Come si calcola a mente la percentuale di un numero?

Parti dal 10%, che è il numero con il punto decimale spostato di un posto a sinistra, e costruisci il resto da lì. Il 10% di 240 è 24, quindi il 20% è 48, il 5% è 12, e il 35% è 24 + 48 + 12, letto come 10 + 20 + 5. Quasi ogni percentuale che incontri è una somma breve di 10%, 5% e 1%.

Che cos'è lo scambio delle percentuali?

L'x% di y è sempre uguale all'y% di x, e un lato è di solito molto più facile. Il 4% di 25 sembra scomodo, ma il 25% di 4 fa 1. Il 18% di 50 diventa il 50% di 18, cioè 9. I due lati sono la stessa moltiplicazione - x per y diviso 100 - quindi lo scambio è gratis, e non costa nulla controllare se l'altro ordine viene meglio.

Come si calcola la variazione percentuale?

Dividi la differenza per il valore INIZIALE, poi moltiplica per 100. Da 40 a 50 la differenza è 10 su un valore iniziale di 40, quindi 10 diviso 40 fa 0.25, un aumento del 25%. L'errore più comune è dividere per il numero nuovo: passare da 40 a 50 è un aumento del 25%, ma tornare da 50 a 40 è un calo del 20%, e i due sono davvero diversi.

Come si risale al prezzo prima dello sconto?

Dividi, non riaggiungere la percentuale. Se è stato tolto il 20% e il prezzo ora è 60, allora 60 è l'80% del prezzo iniziale, quindi quel prezzo è 60 diviso 0.8, cioè 75. Aggiungere il 20% a 60 dà 72 ed è sbagliato, perché quel 20% era una fetta del prezzo iniziale, più grande, e non di quello che resta.

Perché non si possono sommare due percentuali?

Perché la seconda è una fetta di un valore diverso. Un aumento del 10% seguito da un calo del 10% non riporta al punto di partenza: 100 diventa 110, e il 10% di 110 è 11, quindi si atterra su 99. Ogni percentuale si misura sul totale che c'era nel momento in cui è stata applicata.

Percentuali

Per cento vuol dire ogni cento. Il 35% è 35 ogni 100 — una frazione con il denominatore già concordato, ed è esattamente per questo che le percentuali hanno preso piede. Due frazioni con denominatori diversi sono difficili da confrontare; due percentuali non lo sono mai.

Ed è anche la chiave per farle a mente. Non stai mai davvero calcolando una percentuale: la stai costruendo con qualcuna che sai già.

Costruisci tutto dal 10%

Il 10% è il numero con il punto decimale spostato di un posto a sinistra. Ogni altra percentuale è una somma breve di pezzi ricavati da lì.

Ti serve	Fai così	Esempio (di 240)
10%	sposta il punto di un posto	24
1%	sposta il punto di due posti	2.4
20%	il doppio del 10%	48
5%	metà del 10%	12
15%	10% + 5%	36
25%	un quarto — metà, e ancora metà	60
35%	10% + 20% + 5%	84

17% di 300 → il 10% è 30, il 5% è 15, l'1% è 3, quindi 30 + 15 + 3 × 2 = 51.

Le percentuali si sommano fra loro finché sono fette dello stesso valore. Il 10% e il 5% dello stesso numero si combinano davvero nel 15% di quel numero, quindi una percentuale si può assemblare con pezzi facili invece di calcolarla in un colpo solo. Da qui viene quasi tutto il calcolo mentale delle percentuali.

Lo scambio delle percentuali

L'x% di y è sempre uguale all'y% di x — e un lato è di solito molto più facile.

Il 4% di 25 è scomodo; il 25% di 4 fa 1. Il 18% di 50 → il 50% di 18 = 9. Il 12% di 50 → il 50% di 12 = 6.

I due lati sono la stessa moltiplicazione, x × y / 100, letta in un ordine diverso. Alla moltiplicazione l'ordine non interessa, quindi lo scambio è gratis — e non costa nulla dare un'occhiata all'altro lato prima di partire.

Variazione percentuale

Dividi la differenza per il valore iniziale, poi moltiplica per 100.

40 → 50: la differenza è 10 e il valore iniziale è 40, quindi 10 ÷ 40 = 0.25 → un aumento del 25%.

50 → 40: la differenza è 10 e il valore iniziale è 50, quindi 10 ÷ 50 = 0.2 → un calo del 20%.

Quei due non si contraddicono, e accorgersi del perché è quasi tutto ciò che significa capire le percentuali. Una percentuale è sempre una fetta di qualcosa, e nelle due direzioni quel qualcosa è diverso. Dieci è un quarto di 40 e un quinto di 50. Ogni volta che una percentuale sembra sbagliata, la prima domanda è: percentuale di che cosa?

