Como calcular a porcentagem de um número de cabeça?

Comece por 10%, que é o número com o ponto decimal andando uma casa para a esquerda, e monte o resto a partir dele. 10% de 240 é 24, então 20% é 48, 5% é 12, e 35% é 24 + 48 + 12, lido como 10 + 20 + 5. Quase toda porcentagem que você encontra é uma soma curta de 10%, 5% e 1%.

O que é a troca de porcentagem?

x% de y é sempre igual a y% de x, e um dos lados costuma ser bem mais fácil. 4% de 25 parece chato, mas 25% de 4 é 1. 18% de 50 vira 50% de 18, que é 9. Os dois lados são a mesma multiplicação - x vezes y dividido por 100 - então a troca é de graça, e não custa nada conferir se a outra ordem sai melhor.

Como se calcula a variação percentual?

Divida a diferença pelo valor ORIGINAL e multiplique por 100. De 40 para 50 há uma diferença de 10 sobre um original de 40, então 10 dividido por 40 dá 0.25, um aumento de 25%. O erro mais comum é dividir pelo número novo: ir de 40 para 50 é uma alta de 25%, mas voltar de 50 para 40 é uma queda de 20%, e as duas são realmente diferentes.

Como descobrir o preço original antes do desconto?

Divida, não some a porcentagem de volta. Se tiraram 20% e o preço agora é 60, então 60 é 80% do original, logo o original é 60 dividido por 0.8, ou seja 75. Somar 20% a 60 dá 72 e está errado, porque aqueles 20% eram uma fatia do preço original, que era maior, e não do que sobrou.

Por que não dá para simplesmente somar duas porcentagens?

Porque a segunda é uma fatia de outro valor. Uma alta de 10% seguida de uma queda de 10% não devolve você ao ponto de partida: 100 vira 110, e 10% de 110 é 11, então você para em 99. Cada porcentagem é medida sobre o total que existia no momento em que ela foi aplicada.

Porcentagem

Por cento quer dizer a cada cem. 35% são 35 em cada 100 — uma fração com o denominador já combinado, e é exatamente por isso que a porcentagem pegou. Duas frações com denominadores diferentes são difíceis de comparar; duas porcentagens nunca são.

É essa também a chave para fazer as contas de cabeça. Você nunca está de fato calculando uma porcentagem; está montando ela com algumas que já sabe.

Monte tudo a partir de 10%

10% é o número com o ponto decimal andando uma casa para a esquerda. Toda outra porcentagem é uma soma curta de pedaços feitos a partir dele.

Você quer	Faça isto	Exemplo (de 240)
10%	mova o ponto uma casa	24
1%	mova o ponto duas casas	2.4
20%	o dobro de 10%	48
5%	metade de 10%	12
15%	10% + 5%	36
25%	um quarto — metade, e metade de novo	60
35%	10% + 20% + 5%	84

17% de 300 → 10% é 30, 5% é 15, 1% é 3, então 30 + 15 + 3 × 2 = 51.

Porcentagens se somam entre si desde que sejam fatias do mesmo valor. 10% e 5% do mesmo número realmente se combinam em 15% dele, então dá para montar uma porcentagem com pedaços fáceis em vez de calcular tudo de uma vez. É daí que sai quase todo o cálculo mental de porcentagem.

A troca de porcentagem

x% de y é sempre igual a y% de x — e um dos lados costuma ser bem mais fácil.

4% de 25 é chato; 25% de 4 é 1. 18% de 50 → 50% de 18 = 9. 12% de 50 → 50% de 12 = 6.

Os dois lados são a mesma multiplicação, x × y / 100, lida em outra ordem. A multiplicação não liga para a ordem, então a troca sai de graça — e não custa nada dar uma olhada no outro lado antes de começar.

Variação percentual

Divida a diferença pelo original e multiplique por 100.

40 → 50: a diferença é 10 e o original é 40, então 10 ÷ 40 = 0.25 → um aumento de 25%.

50 → 40: a diferença é 10 e o original é 50, então 10 ÷ 50 = 0.2 → uma queda de 20%.

Essas duas não se contradizem, e perceber por quê é quase tudo o que significa entender porcentagem. Uma porcentagem é sempre uma fatia de alguma coisa, e as duas direções têm coisas diferentes embaixo. Dez é um quarto de 40 e um quinto de 50. Sempre que uma porcentagem parecer errada, a primeira pergunta é: porcentagem de quê?

