概率与组合事件

更新 2026年9月25日

概率是学校数学里少有的一个分支：算对了的结果常常和强烈的直觉相矛盾——而且通常是直觉错了。这让它格外值得仔细对待。运算本身很简单，难的始终是把「你问的到底是哪个事件」说准确。

概率到底衡量什么？

概率衡量一件事有多可能发生，用一个从 0（不可能）到 1（必然）的数表示。当每种结果的可能性都相同时，概率就是「事件发生的结果数」除以「结果总数」。一枚均匀的骰子有六个面，其中三个是偶数，所以掷出偶数的概率是 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$3/6 = 1/2。参见概率标尺，它把「不太可能」「机会均等」这类说法放在同一条线上。这个分数之所以成立，是因为每一种可能性相同的结果，占的「必然性」份额都一样。当各种结果不是等可能时，步骤就不一样了，比如图钉落地时针尖朝上——这时概率要通过多次试验来估计，用「成功次数除以尝试次数」表示。一件事不发生的概率是 1 减去它发生的概率，所以没掷出六的概率是 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$1 − 1/6 = 5/6。所有结果的概率加起来必须等于 1：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$1/2 + 1/2 = 1。

要得到一个数字，得先把可能发生的事情列出来。样本空间就是把每一种结果都写出来的训练，也是人们最容易跳过、之后又后悔的一步：两枚骰子的样本空间有 36 种结果，而不是 11 种，因为掷出 3 和 4，跟掷出 4 和 3，是两种不同的结果。

单一事件的概率接着用除法——有利结果除以总结果——但这个除法要成立，有个条件：各种结果必须是等可能的。对立事件把一个问「不发生什么」的问题，换成了问「发生什么」。

从实验而非理论出发的概率

实验概率处理的是无法直接数出来的结果。

大数定律说的是这种估计会收敛：试验次数越多，相对频率就越接近真实概率。

由概率推算期望次数是反过来做：用概率乘以试验次数，预测某件事应该发生多少次。掷 20 次骰子，六大概会出现三四次，而「预测值」和「实际发生的次数」之间的差距，正是后面每一种统计检验要度量的量。

两个事件同时发生，要怎么处理？

要同时处理两个事件，就把它们画出来，让每一种结果都有地方安放。韦恩图用一个方框里两个重叠的圆表示两个事件，把结果分成四个区域：只有 A、只有 B、两者都有、两者都没有。参见给韦恩图的区域命名。假设一个 30 人的班级里，12 人踢足球，10 人打网球，4 人两样都参加。那么只踢足球的有 8 人，只打网球的有 6 人，两样都不参加的有 30 − 8 − 6 − 4 = 12 人。随机抽到一名参加运动的学生的概率是 $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$18/30 = 3/5。这几个区域互不重叠，合起来又覆盖了全班，所以每个学生正好被数一次。把两个总数直接相加，中间那部分就被数了两次，这就是为什么 12 + 10 = 22 会把实际参加运动的 18 人算多了；要把重叠部分减掉一次。把四个区域加回全班人数可以验证这张图：8 + 6 + 4 + 12 = 30。

可能性表格是两阶段实验的表格版本：一个阶段的结果排在上方，另一个排在侧边。两枚骰子就变成一张 6 × 6 的表格，你可以直接数出和为 7 的格子数；由面积求概率把同样的想法延伸到连续型的情形，这时概率变成了面积之比，而不是计数。

互斥事件是可以直接相加的条件：如果两个事件不可能同时发生，那么其中一个或另一个发生的概率就是两者之和。如果它们可能重叠，重叠事件的加法法则就要把重叠部分减掉一次：P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。

独立事件是可以直接相乘的条件：如果一个事件的结果不会影响另一个事件发生的概率，那么两者都发生的概率就是两者的乘积。抛两次硬币是独立的；不放回地抽两张牌则不是。

树状图是怎么运作的？

树状图展示一连串事件：每个阶段画出一组分支，每条分支上标着概率。沿一条路径把概率相乘，就是这一串结果的概率；把回答问题的几条路径加起来，就是答案。一个袋子里有 2 个红色筹码和 3 个蓝色；取一个，放回去，再取一个。两次都取到红色的概率是 $\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$2/5 × 2/5 = 4/25。一红一蓝有两种取法，所以把两条路径加起来：$\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{12}{25}$2/5 × 3/5 + 3/5 × 2/5 = 12/25。参见树状图。乘法之所以成立，是因为第二阶段只发生在第一阶段留下的那一部分情形里。加法之所以成立，是因为不同的路径不可能同时发生。如果取出的筹码不放回去，第二层的分支就会变：取到一个红色之后，剩下的 4 个筹码里只有 1 个红色，所以两次都红变成了 $\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$2/5 × 1/4 = 1/10。从每一点出发的几条分支加起来是 1，所有路径加起来也是 1：$\frac{4}{25}+\frac{12}{25}+\frac{9}{25}=1$4/25 + 12/25 + 9/25 = 1。

至少一次的概率是第一个真正有用的技巧。「三次里至少一次六」要拆成七条路径；「一次六都没有」只是一条路径。$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\approx 0.42$1 − (5/6)³ ≈ 0.42。用穷举的办法并没有错，只是很容易漏掉一种情形。

接下来，分支开始发生变化。不放回指的是取走一件东西会改变剩下的情况，所以第二层的分数和第一层不一样——而且每条分支都不一样。不放回时沿树状图相乘给出了完整的计算过程。

