Les décimaux

Mis à jour 13 octobre 2026

Un décimal n'est pas une nouvelle sorte de nombre. C'est une fraction déguisée — une fraction dont le nombre du bas est dix, ou cent, ou mille. 0.7, c'est $\frac{7}{10}$7/10. 0.35, c'est $\frac{35}{100}$35/100. Le point n'est que la borne où finissent les entiers et où commencent les dixièmes.

Ce que signifient les positions

Chaque position décimale vaut un dixième de la position à sa gauche, donc les positions après le point sont les dixièmes, les centièmes et les millièmes. Dans 3.47, le 3 signifie 3 unités, le 4 signifie 4 dixièmes et le 7 signifie 7 centièmes. Cela continue le schéma des nombres entiers : une dizaine vaut dix unités, et une unité vaut dix dixièmes, donc chaque pas vers la droite divise par 10. Le point marque seulement où les unités s'arrêtent ; ce n'est pas une colonne à lui tout seul. Une erreur courante est de lire les positions comme des noms de nombres entiers. La première position après le point est les dixièmes, pas les dizaines, et il n'existe pas de position appelée « unièmes », car la colonne des unités se trouve à gauche du point. Les zéros gardent aussi les positions ouvertes ici : un 0 à la position des dixièmes garde un 7 aux centièmes, donc il vaut $\frac{7}{100}$7/100, pas $\frac{7}{10}$7/10. Pour vérifier, lisez les chiffres sans le point et nommez la dernière position : 347 centièmes.

$3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}=\frac{347}{100}$3 + 4/10 + 7/100 = 347/100.

Comparer : plus de chiffres ne veut pas dire plus grand

Plus de chiffres ne rend pas un décimal plus grand, parce que la valeur de chaque chiffre vient de sa position, pas du nombre de chiffres qui suivent. Pour comparer 0.9 et 0.35, donnez-leur le même nombre de positions en écrivant un zéro à la fin, puisque 0.9 = 0.90. Maintenant les deux comptent des centièmes, et 90 centièmes, c'est plus que 35 centièmes, donc neuf dixièmes est le plus grand nombre même si 0.35 a plus de chiffres. Cela fonctionne parce que la première position après le point est les dixièmes, et 9 dixièmes bat 3 dixièmes avant même de lire les centièmes. Comparez donc d'abord les parties entières, puis les dixièmes, puis les centièmes. Quand les dixièmes sont à égalité, les centièmes décident, et le nombre le plus court est complété avec des zéros jusqu'à ce que les longueurs correspondent. Un zéro à la fin n'ajoute rien, donc il ne change jamais la valeur. Pour vérifier, placez les deux sur une droite numérique de 0 à 1 : neuf dixièmes est plus proche de 1.

1. Comparez d'abord les parties entières.
2. Parties entières égales ? Comparez les dixièmes, puis les centièmes, position par position.
3. Longueurs inégales ? Complétez avec des zéros jusqu'à égalité.

6 dixièmes contre 58 centièmes $\to$→ complète $\to 60$→ 60 centièmes contre 58 centièmes $\to$→ les 6 dixièmes gagnent.

Additionner et soustraire : alignez le point

1. Écrivez les nombres avec leurs points décimaux sur une même verticale (complétez les plus courts avec des zéros).
2. Additionnez ou soustrayez colonne par colonne, exactement comme avec des entiers — retenue et emprunt fonctionnent tels quels, en traversant le point.
3. Laissez tomber le point dans la réponse, sur la même verticale.

$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. $5.2-1.84\to 5.20-1.84=3.36$5.2 − 1.84 → 5.20 − 1.84 = 3.36 (l'emprunt traverse le point sans cérémonie).

Comment multiplie-t-on les décimaux ?

Pour multiplier des décimaux, multipliez les nombres comme si les points n'existaient pas, puis comptez les décimales des deux nombres et donnez à la réponse ce même nombre de positions. Pour 0.4 × 0.3, calculez 4 × 3 = 12. Chaque nombre a une décimale, deux au total, donc la réponse a deux positions : 0.12. Cela fonctionne parce que les nombres sont 4 dixièmes et 3 dixièmes, et dixièmes fois dixièmes donne des centièmes, donc la réponse est 12 centièmes. C'est aussi pourquoi la réponse est plus petite que les deux nombres : prendre une partie d'une partie laisse moins que chacune d'elles. Un produit avec moins de chiffres que de positions a besoin d'une étape de plus. Pour 5 centièmes fois 3 dixièmes, 5 × 3 = 15 a besoin de trois positions, donc un zéro se place devant le 15 pour faire 15 millièmes. Pour vérifier, estimez : 4 dixièmes de 3 dixièmes doit être moins que 3 dixièmes.

