百分数
百分数的意思就是“每一百里有多少”。35% 是每 100 里的 35 —— 一个已经把分母商量好了的分数，而这正是百分数流行起来的原因。分母不同的两个分数不好比；两个百分数从来没有不好比的时候。
这也是心算的钥匙。你其实从来不是在“算”一个百分数，你是在用几个已经会的把它搭出来。
一切都从 10% 搭起来
10% 就是把小数点往左挪一位。其余每一个百分数，都是用它做出来的零件的一个短加法。
| 要算 | 怎么做 | 例（240 的） |
|---|---|---|
| 10% | 小数点挪一位 | 24 |
| 1% | 小数点挪两位 | 2.4 |
| 20% | 10% 翻倍 | 48 |
| 5% | 10% 的一半 | 12 |
| 15% | 10% + 5% | 36 |
| 25% | 四分之一 —— 对半，再对半 | 60 |
| 35% | 10% + 20% + 5% | 84 |
300 的 17% → 10% 是 30，5% 是 15，1% 是 3，所以 30 + 15 + 3 × 2 = 51。
百分数互换
y 的 x% 永远等于 x 的 y% —— 而其中一边通常好算得多。
25 的 4% 别扭；4 的 25% 是 1。 50 的 18% → 18 的 50% = 9。 50 的 12% → 12 的 50% = 6。
百分数变化
用变化量除以原来的量，再乘 100。
：变化是 10，原来是 40，所以 10 ÷ 40 = 0.25 → 增长 25%。
：变化是 10，原来是 50，所以 10 ÷ 50 = 0.2 → 下降 20%。
百分数不叠加
100 涨 10% 到 110。再跌 10% 是 99，不是 100。
跌掉的那 10% 是 110 的 10%，比 100 的 10% 大。同一个不对称，也解释了为什么亏掉 50% 之后要赚 100% 才回本。
涨价和打折，一步到位
不要先算出那一部分再加上去或减下来 —— 用一个乘数直接走到最终金额。
| 变化 | 乘以 | 例 |
|---|---|---|
| +10% | 1.1 | |
| −10%（打九折） | 0.9 | |
| +20% | 1.2 | |
| −25% | 0.75 | |
| −30%（打七折） | 0.7 |
由折后价倒推原价
别扭的那一类，也是值得练的那一类：你知道变化之后的价钱，想知道之前的。
一件外套打八折后是 60。60 是原价的 80%，所以原价是 60 ÷ 0.8 = 75。
一张账单含 8% 的税是 108。108 是税前金额的 108%，所以税前是 108 ÷ 1.08 = 100。
日常里最常见的几种
- 43 的 15%。10% 是 4.30，它的一半是 2.15，所以大约 6.45。
- 27 便宜三分之一。三分之一是 9，所以是 18。分数形状的折扣，按分数算更快。
- 先打八折，再打九折。× 0.8 × 0.9 = × 0.72，等于打七二折，总共便宜 28% —— 不是 30%。
- “最低三折”。乘 0.3，一步就看到最划算的情形。
值得一眼认出的几个分数
认出它们，计算本身就消失了。
| 百分数 | 分数 | 手上怎么做 |
|---|---|---|
| 50% | 对半 | |
| 25% | 对半两次 | |
| 75% | 对半两次，取三份 | |
| 33.3% | 除以 3 | |
| 20% | 除以 5 | |
| 12.5% | 对半三次 |
它们的来历在分数指南里，其余的心算窍门在心算窍门（英文）里。
这一页讲的都是百分数只作用一次的情形。反复作用，它就变成了利息、折旧和通胀 —— 复利、实际利率、贷款还款和年金，在小数、百分数与利息（英文）里逐条讲。
值得点名的错误
- 算变化率时拿新数去除。基准永远是原来的那个数。
- 倒推原价时把折扣加回去。该做的是除以那个乘数。
- 把先后发生的百分数相加。要乘的是乘数：先八折再九折是便宜 28%，不是 30%。
- 把百分数和百分点弄混。一个比率从 4% 到 5%，是上升了 1 个百分点 —— 同时也是上升了 25%。
在游戏里练
Math Challenge 里有百分数专题，练的正是那个核心动作 —— 一个数的百分之几。从好对付的数的 10%、25% 和 50% 开始，做对越多，越往不那么熟的百分数上扩。这一页的一切都是用那个零件搭起来的，而值得练到自动的，也正是那个零件。
百分数互换同时也是 36 个配图“魔术”课程之一 —— 先讲清道理，再把你放进针对它的练习里。这一个属于 Pro 那一组，不在免费入门魔术里；上面的百分数专题则不需要购买。
轮到你了
三题试一试，点选作答。
80 的 25%
200 的 15%
一件 $40 的衬衫降价 10%。新价格是多少？