 Q₁ 延伸到 Q₃，四分位距 IQR = 15.5，無論盒子變得多窄，它始終包含二十個值中的十個：盒子變窄是密度較高，而不是資料點變少
把中間十個值擠在一起，再把最大值推過柵欄
它的價值在於比較。同一根軸上的兩個盒鬚圖，一眼就能看出哪組更高、哪組更穩定、哪組是不是偏斜——這三個問題用文字講要寫一整段。
從盒鬚圖判斷是否常態把這種讀法變成一個檢驗：對稱分布裡，中位數在箱子正中間，兩條鬚線長度相近，所以中位數偏向一端，或者一條鬚線特別長，都是偏態的證據。這一點以後很重要，因為好幾種統計方法要先假設對稱，才允許拿來用。
換你試試
下四分位數 12，上四分位數 24。箱子有多寬？
100 個數值畫成箱形圖。有多少個落在箱子裡面？
標準差怎麼算，為什麼要這樣算？
求標準差，先求出每個值離平均數有多遠，把這些距離平方，求平方的平均數，再開平方根。標準差一步步把它搭出來。對於 2、4、4、4、5、5、7 和 9，平均數是 40 ÷ 8 = 5。離 5 的距離分別是 −3、−1、−1、−1、0、0、2 和 4，它們的平方加起來是 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32。平方的平均數是 32 ÷ 8 = 4，標準差就是它的平方根，2。之所以要平方，是因為平均數上下兩邊的距離總會抵消成 0，而平方永遠不會是負數。開平方根是為了把答案換回資料本身的單位。如果所有值都一樣，標準差就是 0。答案永遠不會比全距還大。
對任何一組資料都有 Σ(x − x̄) = 0，所以在平均能量出什麼之前，符號就被去掉了
試著讓天平兩側的長度不同。
(x − μ)² = 31.4：距離變為2倍時，長條變為2倍，而平方變為4倍，所以一個遠的值會壓過好幾個近的值
拖動最後一個值，直到它的平方達到100
先說一個更溫和的近親。平均絕對差不平方，直接把距離取平均，用絕對值來阻止正負號互相抵消。它更好講，也確實有用——這就把一個自然的問題問得更尖銳了：既然這樣也行，為什麼還要平方？
標準差：未分組資料用的是更實用的公式——平方的平均數減去平均數的平方——只用掃一遍資料就能得到同樣的答案，不用掃兩遍。標準差：分組資料把它推廣到次數表，用次數給每個平方值加權，對分組資料則用組中點，帶著和分組平均數一樣的估計值提醒。
換你試試
2、2、10、10 的標準差是多少？
平均數是 6，其中一個值是 4。它的平方距離是多少？
怎麼老老實實地比較兩組資料？
要公平地比較兩組資料，每組都要給出一個集中趨勢指標和一個離散程度指標，兩組用同一對指標，再說清楚這些數字在資料背景下代表什麼。比較資料集練的正是這套結構。中位數要配四分位距，平均數要配標準差。假設兩個班考了同一場測驗。A 班的中位數是 62，四分位距是 10；B 班的中位數是 55，四分位距是 25。一個好的比較會說：A 班平均考得更高，高出 62 − 55 = 7 分，而且成績更穩定，因為它中間一半的分數只跨了 10 分，而不是 25 分。資料裡有離群值時，用中位數這一對，因為離群值幾乎撼動不了它們。一個比較列出四個數卻不下任何結論，等於什麼都沒回答，所以重讀一遍你寫的內容，確保每個數字都在講這兩個班的事。
A 兩行都贏，總體也 A% > B%，因為兩種組成相近
讓 A 在兩行都更好，而總體更差。
把兩對指標混著用——中位數配標準差——就是拿一個穩健的中心去配一個不穩健的離散度，離群值就會影響這段描述的一半。
還有一個陷阱，就算每一步算術都對，也照樣能落進去。辛普森悖論展示了這樣兩組資料：療法 A 在輕症和重症裡都勝過療法 B，合起來算整體卻輸了——因為兩組人數不一樣多，重症病例又不成比例地集中在某一種療法裡。算術本身沒有一處出錯。這一課講的是：混合族群算出來的平均數，不是其中任何一個人的性質。
換你試試
