Comment calculer un pourcentage de tête ?

Partez de 10 %, c'est-à-dire le nombre avec la virgule décalée d'un rang vers la gauche, et construisez le reste à partir de là. 10 % de 240 font 24, donc 20 % font 48, 5 % font 12, et 35 % se lisent 10 + 20 + 5, soit 24 + 48 + 12. Presque tous les pourcentages que vous rencontrez sont une petite somme de 10 %, 5 % et 1 %.

Qu'est-ce que l'inversion des pourcentages ?

x % de y vaut toujours y % de x, et l'un des deux côtés est presque toujours bien plus simple. 4 % de 25 paraît pénible, mais 25 % de 4 font 1. 18 % de 50 deviennent 50 % de 18, soit 9. Les deux côtés sont la même multiplication — x fois y divisé par 100 — donc l'inversion est gratuite, et il ne coûte rien de regarder si l'autre sens est plus agréable.

Comment calculer une variation en pourcentage ?

Divisez la variation par la valeur de DÉPART, puis multipliez par 100. De 40 à 50, la variation est de 10 sur un départ de 40, donc 10 divisé par 40 donne 0.25, soit une hausse de 25 %. L'erreur la plus fréquente est de diviser par la nouvelle valeur : passer de 40 à 50 est une hausse de 25 %, mais revenir de 50 à 40 est une baisse de 20 %, et les deux sont réellement différentes.

Comment retrouver le prix avant une remise ?

Divisez, n'ajoutez pas le pourcentage. Si 20 % ont été retirés et que le prix est maintenant 60, alors 60 représente 80 % du prix de départ, donc ce prix vaut 60 divisé par 0.8, soit 75. Ajouter 20 % à 60 donne 72 et c'est faux, parce que les 20 % étaient une part du prix de départ, plus grand, et non de ce qui reste.

Pourquoi ne peut-on pas simplement additionner deux pourcentages ?

Parce que le second porte sur une quantité différente. Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ne ramène pas au point de départ : 100 devient 110, et 10 % de 110 font 11, donc on atterrit à 99. Chaque pourcentage se mesure sur le total tel qu'il était au moment où il s'est appliqué.

Les pourcentages

Pour cent veut dire sur cent. 35 %, ce sont 35 sur chaque centaine — une fraction dont le dénominateur est déjà convenu, et c'est exactement pour cela que les pourcentages ont pris. Deux fractions de dénominateurs différents sont difficiles à comparer ; deux pourcentages ne le sont jamais.

C'est aussi la clé pour les faire de tête. Vous ne calculez jamais vraiment un pourcentage : vous le construisez à partir de quelques-uns que vous connaissez déjà.

Tout construire à partir de 10 %

10 %, c'est le nombre avec la virgule décalée d'un rang vers la gauche. Tout autre pourcentage est une courte somme de morceaux bâtis sur celui-là.

Vous voulez	Faites ceci	Exemple (de 240)
10 %	décaler la virgule d'un rang	24
1 %	décaler la virgule de deux rangs	2.4
20 %	doubler 10 %	48
5 %	la moitié de 10 %	12
15 %	10 % + 5 %	36
25 %	un quart — moitié, puis moitié	60
35 %	10 % + 20 % + 5 %	84

17 % de 300 → 10 % font 30, 5 % font 15, 1 % fait 3, donc 30 + 15 + 3 × 2 = 51.

Les pourcentages s'additionnent tant qu'ils portent sur la même quantité. 10 % et 5 % d'un même nombre se combinent bel et bien en 15 % de ce nombre : un pourcentage peut donc être assemblé à partir de morceaux faciles au lieu d'être calculé d'un bloc. C'est de là que vient presque tout le calcul mental sur les pourcentages.

L'inversion du pourcentage

x % de y vaut toujours y % de x — et l'un des deux côtés est presque toujours bien plus simple.

4 % de 25 est pénible ; 25 % de 4 font 1. 18 % de 50 → 50 % de 18 = 9. 12 % de 50 → 50 % de 12 = 6.

Les deux côtés sont la même multiplication, x × y / 100, lue dans un ordre différent. La multiplication se moque de l'ordre, donc l'inversion est gratuite — et il ne coûte rien de jeter un œil à l'autre côté avant de se lancer.

La variation en pourcentage

Divisez la variation par la valeur de départ, puis multipliez par 100.

40 → 50 : la variation est 10, le départ est 40, donc 10 ÷ 40 = 0.25 → une hausse de 25 %.

50 → 40 : la variation est 10, le départ est 50, donc 10 ÷ 50 = 0.2 → une baisse de 20 %.

Ces deux résultats ne se contredisent pas, et comprendre pourquoi, c'est comprendre l'essentiel des pourcentages. Un pourcentage est toujours une part de quelque chose, et les deux sens n'ont pas le même quelque chose. Dix, c'est le quart de 40 et le cinquième de 50. Chaque fois qu'un pourcentage semble faux, la première question est : un pourcentage de quoi ?