1. Ignorez les points ; multipliez les nombres entiers.
2. Comptez les décimales des deux facteurs, additionnées.
3. Placez le point à autant de positions depuis la droite.

6 × 5 dixièmes $\to 6\times 5=30\to$→ 6 × 5 = 30 → une position $\to 30$→ 30 dixièmes, soit 3.

$2.5\times 0.3\to 25\times 3=75\to$2.5 × 0.3 → 25 × 3 = 75 → deux décimales $\to 0.75$→ 0.75.

Comment divise-t-on les décimaux ?

Pour diviser un décimal par un nombre entier, faites la division posée et placez le point de la réponse juste au-dessus du point du nombre que vous divisez : 7.5 ÷ 3 = 2.5. Pour diviser par un décimal, multipliez les deux nombres par 10 ou par 100 jusqu'à ce que le nombre par lequel vous divisez soit entier. Pour 12 ÷ 0.4, multiplier les deux nombres par 10 donne 120 ÷ 4 = 30. Mettre les deux à l'échelle par le même facteur conserve la réponse, parce que la question est combien de fois l'un tient dans l'autre, et 4 tient dans 120 aussi souvent que 4 dixièmes tiennent dans 12. Quand une division ne tombe pas juste, écrivez un zéro après le dernier chiffre et continuez à diviser, puisque 3 unités sont aussi 30 dixièmes. Diviser par un nombre inférieur à 1 rend la réponse plus grande, donc 30 est plus grand que 12. Pour vérifier, multipliez en sens inverse : 30 × 4 = 120 dixièmes, soit 12.

Un décimal divisé par un entier : le point monte tout droit

Faites la division posée comme d'habitude.

7 unités $÷3\to 2$÷ 3 → 2 reste $1\to$1 → le 1 se reporte en 10 dixièmes. (Le report fait 15 dixièmes ; 15 ÷ 3 = 5 dixièmes.)

Diviser PAR un décimal : agrandissez les deux jusqu'à un diviseur entier

1. Multipliez LES DEUX nombres par 10 (autant de fois qu'il faut) jusqu'à ce que le diviseur soit entier.
2. Divisez normalement.

les deux $\times 10\to 120÷4\to$× 10 → 120 ÷ 4 → 30.

Arrondir les décimaux

Pour arrondir un décimal, regardez le chiffre juste après la position que vous gardez : s'il vaut 5 ou plus, montez le chiffre gardé ; s'il vaut 4 ou moins, laissez-le tel quel, et supprimez tout chiffre après cette position. Pour arrondir 4.56 à une décimale, gardez les dixièmes, regardez le chiffre des centièmes, 6, et montez à 4.6. Cela fonctionne parce que 6 centièmes dépasse la moitié d'un dixième, qui est 5 centièmes, donc le nombre est plus proche du dixième supérieur. Faites attention quand un 9 monte, parce qu'il se reporte sur les unités : 2 et 97 centièmes arrondi à une décimale devient 3, écrit avec un 0 aux dixièmes pour continuer à montrer une décimale. Pour vérifier, assurez-vous que la réponse a exactement le nombre de positions demandé et se trouve à moins d'un demi-pas du départ.

le chiffre suivant est $6\to$6 → dépasse la moitié $\to$→ on monte. $4.32\to$4.32 → chiffre suivant $2\to 4.3$2 → 4.3.

Il existe un guide complet là-dessus — et sur l'usage de l'arrondi pour estimer les réponses avant de les calculer — dans Estimation et arrondis.

Les célèbres, par cœur

Ces quelques-uns débloquent l'essentiel de l'arithmétique quotidienne — voyez le guide des pourcentages pour mesurer jusqu'où 10% peut porter à lui seul. (Et 0.333… périodique n'est pas un accident : qu'une fraction s'arrête ou se répète pour toujours en décimal, c'est son dénominateur qui en décide — une histoire que la leçon Pourquoi toute fraction s'arrête ou se répète raconte comme il faut.)

Les trois erreurs qui méritent un nom

• Plus long veut dire plus grand. 0.35 < 0.9. Comparez position par position depuis la gauche.
• Aligner les extrémités pour additionner. Ce sont les points qui s'alignent ; les extrémités peuvent être aussi inégales qu'elles veulent.
• Attendre que × agrandisse et que ÷ rétrécisse. Sous 1, ils échangent leurs métiers — 0.4 × 0.3 = 0.12, mais 12 ÷ 0.4 = 30.

Les décimaux se prolongent aussi dans l'argent et la croissance. Variation en pourcentage, pourcentages inverses, intérêts simples et composés, inflation et remboursements d'emprunt sont la même valeur de position appliquée dans le temps, et ils sont couverts dans décimaux, pourcentages et intérêts.