Prozentrechnung

Aktualisiert 13. Oktober 2026

Prozent heißt von hundert. 35 % sind 35 von je 100 — ein Bruch, dessen Nenner schon vereinbart ist, und genau deshalb haben sich Prozente durchgesetzt. Zwei Brüche mit verschiedenen Nennern sind mühsam zu vergleichen; zwei Prozentsätze nie.

Das ist zugleich der Schlüssel zum Kopfrechnen. Man berechnet einen Prozentsatz eigentlich nie — man baut ihn aus ein paar zusammen, die man schon kennt.

Alles aus 10 % aufbauen

10 % sind die Zahl mit dem Komma um eine Stelle nach links. Jeder andere Prozentsatz ist eine kurze Summe von Bausteinen daraus.

17 % von $300\to 10$300 → 10 % sind 30, 5 % sind 15, 1 % ist 3, also 30 + 15 + 3 × 2 = 51.

Der Prozent-Tausch

Der Prozent-Tausch sagt, dass x % von y immer gleich y % von x ist, also tauschst du die Zahlen und rechnest die leichtere Seite aus. Für 16 % von 25 tauschst du zu 25 % von 16, das ist ein Viertel von 16, also 16 % von 25 = 4. Das funktioniert, weil beide dieselbe Multiplikation bedeuten: 16 % von 25 ist 16 × 25 ÷ 100, und 25 % von 16 ist 25 × 16 ÷ 100, und beide ergeben 400 ÷ 100 = 4. Der Tausch hilft nur, wenn eine Seite zu einem freundlichen Prozentsatz wird, wie 25 % oder 50 %. Das ist der Fall, der die Schritte ändert: Bei 13 % von 17 ergibt der Tausch 17 % von 13, was nicht leichter ist, also rechnest du direkt 13 × 17 ÷ 100. Zur Probe eines Tauschs schätze die ursprüngliche Seite: 16 % ist etwas mehr als 15 %, und 15 % von 25 liegt zwischen 3 und 4, also ist eine Antwort von 4 die richtige Größenordnung.

4 % von 25 ist sperrig; 25 % von 4 sind 1. 18 % von $50\to 50$50 → 50 % von 18 = 9. 12 % von $50\to 50$50 → 50 % von 12 = 6.

Prozentuale Änderung

Prozentuale Änderung ist die Änderung geteilt durch den Grundwert, mal 100. Steigt ein Preis von 80 auf 100, ist die Änderung 20 und der Grundwert 80, also ist die prozentuale Änderung 20 ÷ 80 × 100 = 25%. Der Grundwert ist der Bezugspunkt, weil die Änderung an dem gemessen wird, wo du gestartet bist. Deshalb ergibt derselbe Abstand rückwärts eine andere Antwort: Ein Rückgang von 100 auf 80 ist 20 ÷ 100 × 100 = 20%, weil diesmal die Änderung an 100 gemessen wird. Bei einem Rückgang ziehst du den neuen Betrag vom Grundwert ab, um die Änderung zu finden, teilst wie zuvor durch den Grundwert und nennst das Ergebnis eine Abnahme. Der häufige Fehler ist, durch den neuen Betrag zu teilen, was den Anstieg kleiner aussehen lässt, als er ist. Zur Probe wendest du den Prozentsatz auf den Grundwert an: 25% von 80 = 20, und 80 + 20 = 100.

$40\to 50$40 → 50: die Änderung ist 10, der Grundwert 40, also $10÷40=0.25\to$10 ÷ 40 = 0.25 → ein Anstieg um 25 %.

$50\to 40$50 → 40: die Änderung ist 10, der Grundwert 50, also $10÷50=0.2\to$10 ÷ 50 = 0.2 → ein Rückgang um 20 %.

Prozente stapeln sich nicht

100 steigt um 10 % $\to 110$→ 110. Dann fällt es um 10 % $\to 99$→ 99, nicht 100.