Les pourcentages ne s'empilent pas

100 monte de 10 % → 110. Puis baisse de 10 % → 99, et non 100.

La baisse portait sur 10 % de 110, plus grand que 10 % de 100. La même dissymétrie explique qu'une perte de 50 % réclame un gain de 100 % pour être effacée.

Hausses et remises en une seule étape

Ne calculez pas la part pour l'ajouter ou la retirer ensuite : allez droit au montant final avec un coefficient multiplicateur.

Variation	Multiplier par	Exemple
+10 %	1.1	80 → 88
−10 %	0.9	80 → 72
+20 %	1.2	80 → 96
−25 %	0.75	80 → 60
−30 %	0.7	80 → 56

Une remise de 30 % laisse 70 % derrière elle, et 70 % de quelque chose, c'est 0.7 × cette chose. Passer directement au coefficient divise le travail par deux et supprime l'étape la plus exposée à l'erreur. Cela rend aussi facile l'enchaînement de plusieurs variations : deux hausses de 10 %, c'est × 1.1 × 1.1 = × 1.21, soit les 21 % — et non 20 % — que l'empilement prédit.

Retrouver la valeur de départ

Le cas pénible, et celui qui mérite d'être travaillé : vous connaissez le prix après la variation et vous voulez celui d'avant.

Un manteau coûte 60 après 20 % de remise. 60 représente 80 % du prix de départ, donc ce prix vaut 60 ÷ 0.8 = 75.

Une facture s'élève à 108 taxe de 8 % comprise. 108 représente 108 % du montant hors taxe, donc celui-ci vaut 108 ÷ 1.08 = 100.

Rajouter le pourcentage est l'erreur classique : 60 + 20 % de 60 donne 72, qui n'est pas 75. Les 20 % étaient une part du prix de départ, pas du prix réduit, donc le seul chemin de retour consiste à défaire la multiplication dont on sait maintenant qu'elle a été appliquée. Si l'aller est × 0.8, le retour est ÷ 0.8.

Les cas du quotidien

Une remise de 15 % sur 43. 10 % font 4.30, la moitié de cela fait 2.15, donc environ 6.45 de moins.
Un tiers de moins sur 27. Un tiers vaut 9, donc 18. Les remises de forme fractionnaire vont plus vite en fractions.
20 % de remise, puis 10 %. × 0.8 × 0.9 = × 0.72, donc 28 % de remise — et non 30 %.
« Jusqu'à −70 % ». Multipliez par 0.3 pour voir le meilleur cas d'un seul geste.

Les fractions à reconnaître à vue

Les reconnaître supprime le calcul entièrement.

Pourcentage	Fraction	En pratique
50 %	1/2	prendre la moitié
25 %	1/4	la moitié, deux fois
75 %	3/4	la moitié deux fois, en prendre trois
33.3 %	1/3	diviser par 3
20 %	1/5	diviser par 5
12.5 %	1/8	la moitié, trois fois

Plus de détails sur leur origine dans le guide des fractions, et le reste des raccourcis mentaux se trouve dans les astuces de calcul mental (en anglais).

Tout ce qui est sur cette page est un pourcentage appliqué une fois. Appliqué de façon répétée, il devient intérêt, amortissement et inflation — croissance composée, taux effectifs, remboursements d'emprunt et rentes sont traités dans décimaux, pourcentages et intérêts (en anglais).

Les erreurs à nommer

Diviser par la nouvelle valeur dans une variation. La référence est la valeur de départ, toujours.
Rajouter la remise pour l'annuler. Divisez par le coefficient à la place.
Additionner des pourcentages successifs. Multipliez les coefficients : 20 % puis 10 % font 28 %, pas 30 %.
Confondre pourcentage et point de pourcentage. Un taux qui passe de 4 % à 5 % monte d'un point de pourcentage — et de 25 %.

S'entraîner dans le jeu

Math Challenge propose un thème Pourcentages qui travaille le geste central — un pourcentage d'un nombre — en commençant par 10 %, 25 % et 50 % de nombres accommodants, puis en s'élargissant aux valeurs moins mémorisées à mesure que vous réussissez. C'est la brique dont tout le reste de cette page est fait, et c'est celle qui mérite de devenir automatique.

L'inversion du pourcentage fait aussi partie des 36 leçons illustrées « Tours de magie », qui enseignent d'abord le raisonnement puis vous font pratiquer dessus. Celle-là appartient à l'ensemble Pro plutôt qu'aux tours gratuits du départ — le thème Pourcentages ci-dessus, lui, ne demande aucun achat.

À vous de jouer

Trois à essayer — touchez ce que vous trouvez.

25 % de 80

15 % de 200

Une chemise à $40 baisse de 10 %. Nouveau prix ?

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