दशमलव

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

दशमलव कोई नई तरह की संख्या नहीं है। यह भेस बदली हुई भिन्न है — ऐसी भिन्न जिसका हर दस, सौ या हज़ार है। 0.7 यानी $\frac{7}{10}$7/10. 0.35 यानी $\frac{35}{100}$35/100. बिंदु बस वह निशान है जहाँ पूर्ण संख्याएँ ख़त्म होती हैं और दशांश शुरू होते हैं।

स्थानों का मतलब

हर दशमलव स्थान अपने बाईं ओर वाले स्थान का दसवाँ हिस्सा होता है, तो बिंदु के बाद के स्थान दशांश, शतांश और सहस्रांश हैं। 3.47 में, 3 का मतलब है 3 इकाई, 4 का मतलब है 4 दशांश, और 7 का मतलब है 7 शतांश। यह पूर्ण संख्याओं का पैटर्न आगे बढ़ाता है: एक दहाई दस इकाई होती है, और एक इकाई दस दशांश होती है, तो दाईं ओर हर क़दम पर 10 से भाग होता है। बिंदु सिर्फ़ यह बताता है कि इकाई कहाँ ख़त्म होती है; वह ख़ुद कोई स्तंभ नहीं है। एक आम चूक है स्थानों को पूर्ण संख्याओं के नामों की तरह पढ़ना। बिंदु के बाद पहला स्थान दशांश है, दहाई नहीं, और कोई स्थान "इकाईवाँ" नहीं कहलाता, क्योंकि इकाई का स्तंभ बिंदु के बाईं ओर बैठता है। शून्य भी यहाँ स्थान खुला रखते हैं: दशांश में 0 शतांश में 7 को बनाए रखता है, तो उसकी क़ीमत $\frac{7}{100}$7/100 है, $\frac{7}{10}$7/10 नहीं। जाँचने के लिए, बिंदु के बिना अंकों को पढ़िए और आख़िरी स्थान का नाम लीजिए: 347 शतांश।

$3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}=\frac{347}{100}$3 + 4/10 + 7/100 = 347/100.

तुलना: ज़्यादा अंक यानी बड़ा — ऐसा नहीं है

ज़्यादा अंक किसी दशमलव को बड़ा नहीं बनाते, क्योंकि हर अंक की क़ीमत उसके स्थान से आती है, इस बात से नहीं कि उसके बाद कितने अंक हैं। 0.9 और 0.35 की तुलना करने के लिए, आख़िर में शून्य लिखकर दोनों को बराबर स्थान दीजिए, क्योंकि 0.9 = 0.90। अब दोनों शतांश गिनते हैं, और 90 शतांश, 35 शतांश से ज़्यादा हैं, तो नौ दशांश बड़ी संख्या है, भले ही 0.35 में ज़्यादा अंक हों। यह इसलिए चलता है क्योंकि बिंदु के बाद पहला स्थान दशांश है, और शतांश पढ़े जाने से पहले ही 9 दशांश, 3 दशांश को हरा देता है। तो पहले पूर्ण संख्या वाले भाग की तुलना कीजिए, फिर दशांश की, फिर शतांश की। जब दशांश बराबर हों, तो शतांश फ़ैसला करते हैं, और छोटी संख्या में शून्य तब तक जोड़े जाते हैं जब तक लंबाई बराबर न हो जाए। आख़िर में लगा शून्य कुछ नहीं जोड़ता, तो वह क़ीमत को कभी नहीं बदलता। जाँचने के लिए, दोनों को 0 से 1 तक की संख्या-रेखा पर रखिए: नौ दशांश 1 के ज़्यादा नज़दीक बैठता है।

1. पहले पूर्ण भाग की तुलना कीजिए।
2. पूर्ण भाग बराबर हों? तो दशांश, फिर शतांश — स्थान-दर-स्थान तुलना कीजिए।
3. लंबाई बेमेल हो? बराबर होने तक शून्य जोड़ दीजिए।

6 दशांश बनाम 58 शतांश $\to$→ शून्य जोड़िए $\to 60$→ 60 शतांश बनाम 58 शतांश $\to 6$→ 6 दशांश जीता.

