小数

更新 2026年10月13日

小数不是一种新的数。它是乔装打扮的分数 —— 下面那个数是十、一百或者一千的分数。0.7 就是 $\frac{7}{10}$7/10。 0.35 就是 $\frac{35}{100}$35/100。小数点只是一个记号，标出整数在哪里结束、十分之一从哪里开始。

每一位是什么意思

小数每一位的值都是左边那一位的十分之一，所以小数点后依次是十分位、百分位和千分位。以 3.47 为例，3 表示 3 个一，4 表示 4 个十分之一，7 表示 7 个百分之一。这延续了整数的规律：一个十等于十个一，一个一等于十个十分之一，所以每往右移一位就要除以 10。小数点只是标出个位在哪里结束，它本身不是一位。一个常见的错误是把这些位当成整数的名字来读：点后第一位是十分位，不是十位，也没有所谓的"一分位"，因为个位在点的左边。零在这里也占着位置：十分位是 0，会让百分位的 7 保留下来，所以它的值是 $\frac{7}{100}$7/100，不是 $\frac{7}{10}$7/10。要检验，把点去掉只读数字，再说出最后一位的名字：347，也就是 100 个百分之一。

3 + 4 个十分之一 + 7 个百分之一 = 347 个百分之一。

比大小：位数多不等于数大

位数多并不会让小数变大，因为每一位的值取决于它所在的位置，而不是后面还有几位数字。要比较 0.9 和 0.35，就在末尾补一个 0，让位数对齐：0.9 = 0.90。这样两个数都以百分位计数，90 大于 35，所以尽管 0.35 的位数更多，十分之九才是更大的数。这样成立，是因为小数点后第一位是十分位，不必看到百分位，9 个十分之一就已经赢过 3 个十分之一。所以要先比较整数部分，再比较十分位，最后比较百分位。十分位相同时由百分位决定，位数较短的数要补 0，直到位数对齐。末尾的 0 什么都没加，所以数值从不改变。要检验，把两个数放到 0 到 1 的数轴上：十分之九更靠近 1。

1. 先比整数部分。
2. 整数部分一样？就比十分位，再比百分位，一位一位来。
3. 长短不齐？补零补到一样长。

10分之6 对 100分之$58\to$58 → 补齐 $\to 100$→ 100分之60 对 100分之$58\to 10$58 → 10分之6 获胜。

加减法：对齐小数点

1. 把几个数写成小数点在同一条竖线上（短的用零补齐）。
2. 一列一列加或减，和整数完全一样 —— 进位和借位照旧，径直跨过小数点。
3. 把小数点落到答案里，还在那条竖线上。

$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95。 $5.2-1.84\to 5.20-1.84=3.36$5.2 − 1.84 → 5.20 − 1.84 = 3.36（借位跨过小数点，不用办任何手续）。

小数怎么相乘？

要相乘两个小数，先当作没有小数点直接相乘，再数一数两个数一共有多少位小数，答案也留同样多位小数。0.4 × 0.3 的话，先算 4 × 3 = 12。两个数各有一位小数，合起来两位，所以答案也是两位：0.12。这样成立，是因为这两个数分别是十分之四和十分之三，十分之一乘十分之一得百分之一，所以答案是百分之十二。答案比两个数都小，也是同样的道理：部分中的部分，总比任何一部分都少。当乘积的数字比该有的位数少时，还需要多一步。百分之五乘十分之三的话，5 × 3 = 15 需要三位小数，所以在 15 前面补一个 0，变成千分之十五。要检验，可以估算一下：十分之四的十分之三倍，应该比十分之三小。

1. 先不管小数点；按整数乘。
2. 数一数两个因数的小数位，加在一起。
3. 从右往左数这么多位，把小数点放进去。

6 × 十分之$5\to 6\times 5=30\to 1$5 → 6 × 5 = 30 → 1位 $\to$→ 十分之30，也就是3。

$2.5\times 0.3\to 25\times 3=75\to$2.5 × 0.3 → 25 × 3 = 75 → 两位 $\to 0.75$→ 0.75。

小数怎么相除？

用整数除一个小数，照常做短除法，把商的小数点放在被除数小数点的正上方：7.5 ÷ 3 = 2.5。除以一个小数时，把两个数都乘 10 或 100，直到除数变成整数。12 ÷ 0.4 的话，两边都乘 10，得到 120 ÷ 4 = 30。两边按同样的倍数放大答案不变，是因为问题问的是"一个数能装进另一个数几次"，120 里能装进 4 的次数，和 12 里能装进十分之四的次数一样多。除不尽时，在最后一位后面补 0 继续除，因为 3 也是十分之30。除以一个小于 1 的数，答案会变大，所以 30 比 12 大。要检验，乘回去：30 × 4 = 十分之120，也就是 12。

小数除以整数：小数点直直往上升

照常做短除法。

7 个一 $÷3\to 2$÷ 3 → 2 余 $1\to$1 → 那个 1 化成 10 个十分之一。（化开后是 15 个十分之一；15 个十分之一 ÷ 3 = 5 个十分之一。）

除以一个小数：一起放大，放大到除数是整数

1. 把两个数一起乘 10（一遍一遍来），乘到除数变成整数。
2. 照常除。

两边都 $\times 10\to 120÷4\to 30$× 10 → 120 ÷ 4 → 30。

小数的四舍五入

要对小数做四舍五入，看要保留的那一位后面紧跟的那一位数字：5 或更大就把保留的那一位进一位，4 或更小就保持不变，然后去掉保留位之后的所有数字。要把 4.56 四舍五入到一位小数，保留十分位，看百分位的数字 6，进位得到 4.6。这样成立，是因为 6 个百分之一已经超过十分之一的一半，也就是 5 个百分之一，所以这个数更靠近较大的那个十分位。9 进位时要小心，因为它会一路进到个位：2 加 97 个百分之一四舍五入到一位小数变成 3，十分位写 0，好让它仍然显示一位小数。要检验，确认答案的位数正好是要求的位数，并且离原数不超过半步。

下一位是$6\to$6 → 超过一半 $\to$→ 进位。 $4.32\to$4.32 → 下一位是$2\to 4.3$2 → 4.3。

这件事 —— 连同用四舍五入在动手算之前先估出答案 —— 有一整页指南：估算与四舍五入。

那几个有名的，背下来

就这几个，能解开日常算术的大半 —— 光一个 10% 能走多远，见百分数指南。（0.333… 循环下去不是偶然：一个分数的小数是除得尽还是永远循环，由它的分母决定 —— 这个故事，应用里的为什么每个分数不是除尽就是循环一课讲得正经。）

三个值得点名的错误

• 越长越大。0.35 < 0.9。从左往右，一位一位比。
• 加法对齐末尾。对齐的是小数点；末尾爱多参差有多参差。
• 指望 × 变大、÷ 变小。小于 1 时，两个换了班 —— 0.4 × 0.3 = 0.12，可 12 ÷ 0.4 = 30。

小数还会一路走进钱和增长。百分数变化、倒推百分数、单利与复利、通货膨胀和还贷款，全是同一套位值随时间铺开，见小数、百分数与利息（英文）。