一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球。$P\left(\text{both red}\right)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}$P(both red) = 5/8 × 4/7 = 20/56。分母变小是因为少了一个球；分子变小是因为拿走的正好是红球。

什么是条件概率？

条件概率是「在已知另一件事已经发生的情况下」，某个事件发生的概率，也就是样本空间缩小到了「已知事件」发生的那些结果。条件概率展示了这种缩小，条件概率的写法把它写成：$P\left(A|B\right)=P\left(A\cap B\right)$P(A | B) = P(A ∩ B)。掷一枚均匀的骰子，假设你被告知结果是偶数。这时只剩下 2、4、6，所以在「结果是偶数」的条件下掷出 4 的概率是 $\frac{1}{3}$1/3，而不是 $\frac{1}{6}$1/6。用公式算，$\frac{1}{6}÷\frac{3}{6}=\frac{1}{3}$1/6 ÷ 3/6 = 1/3。除法把变小的样本空间重新调整比例，使它的概率之和重新变回 1。顺序很重要：在「掷出 4」的条件下结果是偶数的概率是 1，因为 4 一定是偶数；而在「结果是偶数」的条件下掷出 4 的概率是 $\frac{1}{3}$1/3。在树状图里，第二阶段的每一条分支本身就已经是条件概率。剩下的三种结果必须分完全部概率：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$1/3 + 1/3 + 1/3 = 1。

把这个公式理解成「限定范围」，而不是单纯的除法。分子数的是两者都发生的结果；分母数的是这个变小了的新世界里的全部结果。在双向表里，这就是只读一列，忽略其余部分，图表指南（英文）里讲了频数树。

「独立」在这里有了真正的定义：当且仅当 P(A | B) = P(A) 时，A 和 B 才是独立的——也就是说，知道 B 发生了，对 A 毫无影响。

为什么那些经典难题人人都会中招？

经典的概率难题之所以能骗到人，是因为每一道题都藏着一个直觉答案忽略掉的条件。在蒙提霍尔问题里，有三扇门和一份奖品。你选一扇门，主持人打开另一扇没有奖品的门，然后你可以选择换门。换门赢的概率是三分之二。你一开始选对的概率是 $\frac{1}{3}$1/3，主持人的动作不会改变这一点，所以另一扇没打开的门就带着剩下的 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$1 − 1/3 = 2/3。藏着的条件是，主持人知道奖品在哪里，绝不会打开那扇门；如果主持人是随机开门，那概率就会变成对半开。把所有情形列出来就一目了然：假设奖品在 1 号门后面，依次假设你选每一扇门，换门的话会输一次、赢两次。生日悖论藏着的是一次计数：23 个人能组成 23 × 22 ÷ 2 = 253 对，每一对都可能生日相同。蒙提霍尔问题里的两份概率合起来正好是全部奖品：$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$1/3 + 2/3 = 1。

蒙提霍尔问题：主持人知道奖品在哪里，正是这份知情，把三分之二的概率都转移到了那扇没打开的门上。

生日悖论：在一个 23 人的房间里，两人生日相同的可能性其实超过一半。直觉是拿自己和其他 22 个人比较，而这件事问的是每一对之间的比较。把它算成「1 减去所有人生日都不同的概率」——$\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \dots$365/365 × 364/365 × 363/365 × …——就能清楚看出概率是怎么一步步崩塌下去的。

阳性结果为什么可能仍然健康是唯一一个走出教室也有实际后果的例子。假设一种病每千人有一人患病，检测在两个方向上都有 99% 的准确率，对 10 万人做检测：患病的 100 人里大约 99 人会测出阳性，而没患病的 99,900 人里，也会有大约 999 人测出阳性。阳性结果只有大约 9% 的概率是真的。

反过来读树状图：基率的答案是背后的一般方法。按事件发生的顺序把树状图画出来，然后反过来读：「已知检测呈阳性，患病的概率是多少」这个问题的答案，就是那一条相关路径，除以所有走到阳性结果的路径之和。这正是贝叶斯定理，只是靠数数得出来，而不是靠套公式。

值得点名的常见错误

• 把可能同时发生的事件的概率直接相加。要减去重叠部分，否则就是数了两次。
• 在事件不独立时直接相乘。不放回的情况下，第二个分数必须跟着变。
• 把不是等可能的结果拿来列举。两枚骰子有 36 种等可能的结果；它们的 11 种可能的和却不是等可能的。
• 以为连续出现之后「该轮到」另一面了。独立试验没有记忆。比例是靠「稀释」拉平的，不是靠「纠正」。
• 把 P(A | B) 和 P(B | A) 弄反。这就是基率错误，是这个主题里后果最严重的一种错误。
• 逐一列举「至少一个」的情形。用对立事件；穷举的办法很容易漏掉一条分支。

接下来学什么

一旦样本空间变得很大，直接数结果就不再可行了，解决办法是不列举也能数——排列、组合，以及整理它们的集合记号，都在集合、计数与分布指南（英文）里，那一篇也把重复试验变成了二项分布。把观察到的频率变成对整个群体的判断，是抽样与推断指南（英文）的内容。而每一棵树状图都要用到的分数运算，在分数指南（英文）里。

到应用里系统学一遍

Math Challenge 把这些内容都做成配图讲解的课程——画出树状图或韦恩图，给出完整的计算过程，还有练习题：答错了，重新教的就是你错的那一道题，而不是随便找一道相近的。这些课程收在一个有 800 多节课的课程库里，从最初的计数一直讲到大学入学考试水平的概率。