百分率

更新 2026年10月13日

パーセントは「100 に対していくつ」という意味です。35% は 100 のうちの 35 — つまり分母をあらかじめ決めておいた分数で、それこそがパーセントが世に広まった理由です。分母のちがう二つの分数は比べにくい。二つのパーセントなら、比べにくいことは一度もありません。

そして、それが暗算の鍵でもあります。あなたはパーセントを計算しているのではなく、すでに知っているいくつかから組み立てているのです。

すべてを 10% から組み立てる

10% は、小数点を1つ左に動かした数です。ほかのパーセントはどれも、そこから作った部品の短い足し算です。

300 の 17% $\to 10$→ 10% は 30、5% は 15、1% は 3 なので、30 + 15 + 3 × 2 = 51。

パーセントの入れかえ

パーセントの入れかえとは、y の x% は必ず x の y% に等しいということなので、数を入れかえて楽なほうを計算します。25 の16%なら、16 の25%に入れかえます。これは16の4分の1なので、25の16% = 4 です。これがうまくいくのは、どちらも同じかけ算を意味するからです。25の16%は 16 × 25 ÷ 100、16の25%は 25 × 16 ÷ 100 で、どちらも 400 ÷ 100 = 4 になります。入れかえが役立つのは、片方が25%や50%のような扱いやすいパーセントになるときだけです。それが手順を変える場合で、17の13%なら、入れかえると13の17%になり、楽になりません。だから直接 13 × 17 ÷ 100 として計算します。入れかえを確かめるには、もとの側を見積もります。16%は15%より少し大きく、25の15%は3と4のあいだなので、答えが4というのは正しい大きさです。

25 の 4% は面倒だが、4 の 25% は 1。 50 の 18% $\to 18$→ 18 の 50% = 9。 50 の 12% $\to 12$→ 12 の 50% = 6。

増減率

増減率は、変化した量をもとの量で割り、100をかけたものです。値段が80から100に上がると、変化量は20、もとの量は80なので、増減率は 20 ÷ 80 × 100 = 25% です。もとの量が基準になるのは、変化がスタート地点にもとづいて測られるからです。だから同じ差でも逆向きだと答えが変わります。100から80への下落は 20 ÷ 100 × 100 = 20% で、今度は変化が100を基準に測られるからです。下落のときは、もとの量から新しい量を引いて変化を求め、これまでどおりもとの量で割って、結果を減少と呼びます。よくある間違いは新しい量で割ってしまうことで、これは上昇を実際より小さく見せてしまいます。確かめるには、もとの量にそのパーセントを当てはめます。80の25% = 20、80 + 20 = 100。

$40\to 50$40 → 50：変化は 10、もとは 40 なので、$10÷40=0.25\to 25$10 ÷ 40 = 0.25 → 25% の増加。

$50\to 40$50 → 40：変化は 10、もとは 50 なので、$10÷50=0.2\to 20$10 ÷ 50 = 0.2 → 20% の減少。

パーセントは積み重ならない

100 が 10% 上がって 110。そこから 10% 下がると 99 で、100 ではありません。

下がった 10% は 110 の 10% で、100 の 10% より大きいからです。50% 失った損を取り戻すのに 100% の利益が要るのも、同じ非対称のせいです。

値上げと割引を一手で

ある量を一手でパーセント分だけ増減させるには、最終的に残る割合を100分のいくつとして書き、それをかけます。20%の上昇は、もとの 100% + 20% = 120% が残るので、40 を20%増やすと $40\times \frac{120}{100}=48$40 × 120/100 = 48 になります。25%の割引は 100% − 25% = 75% が残るので、80 の値段から25%引くと $80\times \frac{75}{100}=60$80 × 75/100 = 60 になります。これがうまくいくのは、もとの量が100%であり、かける前に変化を足すか引くかしておけば、変化そのものを別に求める必要がないからです。変化が続けて二回あるときは、二つのかける数をかけ合わせ、パーセントを足してはいけません。20%上昇したあとに20%下落すると $\frac{120}{100}\times \frac{80}{100}=\frac{96}{100}$120/100 × 80/100 = 96/100 になり、全体では4%の損で、ゼロではありません。一手で出した答えを確かめるには、変化を一度だけ別に求めます。40 の20%は8で、40 + 8 = 48。