Porcentagens não se empilham

100 sobe 10% → 110. Depois cai 10% → 99, e não 100.

A queda foi de 10% de 110, que é maior do que 10% de 100. Essa mesma assimetria explica por que uma perda de 50% precisa de um ganho de 100% para se recuperar.

Aumentos e descontos num passo só

Não calcule a parte para depois somar ou subtrair — vá direto ao valor final com um multiplicador.

Mudança	Multiplique por	Exemplo
+10%	1.1	80 → 88
−10%	0.9	80 → 72
+20%	1.2	80 → 96
−25%	0.75	80 → 60
−30%	0.7	80 → 56

Um desconto de 30% deixa 70% de pé, e 70% de alguma coisa é 0.7 × ela. Ir direto ao multiplicador corta o trabalho pela metade e elimina o passo que mais dá errado. Também deixa fácil aplicar várias mudanças seguidas: duas altas de 10% são × 1.1 × 1.1 = × 1.21, ou seja os 21% — e não 20% — que o empilhamento prevê.

Porcentagem inversa

O caso chato, e o que mais vale treinar: você sabe o preço depois da mudança e quer o preço de antes.

Um casaco custa 60 depois de 20% de desconto. 60 é 80% do original, então o original é 60 ÷ 0.8 = 75.

Uma conta é 108 já com 8% de imposto. 108 é 108% do valor sem imposto, então ele é 108 ÷ 1.08 = 100.

Somar a porcentagem de volta é o erro clássico — 60 + 20% de 60 dá 72, que não é 75. Aqueles 20% eram uma fatia do preço original, e não do preço já reduzido, então o único caminho de volta é desfazer a multiplicação que você agora sabe que foi aplicada. Se para frente é × 0.8, para trás é ÷ 0.8.

Os casos do dia a dia

Uma gorjeta de 15% sobre 43. 10% é 4.30, metade disso é 2.15, então cerca de 6.45.
Um terço de desconto sobre 27. Um terço é 9, então 18. Desconto com cara de fração sai mais rápido como fração.
20% de desconto e depois mais 10%. × 0.8 × 0.9 = × 0.72, ou seja 28% de desconto — e não 30%.
"Até 70% de desconto". Multiplique por 0.3 para ver o melhor caso de uma vez.

As frações que vale reconhecer de bate-pronto

Reconhecer estas elimina a conta por completo.

Porcentagem	Fração	Na prática
50%	1/2	corte ao meio
25%	1/4	ao meio duas vezes
75%	3/4	ao meio duas vezes, pegue três
33.3%	1/3	divida por 3
20%	1/5	divida por 5
12.5%	1/8	ao meio três vezes

De onde elas vêm está no guia de frações, e o resto dos atalhos mentais está em truques de cálculo mental.

Tudo nesta página é uma porcentagem aplicada uma vez. Aplicada repetidamente, ela vira juros, depreciação e inflação — juros compostos, taxa efetiva, parcelas de empréstimo e anuidades são trabalhados em decimais, porcentagem e juros (em inglês).

Os erros que vale nomear

Dividir pelo valor novo na variação percentual. A referência é o original, sempre.
Somar o desconto de volta para desfazê-lo. Divida pelo multiplicador.
Somar porcentagens sucessivas. Multiplique os multiplicadores: 20% e depois 10% dá 28%, não 30%.
Confundir porcentagem com ponto percentual. Uma taxa que vai de 4% para 5% subiu um ponto percentual — e subiu 25%.

Treine isto no jogo

O Math Challenge tem um tópico de Porcentagem que treina o movimento principal — a porcentagem de um número — começando por 10%, 25% e 50% de números camaradas e abrindo para os menos decorados conforme você acerta. É essa a peça com que tudo nesta página é construído, e é ela que vale a pena tornar automática.

A troca de porcentagem também é uma das 36 lições ilustradas de Truques de Mágica, que ensinam primeiro o raciocínio e depois soltam você no treino. Essa faz parte do conjunto Pro, e não dos truques iniciais liberados — o tópico de Porcentagem acima não exige compra nenhuma.

Sua vez

Três para praticar: toque na sua resposta.

25% de 80

15% de 200

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