जोड़ना-घटाना: बिंदु एक सीध में

1. संख्याओं को इस तरह लिखिए कि उनके दशमलव बिंदु एक खड़ी रेखा में हों (छोटी संख्याओं में शून्य जोड़ लीजिए)।
2. स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़िए या घटाइए, बिल्कुल पूर्ण संख्याओं की तरह — हासिल और उधार बिना बदले, बिंदु के आर-पार वैसे ही चलते हैं।
3. उत्तर में बिंदु उसी खड़ी रेखा में उतार दीजिए।

$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. $5.2-1.84\to 5.20-1.84=3.36$5.2 − 1.84 → 5.20 − 1.84 = 3.36 (उधार बिना किसी तामझाम के बिंदु पार कर जाता है)।

दशमलव गुणा कैसे करें?

दशमलव गुणा करने के लिए, संख्याओं को ऐसे गुणा कीजिए जैसे बिंदु हों ही नहीं, फिर दोनों संख्याओं के दशमलव स्थान गिनकर उत्तर को उतने ही स्थान दीजिए। 0.4 × 0.3 के लिए, 4 × 3 = 12 निकालिए। हर संख्या का एक दशमलव स्थान है, कुल दो, तो उत्तर के दो स्थान हैं: 0.12। यह इसलिए चलता है क्योंकि संख्याएँ 4 दशांश और 3 दशांश हैं, और दशांश गुणा दशांश शतांश बनाता है, तो उत्तर 12 शतांश है। यही कारण है कि उत्तर दोनों संख्याओं से छोटा है: किसी भाग का भाग लेने से दोनों में से किसी से भी कम बचता है। जब गुणनफल में स्थानों से कम अंक हों, तो एक क़दम और चाहिए। 5 शतांश गुणा 3 दशांश के लिए, 5 × 3 = 15 को तीन स्थान चाहिए, तो 15 के आगे एक शून्य लगाकर उसे 15 सहस्रांश बनाया जाता है। जाँचने के लिए अंदाज़ा लगाइए: 3 दशांश का 4 दशांश, 3 दशांश से कम ही होना चाहिए।

1. बिंदुओं को अनदेखा कर पूर्ण संख्याओं का गुणा कीजिए।
2. दोनों गुणनखंडों के दशमलव स्थान गिनकर जोड़ लीजिए।
3. दाईं ओर से उतने स्थान अंदर बिंदु रख दीजिए।

6 × 5 दशांश $\to 6\times 5=30\to$→ 6 × 5 = 30 → एक स्थान $\to 30$→ 30 दशांश, यानी 3.

$2.5\times 0.3\to 25\times 3=75\to$2.5 × 0.3 → 25 × 3 = 75 → दो स्थान $\to 0.75$→ 0.75.

दशमलव भाग कैसे करें?

पूर्ण संख्या से दशमलव को भाग देने के लिए, लघु भाग कीजिए और उत्तर का बिंदु उस संख्या के बिंदु के ठीक ऊपर रखिए जिसे आप बाँट रहे हैं: 7.5 ÷ 3 = 2.5। दशमलव से भाग देने के लिए, दोनों संख्याओं को 10 या 100 से गुणा कीजिए जब तक जिस संख्या से आप भाग दे रहे हैं वह पूर्ण संख्या न बन जाए। 12 ÷ 0.4 के लिए, दोनों संख्याओं को 10 से गुणा करने पर 120 ÷ 4 = 30 मिलता है। दोनों को एक ही मात्रा से बड़ा करना उत्तर को बनाए रखता है, क्योंकि सवाल यह है कि एक दूसरे में कितनी बार समाता है, और 4, 120 में उतनी ही बार समाता है जितनी बार 4 दशांश, 12 में समाता है। जब कोई भाग ठीक-ठीक नहीं बँटता, तो आख़िरी अंक के बाद शून्य लिखिए और भाग देते रहिए, क्योंकि 3 इकाई भी 30 दशांश हैं। 1 से छोटी संख्या से भाग देने पर उत्तर बड़ा हो जाता है, तो 30, 12 से ज़्यादा है। जाँचने के लिए, पीछे गुणा कीजिए: 30 × 4 = 120 दशांश, यानी 12।