割引前の値段を戻す

百分率の変化のあとにもとの量を求めるには、新しい量を、その変化が使ったかける数で割ります。20%値上がりしたあと、チケットは84になりました。新しい値段はもとの120%なので、もとの値段は $84÷\frac{120}{100}=70$84 ÷ 120/100 = 70 です。これがうまくいくのは、値上がりがもとの量に $\frac{120}{100}$120/100 をかけたからで、同じ数で割れば元に戻ります。よくある間違いは新しい量にパーセントをかけてしまうことです。20%はもとの量の割合であって84の割合ではないので、84の20%を引いても70にはなりません。値下がりも同じように、より小さいかける数で働きます。20%引きのあとなら 0.8 で割ります。セール価格はもとの量の80%だからです。すでに税込みの値段は、実は姿を変えた値上がりなので、そのかける数は100%に税率を足したものになります。確かめるには、答えに変化を当てはめます。70の20%は14で、70 + 14 = 84。

20% 引きでコートが 60。60 はもとの 80% なので、もとは 60 ÷ 0.8 = 75。

8% の税込みで会計が 108。108 は税抜き額の 108% なので、108 ÷ 1.08 = 100。

チップや割引はどうやって計算しますか？

チップや割引を計算するには、10%、つまりその量を10で割ったものから始め、そこから必要なパーセントを組み立てます。60の会計に15%のチップなら、10%は6、その半分は3、6 + 3 = 9 なのでチップは9です。割引も同じ部品を使ってから引きます。60から20%引くなら 2 × 6 = 12引くので、支払いは 60 − 12 = 48 です。これがうまくいくのは、10%が求めやすく、日常のたいていのパーセントが10と5の組み合わせでできているからです。割引が二回続くときは足し算になりません。20%引いたあと、さらに10%引くと、その低くなった値段から引かれるので、支払いはもとの 80% の 90%、つまり72%になり、合計の割引は30%ではなく28%です。割引を確かめるには、支払った額に割引額を足し戻します。48 + 12 = 60。

• 43 の 15%。10% が 4.30、その半分が 2.15 なので、およそ 6.45。
• 27 の 3分の1 引き。3分の1 は 9 なので 18。分数の形をした割引は、分数のまま出すほうが速い。
• 20% 引きのあと、さらに 10% 引き。× 0.8 × 0.9 = × 0.72 なので 28% 引き — 30% ではありません。
• 「最大 70% OFF」。0.3 をかければ、いちばん良い場合が一手で見えます。

見ただけで言えるようにしておきたい分数

パーセントとして知っておく値打ちのある分数は、$\frac{1}{2}=50$1/2 = 50%、$\frac{1}{4}=25$1/4 = 25%、$\frac{3}{4}=75$3/4 = 75%、$\frac{1}{5}=20$1/5 = 20%、$\frac{1}{10}=10$1/10 = 10%、$\frac{1}{8}=12.5$1/8 = 12.5%、$\frac{1}{3}=33.3$1/3 = 33.3%、$\frac{2}{3}=66.7$2/3 = 66.7% です。それぞれのパーセントは、分数を100分のいくつで書いたものです。$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}$1/4 = 25/100 で、100のうち25は25%です。これらを知っていれば、パーセントの問いを分数の問いに変えられ、扱いやすい数の分数はすぐに計算できます。40の75%は40の$\frac{3}{4}$3/4で、40 ÷ 4 × 3 = 30 です。ほかのパーセントもここから組み立てられます。$\frac{3}{5}$3/5 は20%の3つ分なので60%になります。3分の1のパーセントは終わらない小数になるので、3分の2の66.7%は丸めた数です。60の$\frac{2}{3}$2/3はちょうど40ですが、丸めたパーセントで計算すると60より少し多くなります。3分の1がからむときは分数を使いましょう。どれも確かめるには、パーセントに分母の数をかけます。25% × 4 = 100%、つまり1つ分です。

これがどこから来るのかは分数のガイドに、残りの暗算のコツは暗算のコツ（英語）にあります。

このページで扱ったのは、パーセントを一度だけ働かせる場面です。繰り返し働かせると、利息や減価や物価上昇になります。複利、実効利率、ローンの返済、年金の計算は小数・百分率・利息で扱っています。

名前をつけておく値打ちのある間違い

• 増減率を、あとの数で割ってしまう。基準はいつでも、もとの数です。
• 割引を戻すのに、割引分を足してしまう。足すのではなく、かける数で割ります。

• 続けて起きたパーセントを足してしまう。かける数どうしをかけます。20% 引きのあと 10% 引きは 28% 引きで、30% ではありません。
• パーセントとパーセントポイントを混同する。4% から 5% への変化は、1 パーセントポイントの上昇であり、同時に 25% の上昇です。