百分率

パーセントは「100 に対していくつ」という意味です。35% は 100 のうちの 35 — つまり分母をあらかじめ決めておいた分数で、それこそがパーセントが世に広まった理由です。分母のちがう二つの分数は比べにくい。二つのパーセントなら、比べにくいことは一度もありません。

そして、それが暗算の鍵でもあります。あなたはパーセントを計算しているのではなく、すでに知っているいくつかから組み立てているのです。

すべてを 10% から組み立てる

10% は、小数点を1つ左に動かした数です。ほかのパーセントはどれも、そこから作った部品の短い足し算です。

300 の 17% → 10% は 30、5% は 15、1% は 3 なので、30 + 15 + 3 × 2 = 51。

パーセントの入れかえ

y の x% は、いつでも x の y% と同じ — そして、たいてい片方がずっと楽です。

25 の 4% は面倒だが、4 の 25% は 1。 50 の 18% → 18 の 50% = 9。 50 の 12% → 12 の 50% = 6。

増減率

変化した量をもとの量で割り、100 をかけます。

$40\to 50$40 → 50：変化は 10、もとは 40 なので、10 ÷ 40 = 0.25 → 25% の増加。

$50\to 40$50 → 40：変化は 10、もとは 50 なので、10 ÷ 50 = 0.2 → 20% の減少。

パーセントは積み重ならない

100 が 10% 上がって 110。そこから 10% 下がると 99 で、100 ではありません。

下がった 10% は 110 の 10% で、100 の 10% より大きいからです。50% 失った損を取り戻すのに 100% の利益が要るのも、同じ非対称のせいです。

値上げと割引を一手で

部分を出してから足したり引いたりせず、かける数で最終の金額まで一気に行きます。

割引前の値段を戻す

やっかいなほうで、練習しておく値打ちがあるほうです。変化したあとの値段がわかっていて、その前の値段を知りたい場面です。

20% 引きでコートが 60。60 はもとの 80% なので、もとは 60 ÷ 0.8 = 75。

8% の税込みで会計が 108。108 は税抜き額の 108% なので、108 ÷ 1.08 = 100。

日常でよく出てくるもの

• 43 の 15%。10% が 4.30、その半分が 2.15 なので、およそ 6.45。
• 27 の 3分の1 引き。3分の1 は 9 なので 18。分数の形をした割引は、分数のまま出すほうが速い。
• 20% 引きのあと、さらに 10% 引き。× 0.8 × 0.9 = × 0.72 なので 28% 引き — 30% ではありません。
• 「最大 70% OFF」。0.3 をかければ、いちばん良い場合が一手で見えます。

見ただけで言えるようにしておきたい分数

これを覚えておくと、計算そのものがなくなります。

これがどこから来るのかは分数のガイドに、残りの暗算のコツは暗算のコツ（英語）にあります。

このページで扱ったのは、パーセントを一度だけ働かせる場面です。繰り返し働かせると、利息や減価や物価上昇になります。複利、実効利率、ローンの返済、年金の計算は小数・百分率・利息で扱っています。

名前をつけておく値打ちのある間違い

• 増減率を、あとの数で割ってしまう。基準はいつでも、もとの数です。
• 割引を戻すのに、割引分を足してしまう。足すのではなく、かける数で割ります。
• 続けて起きたパーセントを足してしまう。かける数どうしをかけます。20% 引きのあと 10% 引きは 28% 引きで、30% ではありません。
• パーセントとパーセントポイントを混同する。4% から 5% への変化は、1 パーセントポイントの上昇であり、同時に 25% の上昇です。

ゲームで練習する

Math Challenge には百分率のトピックがあり、いちばん核になる動き — ある数の何パーセント — を出題します。仲のよい数の 10%、25%、50% から始まり、正解するほど、あまり覚えていないパーセントへ広がります。このページのすべてがそこから組み立てられている部品で、自動化しておく値打ちがあるのはこの部品です。

パーセントの入れかえは、図つきの「マジックトリック」36本のうちの1本でもあります。まず理由を教え、それからその技での練習に入ります。こちらは無料の入門トリックではなく Pro のセットですが、上の百分率トピックは購入なしで遊べます。

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