兩組數據的平均數都是 25。其中一組的離散程度小很多。哪一組比較穩定？
兩組數據的平均數都是 30。其中一組的離散程度小很多。哪一組比較穩定？
值得點名的錯誤
- 把分組平均數當成精確值來報告。它是建立在中點假設上的估計值，要這樣說明。
- 求中位數之前忘了排序。沒排序的清單的中間，不是資料的中間。
- 把中位數和標準差配成一對。中位數配四分位距，平均數配標準差——要嘛整對都穩健，要嘛都不穩健，別各取一半。
- 把累積次數畫在組中點上。累計總數只在上邊界才成立。
- 只用集中趨勢比較兩組資料。平均數相等、散布不相等的時候，散布才是故事的全部。
- 因為礙事就刪掉一個離群值。在有記錄在案的理由懷疑它之前，離群值也是一個資料點。
接下來學什麼
這些概括是統計學其餘內容所用的詞彙表。統計圖表指南（英文）講的是它們所配的圖，包括累積次數曲線和直方圖。一旦每個研究對象帶著兩個測量值而不是一個，問題就變成它們是不是一起變動——見散布圖、相關與迴歸指南（英文）。而用樣本的平均數和標準差，去說一說你沒有測量過的母體，整個這件事就是抽樣與推論指南（英文）的主題。
在應用程式裡系統學一遍
Math Challenge 把這些內容都教成配圖的課程——一份畫出來的資料集，一道做出來的計算，還有針對你答錯的那道題、而不是隨便一道相近題目重新講一遍的試一試。它們收在一套從最初的數數一直到大學入學統計學的 800 多課課程目錄裡。
輪到你了
三題試一試，點選作答。
4、7 和 10 的平均數
3、9 和 5 的中位數
12、4 和 9 的全距
常見問題
- 什麼時候該用中位數而不是平均數？
- 只要資料裡有極端值或者拖著長尾，就該用中位數，因為平均數會被離群值拉著走，中位數不會。房價和收入是最典型的例子：少數幾個特別大的數值，把平均數拉到大多數人的實際水準之上，而中位數說的是排在中間的那戶人家。分布大致對稱、或者你需要求總數的時候，才用平均數，因為平均數乘以個數能還原出總和。
- 標準差到底量的是什麼？
- 它量的是一個值到平均數的典型距離。先求出每個值到平均數的偏差，把它們平方，讓正負號不能互相抵消，再求平方的平均數，最後開平方根，回到原來的單位。標準差是 4 公分，意思是各個值平均離平均數大約 4 公分。它和資料的單位相同，這正是它被引用而不是變異數被引用的原因。
- 四分位距要怎麼求？
- 把資料排序，求出中位數，再求下半部分的中位數和上半部分的中位數。這兩個就是下四分位數和上四分位數，四分位距等於上四分位數減去下四分位數。它描述的是資料中間一半的散布程度，完全不管兩端的極端值，這正是它總是和中位數搭配、而不是和平均數搭配的原因。
- 為什麼從分組次數表裡求不出精確的平均數？
- 因為分組這個動作本身就丟掉了原始數值。一組記作 20 到 30，裡面的數值可能聚在 21 附近，也可能聚在 29 附近，表格已經不知道是哪種情況。標準做法是假設每個值都落在它所在組的中點，這在平均意義上說得過去，但並不精確，所以分組平均數總是作為估計值來報告。同樣的局限，也讓眾數在分組資料裡只能是一組，而不是單一一個眾數。
- 辛普森悖論是什麼？
- 指的是每個子組裡都成立的趨勢，一旦把子組合併起來，結論卻反過來了。一種療法可能在輕症和重症裡的成功率都更高，合起來算整體成功率卻更低，因為各組的人數和病情比例相差很大。這個悖論提醒我們：混合族群算出來的平均數，不是其中任何一個個體的性質，而且把資料合併起來，還可能憑空造出一個哪部分資料都不支持的結論。
- 怎麼才算正確地比較兩組資料？
- 比較一個集中趨勢指標和一個離散程度指標，再說清楚每個數字在具體情境裡代表什麼。兩個班級測驗的平均數相同，但如果一個標準差是 3、另一個是 15，情況可能完全不同，因為標準差大的那個班裡，既有最好的學生也有最差的學生。只報平均數的比較，只回答了一半的問題，而且藏起來的正是那有意思的另一半。