दशमलव में पूर्ण संख्या का भाग: बिंदु सीधा ऊपर चढ़ता है

हमेशा की तरह लघु भाग कीजिए।

7 इकाई $÷3\to 2$÷ 3 → 2, शेष $1\to$1 → वह 1, 10 दशांश बनकर हासिल में जाता है. (हासिल से 15 दशांश बनते हैं; 15 ÷ 3 = 5 दशांश।)

दशमलव से भाग: भाजक पूर्ण होने तक दोनों को बढ़ाइए

1. दोनों संख्याओं को 10 से (बार-बार) गुणा कीजिए, जब तक भाजक पूर्ण संख्या न बन जाए।
2. फिर सामान्य ढंग से भाग दीजिए।

दोनों $\times 10\to 120÷4\to$× 10 → 120 ÷ 4 → 30.

दशमलव का पूर्णांकन

दशमलव को पूर्णांकित करने के लिए, जिस स्थान को आप रखना चाहते हैं उसके ठीक बाद वाला एक अंक देखिए: अगर वह 5 या ज़्यादा है, तो रखे गए अंक को ऊपर पूर्णांकित कीजिए; अगर वह 4 या कम है, तो उसे जस का तस छोड़ दीजिए, और रखे गए स्थान के बाद के हर अंक को हटा दीजिए। 4.56 को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने के लिए, दशांश रखिए, शतांश का अंक देखिए, 6, और ऊपर पूर्णांकित करके 4.6 बनाइए। यह इसलिए चलता है क्योंकि 6 शतांश, एक दशांश के आधे बिंदु — यानी 5 शतांश — से आगे है, तो संख्या ऊपर वाले दशांश के ज़्यादा नज़दीक है। जब 9 ऊपर पूर्णांकित हो तो सावधान रहिए, क्योंकि वह इकाई में हासिल भेजता है: 2 और 97 शतांश को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 3 बनता है, दशांश में एक 0 के साथ लिखा हुआ ताकि वह अब भी एक स्थान दिखाए। जाँचने के लिए, सुनिश्चित कीजिए कि उत्तर में ठीक उतने ही स्थान हों जितने माँगे गए थे और वह शुरुआती मान से आधे क़दम के भीतर हो।

अगला अंक $6\to$6 → आधे से आगे $\to$→ ऊपर पूर्णांकित. $4.32\to$4.32 → अगला अंक $2\to 4.3$2 → 4.3.

इस पर — और हिसाब लगाने से पहले पूर्णांकन से उत्तर का अंदाज़ा लगाने पर — पूरी गाइड आकलन और पूर्णांकन (अंग्रेज़ी में) है।

मशहूर मान, ज़बानी

यही मुट्ठी भर मान रोज़मर्रा के ज़्यादातर हिसाब खोल देते हैं — अकेला 10% कितनी दूर ले जाता है, यह प्रतिशत की गाइड में है। (और 0.333… का आवर्ती होना कोई इत्तिफ़ाक़ नहीं: किसी भिन्न का दशमलव रुकता है या हमेशा दोहराता है, यह उसका हर तय करता है — यह कहानी ऐप का हर भिन्न क्यों रुकती या दोहराती है पाठ ठीक से सुनाता है।)

तीन ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• लंबा यानी बड़ा। 0.35 < 0.9। बाईं ओर से स्थान-दर-स्थान तुलना कीजिए।
• जोड़ने के लिए सिरे मिलाना। सीध में बिंदु आते हैं; सिरे जितने चाहें बेमेल रहें।
• × से बढ़ने और ÷ से घटने की उम्मीद। 1 से नीचे दोनों काम बदल लेते हैं — 0.4 × 0.3 = 0.12, पर 12 ÷ 0.4 = 30।

दशमलव आगे पैसों और वृद्धि तक जाते हैं। प्रतिशत परिवर्तन, उलटा प्रतिशत, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज, महँगाई और क़र्ज़ की किस्तें — सब वही स्थानीय मान समय पर लागू किया हुआ है, और ये सब दशमलव, प्रतिशत और ब्याज (अंग्रेज़ी में) में हैं।