Le percentuali non si impilano

100 sale del 10% → 110. Poi scende del 10% → 99, non 100.

Il calo era il 10% di 110, che è più del 10% di 100. La stessa asimmetria spiega perché una perdita del 50% ha bisogno di un guadagno del 100% per essere recuperata.

Aumenti e sconti in un passo solo

Non calcolare la parte per poi aggiungerla o toglierla: vai dritto all'importo finale con un moltiplicatore.

Variazione	Moltiplica per	Esempio
+10%	1.1	80 → 88
−10%	0.9	80 → 72
+20%	1.2	80 → 96
−25%	0.75	80 → 60
−30%	0.7	80 → 56

Uno sconto del 30% lascia in piedi il 70%, e il 70% di qualcosa è 0.7 × quella cosa. Andare dritti al moltiplicatore dimezza il lavoro e toglie di mezzo il passaggio che più facilmente va storto. Rende anche facili più variazioni di fila: due aumenti del 10% sono × 1.1 × 1.1 = × 1.21, cioè il 21% — non il 20% — che l'impilamento farebbe prevedere.

Percentuali inverse

Il caso scomodo, e quello che vale la pena allenare: conosci il prezzo dopo la variazione e vuoi quello di prima.

Un cappotto costa 60 dopo uno sconto del 20%. 60 è l'80% del prezzo iniziale, quindi quel prezzo è 60 ÷ 0.8 = 75.

Un conto è 108 con l'8% di imposta inclusa. 108 è il 108% dell'importo senza imposta, che quindi è 108 ÷ 1.08 = 100.

Riaggiungere la percentuale è l'errore classico — 60 più il 20% di 60 fa 72, che non è 75. Quel 20% era una fetta del prezzo iniziale, non di quello ridotto, quindi l'unica strada per tornare indietro è disfare la moltiplicazione che ora sai essere stata applicata. Se in avanti è × 0.8, all'indietro è ÷ 0.8.

Quelli di tutti i giorni

Una mancia del 15% su 43. Il 10% è 4.30, la metà di quello è 2.15, quindi circa 6.45.
Un terzo di sconto su 27. Un terzo è 9, quindi 18. Gli sconti che hanno la forma di una frazione vengono prima come frazioni.
20% di sconto, poi un altro 10%. × 0.8 × 0.9 = × 0.72, cioè il 28% di sconto — non il 30%.
"Fino al 70% di sconto". Moltiplica per 0.3 per vedere il caso migliore in una mossa.

Le frazioni da riconoscere a colpo d'occhio

Riconoscerle elimina del tutto i conti.

Percentuale	Frazione	In pratica
50%	1/2	dimezza
25%	1/4	dimezza due volte
75%	3/4	dimezza due volte, prendine tre
33.3%	1/3	dividi per 3
20%	1/5	dividi per 5
12.5%	1/8	dimezza tre volte

Da dove arrivano è spiegato nella guida alle frazioni, e il resto delle scorciatoie mentali sta nei trucchi di calcolo mentale.

Tutto ciò che c'è in questa pagina è una percentuale applicata una volta sola. Applicata ripetutamente diventa interessi, ammortamento e inflazione — crescita composta, tassi effettivi, rate di un prestito e rendite sono trattati in decimali, percentuali e interessi (in inglese).

Gli errori da nominare

Dividere per il valore nuovo nella variazione percentuale. Il riferimento è il valore iniziale, sempre.
Riaggiungere lo sconto per annullarlo. Dividi invece per il moltiplicatore.
Sommare percentuali successive. Moltiplica i moltiplicatori: 20% e poi 10% fa 28%, non 30%.
Confondere una percentuale con un punto percentuale. Un tasso che passa dal 4% al 5% sale di un punto percentuale — ed è salito del 25%.

Allena tutto questo nel gioco

Math Challenge ha un argomento Percentuali che allena la mossa centrale — la percentuale di un numero — partendo dal 10%, 25% e 50% di numeri comodi e allargandosi a quelle meno memorizzate man mano che le indovini. È il pezzo con cui è costruito tutto ciò che c'è in questa pagina, ed è il pezzo che vale la pena rendere automatico.

Anche lo scambio delle percentuali è una delle 36 lezioni illustrate dei Trucchi di Magia, che insegnano prima il ragionamento e poi ti fanno allenare. Quella fa parte del gruppo Pro e non dei trucchi iniziali gratuiti — l'argomento Percentuali qui sopra non richiede alcun acquisto.

Tocca a te

Tre da provare: tocca la tua risposta.

25% di 80

15% di 200

Una maglietta da $40 scende del 10%. Nuovo prezzo?

Allena le percentuali gratis →