Der Rückgang waren 10 % von 110, und das ist mehr als 10 % von 100. Dieselbe Unsymmetrie ist der Grund, warum ein Verlust von 50 % einen Gewinn von 100 % braucht, um ausgeglichen zu sein.

Aufschläge und Rabatte in einem Schritt

Um einen Betrag in einem Schritt um einen Prozentsatz zu erhöhen oder zu verringern, multiplizierst du ihn mit dem Prozentsatz, bei dem du landest, geschrieben als Hundertstel. Ein Anstieg um 20 % lässt 100 % + 20 % = 120 % des Originals übrig, also ergibt 40 um 20 % erhöht $40\times \frac{120}{100}=48$40 × 120/100 = 48. Ein Rabatt von 25 % lässt 100 % − 25 % = 75 % übrig, also wird aus einem Preis von 80 mit 25 % Rabatt $80\times \frac{75}{100}=60$80 × 75/100 = 60. Das funktioniert, weil der ursprüngliche Betrag 100 % ist, und die Änderung vor dem Multiplizieren zu addieren oder abzuziehen bedeutet, dass du die Änderung nie separat ausrechnen musst. Bei zwei Änderungen hintereinander multiplizierst du die beiden Multiplikatoren und addierst nie die Prozentsätze. Ein Anstieg um 20 %, gefolgt von einem Rückgang um 20 %, ergibt $\frac{120}{100}\times \frac{80}{100}=\frac{96}{100}$120/100 × 80/100 = 96/100, das ist insgesamt ein Verlust von 4 %, nicht null. Zur Probe einer Ein-Schritt-Antwort findest du die Änderung einmal separat: 20 % von 40 sind 8, und 40 + 8 = 48.

Den Grundwert zurückrechnen

Um den Grundwert nach einer prozentualen Änderung zu finden, teilst du den neuen Betrag durch den Multiplikator, den die Änderung benutzt hat. Nach einem Anstieg um 20 % kostet ein Ticket 84. Der neue Preis ist 120 % des Grundwerts, also ist der Grundwert $84÷\frac{120}{100}=70$84 ÷ 120/100 = 70. Das funktioniert, weil der Anstieg den Grundwert mit $\frac{120}{100}$120/100 multipliziert hat, und durch dieselbe Zahl zu teilen macht das rückgängig. Der übliche Fehler ist, den Prozentsatz vom neuen Betrag zu nehmen: Die 20 % waren ein Anteil des Grundwerts, nicht von 84, also ergibt es nicht 70, wenn du 20 % von 84 abziehst. Ein Rückgang funktioniert genauso mit einem kleineren Multiplikator: Nach 20 % Rabatt teilst du durch 0.8, weil der Verkaufspreis 80 % des Grundwerts ist. Ein Preis, der schon die Steuer enthält, ist ein verkappter Anstieg, also ist sein Multiplikator 100 % plus der Steuersatz. Zur Probe wendest du die Änderung auf deine Antwort an: 20 % von 70 sind 14, und 70 + 14 = 84.

Ein Mantel kostet 60 nach 20 % Rabatt. 60 sind 80 % des Grundwerts, der Grundwert ist also 60 ÷ 0.8 = 75.

Eine Rechnung lautet über 108 inklusive 8 % Steuer. 108 sind 108 % des Nettobetrags, dieser beträgt also 108 ÷ 1.08 = 100.

Wie berechnet man Trinkgeld oder einen Rabatt?

