图形、面积与周长

更新 2026年9月25日

学校数学里几乎所有的面积公式，都来自一个形状：长方形。长方形的面积是长乘宽，因为这恰好就是里面能放下多少个单位正方形；这一页上其余每一个公式，都是把某个其他形状变成一个你已经会量的长方形的办法。

这一点值得在公式出现之前先弄清楚，因为五个公式排成一张单子很难记住，而一个道理带出五个结果就容易多了。

面积和周长有什么区别？

周长是沿一个形状的边走一整圈的总距离，面积是它内部平坦表面的大小。一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形，周长把四条边加起来：5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm。面积数的是盖住它的那些厘米方格，每行 5 个，共 3 行，所以 5 × 3 = 15 cm²。面积和周长 把这两个放在一起教，因为大多数错误都是把它们混在了一起。周长是长度，单位是 cm 或 m 这样的单位。面积数的是方格，单位是平方单位，cm² 或 $m^2$m²。对于一个由若干长方形组成的形状，比如 L 形，先补出每一条缺的边再把周长加起来；求面积则把形状切成几个长方形，再把它们的面积加起来。看单位可以快速检查：算出来是 cm² 的结果一定是面积。

它们也是真正互相独立的。一个 6 乘 6 的正方形和一个 1 乘 11 的长方形，周长都是 24，但面积分别是 36 和 11——同样长的篱笆，圈起来的田地大小可以天差地别。

为什么三角形的面积是底乘高的一半？

三角形的面积是底乘高的一半，因为它的两份能拼成一个平行四边形，而这个平行四边形的面积和一个同底同高的长方形一样。把复制的那一份转半圈，两块就严丝合缝地拼在一起。三角形的面积 展示了这个拼法。所以一个底 10 厘米、高 7 厘米的三角形，面积是 10 × 7 ÷ 2 = 35 cm²。高是从底边到对角的垂直距离，不是斜边的长度。在一个有钝角的三角形里，高可能落在三角形外面，这时要把底边延长，用虚线画出高。任何一条边都可以当底，只要高是垂直于那条边量出来的。三角形的面积一定小于围住它的那个长方形：35 是 70 的一半。

底 8 cm，高 5 cm $\to 8\times 5÷2=20$→ 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm².

同样的拆分论证对另外两种形状也成立。平行四边形的面积 是底乘高，因为把一端切下一个三角形移到另一端，平行四边形就变成了长方形。梯形的面积 把两条平行边取平均后乘以高，这正是把斜的那条边"拉平"后得到的那个长方形——它的宽是底边和顶边宽度的平均值。

圆周率是从哪里来的？

圆周率就是把任意一个圆的周长除以它的直径得到的数。不管圆有多大多小，答案永远一样，大约是 3.14159。圆周长和直径 这一课是把这个事实量出来的，而不是直接告诉你：把一根绳子绕罐子一圈，再和罐子的宽度比一比，绳子总是比三倍宽度稍长一点。因为所有的圆都是同一种形状，所以这个比值永远不变。宽度翻倍，周长也翻倍。这个事实写成公式就是：圆周长 $=\pi \times$= π × × 直径。用 $\frac{22}{7}$22/7 这个接近圆周率的分数来算，一个直径 7 厘米的圆，周长大约是 $\frac{22}{7}\times 7=22$22/7 × 7 = 22 cm。如果题目给的是半径，先把它翻倍得到直径。半径 7 厘米的圆，周长大约是 44 厘米。周长应该比直径的三倍稍微多一点：3 × 14 = 42。

一个直径 10 cm 的圆，周长是 $\pi \times 10\approx 31.4$π × 10 ≈ 31.4 cm.

圆的面积 是 $\pi r^2$πr²，而它为什么会出现同一个 $\pi$π，值得看一次。把圆切成许多细长的扇形，尖头一上一下交错排开：随着扇形越切越细，它们拼出的形状会越来越接近一个长方形。这个长方形的高是半径，宽是周长的一半——也就是 $2\pi r$2πr，也就是 $\pi r$πr。乘起来，面积就是 $\pi r^2$πr²。

怎么量一个立体图形？

立体图形用体积来量，也就是能填满它的单位立方体的个数，正如面积数的是单位正方形。长方体的体积 把长、宽、高三个数乘起来。一个长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的箱子，体积是 5 × 4 × 3 = 60 cm³。这个公式是一层一层算出来的：最底下一层装 5 × 4 = 20 个一厘米的立方体，箱子有 3 层高，所以一共装 3 × 20 = 60 个立方体。任何一个棱柱都是这样算：体积是横截面的面积乘长度。三个量在相乘之前必须换算成同一个单位，所以一个长 2 米、宽 50 厘米、高 40 厘米的箱子，要先写成 200 厘米乘 50 厘米乘 40 厘米。体积的单位永远是立方单位，比如 cm³ 或 $m^3$m³，看单位就能快速检查。