Um ein Trinkgeld oder einen Rabatt zu berechnen, startest du bei 10 %, das ist der Betrag geteilt durch 10, und baust den benötigten Prozentsatz daraus auf. Für 15 % Trinkgeld auf eine Rechnung von 60 sind 10 % gleich 6, die Hälfte davon ist 3, und 6 + 3 = 9, also ist das Trinkgeld 9. Ein Rabatt nutzt dieselben Teile und zieht dann ab: 20 % Rabatt auf 60 sind 2 × 6 = 12 Rabatt, also zahlst du 60 − 12 = 48. Das funktioniert, weil 10 % leicht zu finden sind, und die meisten alltäglichen Prozentsätze aus Zehnern und Fünfern bestehen. Zwei Rabatte hintereinander addieren sich nicht. Nach 20 % Rabatt wird ein weiterer Rabatt von 10 % vom niedrigeren Preis abgezogen, also zahlst du 80 % von 90 % = 72 % des Originals, und die Gesamtersparnis ist 28 %, nicht 30 %. Zur Probe eines Rabatts addierst du die Ersparnis zum gezahlten Preis zurück: 48 + 12 = 60.

• 15 % Rabatt auf 43. 10 % sind 4.30, die Hälfte davon 2.15, also rund 6.45 weniger.
• Ein Drittel weniger auf 27. Ein Drittel ist 9, also 18. Rabatte in Bruchform gehen als Bruch schneller.
• 20 % Rabatt, dann noch 10 %. × 0.8 × 0.9 = × 0.72, also 28 % Rabatt — nicht 30 %.
• „Bis zu 70 % reduziert“. Mit 0.3 multiplizieren zeigt den besten Fall in einem Zug.

Die Brüche, die man auf einen Blick kennen sollte

Die Brüche, die man als Prozent kennen sollte, sind $\frac{1}{2}=50$1/2 = 50%, $\frac{1}{4}=25$1/4 = 25%, $\frac{3}{4}=75$3/4 = 75%, $\frac{1}{5}=20$1/5 = 20%, $\frac{1}{10}=10$1/10 = 10%, $\frac{1}{8}=12.5$1/8 = 12.5%, $\frac{1}{3}=33.3$1/3 = 33.3% und $\frac{2}{3}=66.7$2/3 = 66.7%. Jeder Prozentsatz ist der Bruch als Hundertstel geschrieben: $\frac{1}{4}=\frac{25}{100}$1/4 = 25/100, und 25 von 100 sind 25%. Sie zu kennen macht aus einer Prozentfrage eine Bruchfrage, und Brüche von freundlichen Zahlen sind schnell: 75% von 40 ist $\frac{3}{4}$3/4 von 40, das ist 40 ÷ 4 × 3 = 30. Andere Prozentsätze bauen auf diesen auf, also ist $\frac{3}{5}$3/5 dreimal 20%, das ergibt 60%. Ein Drittel hat einen Prozentsatz, der nie endet, also ist 66.7% für zwei Drittel gerundet: $\frac{2}{3}$2/3 von 60 sind genau 40, während der gerundete Prozentsatz von 60 etwas mehr ergibt. Nutze bei Dritteln den Bruch. Um jeden davon zu prüfen, multiplizierst du den Prozentsatz mit der unteren Zahl seines Bruchs: 25% × 4 = 100%, ein Ganzes.

Wo diese herkommen, steht im Ratgeber zu Brüchen, und die übrigen Kopfrechen-Abkürzungen finden sich in den Kopfrechen-Tricks (auf Englisch).

Alles auf dieser Seite ist ein einmal angewandter Prozentsatz. Wiederholt angewandt wird daraus Zins, Abschreibung und Inflation — Zinseszins, Effektivzins, Kredittilgung und Renten sind in Dezimalzahlen, Prozente und Zinsen (auf Englisch) durchgerechnet.

Die Fehler, die einen Namen verdienen

• Bei einer Änderung durch den neuen Wert teilen. Bezugsgröße ist immer der Grundwert.
• Den Rabatt zum Rückrechnen wieder draufschlagen. Teile stattdessen durch den Faktor.

• Aufeinanderfolgende Prozentsätze addieren. Multipliziere die Faktoren: 20 % und dann 10 % sind 28 %, nicht 30 %.
• Prozent mit Prozentpunkt verwechseln. Ein Satz, der von 4 % auf 5 % steigt, steigt um einen Prozentpunkt — und um 25 %.