表面积的问题，靠"摊平"来处理。展开图 把一个立体图形摊开成你会剪出来再折起来的平面形状——立方体是十字形排列的六个正方形，圆柱体是一个长方形加两个圆——一旦摊平了，表面积就是普通的平面面积加法。展开图不是为了画图而画图，它是把一个三维问题变成你已经会做的问题的技巧。

先给图形命名，为什么要放在最前面

在测量之前，学习者首先要能可靠地认出一个形状。圆形、三角形、正方形和长方形 确立了其余一切都建立在其上的四个平面形状，立方体、球体、圆锥体和圆柱体 则为立体图形做了同样的事。

一个微妙但重要的道理是：一个形状移动之后还是它自己。转动和缩放后的形状 之所以存在，是因为一个立在顶点上的三角形仍然是三角形，一个又长又窄的长方形仍然是长方形——而小学生常常不这么认为，因为他们只见过一种摆放方式。

上面、下面和旁边 讲的是描述位置的词汇，听起来像是在学生词，其实是坐标概念的起点：描述一个东西相对于另一个东西的位置，正是坐标系后来要做的事，只是把它形式化了。

用其他形状拼出新形状

数数，是几何和数字相遇的地方。数边和角 给了一个形状一种不依赖于它看起来怎样的描述——不管压成什么样子，四条边、四个角就是四边形的定义。

用更小的形状拼出形状 是拆分这个习惯最早的样子：两个三角形拼成一个正方形，六个三角形拼成一个六边形。同样的直觉——把难对付的形状切成你会量的形状——多年后正是解组合面积题的办法。

接着画出形状规律 看起来是这里最轻松的一项，其实在做实实在在的工作：找出重复的单元、预测接下来是什么，正是后来读懂一个数列、写出它的第 n 项所需要的技能。

角和对称

角量的是转了多少，不是长度——这就是为什么用很长的两条边画出来的小角，仍然是一个小角。角 用直角作为参照来引入这个度量，而这个参照很重要：大多数角度估算靠的是和 90° 比较，而不是去想象 37 个一度一度的刻度。

对称 问的是一个形状能从哪里对折，让两半完全重合。这是这一页第一个关于形状整体、而不是关于它某个测量值的想法，也是通向变换的入口——一条对称轴，正是一面能让形状看起来毫无变化的镜子。

实际问题到底要哪一个？

问一问买的或量的是什么，答案就选好了要用哪种度量。给花园装篱笆、给地毯滚边、给房间装踢脚线，都是周长的活，因为买的是长度。铺草坪、铺地毯、铺瓷砖、刷油漆，都是面积的活，因为买的是覆盖物。给沙坑填沙、给水箱注水，是体积的活，因为填的是一个空间。以一个长 8 米、宽 5 米的花园为例。围它的篱笆是 8 + 5 + 8 + 5 = 26 米，铺满它的草坪是 $8\times 5=40m^2$8 × 5 = 40 m²，铺 $\frac{1}{10}m$1/10 m 深的泥土，要用 $40\times \frac{1}{10}=4m^3$40 × 1/10 = 4 m³。这样算得通，是因为每一种活都按自己的单位卖。如果篱笆上要留一个 1 米宽的门，那就只需要 26 − 1 = 25 米的篱笆。买之前，把价目表上的单位和算出来的答案对一对。

这种"先问是哪种活"的思路，比死记公式更可靠，因为它能应付那些完全不提这几个词的题目。"这个蛋糕边上要围多少缎带"是一道周长题，虽然它没这么说，能不能看出这一点，正是难点所在。

值得点名的错误

• 题目问的是周长，却答了面积。 看答案那一行的单位，通常就能露馅。
• 把斜边当成了高。 高永远是垂直于底边量出来的。
• 把直径拿去平方。 $\pi r^2$πr² 要用的是半径。先减半，再平方。
• 算三角形时忘了减半。 底乘高算出来的是长方形；三角形是它的一半。

在应用里好好学这些

Math Challenge 把这里的每一个点都做成了一课配图、例题和练习题的课程，收在一个从最初的数数一直到微积分、超过 800 课的课程库里。几何这条线继续在 直线、角和勾股定理 里展开，把这里的角度知识变成正式的推理；多边形、立体图形和表面积 则把展开图的内容讲得更深。