平均数与离散程度
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平均数是用一个数字代表一大堆数字，而这整个话题讲的就是这种替代要付出什么代价。两组数据可以有相同的均值，却在其他方面毫无共同之处——这正是为什么任何一句关于数据的严肃陈述，都要同时给出集中趋势和离散程度，也是为什么单独一个"平均数"，是统计学里最悄无声息、也最容易误导人的说法。
该用哪种平均数？
数值分布比较均匀时用均值，数据里有离群值或者偏斜时用中位数，数据是分类别、没有运算可做时用众数。集中趋势的度量把这个选择变成一件要认真考虑的事。均值是把各个值加起来，再除以个数。对于 4、5、5、6 和 30，均值是 (4 + 5 + 5 + 6 + 30) ÷ 5 = 10，但中位数——排在中间的那个值——是 5，众数——出现次数最多的值——也是 5。均值之所以偏了，是因为那个较大的值 30 把总和拉高了，而中位数只取决于排列顺序。数值个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均：对于 3、5、7 和 9，中位数是 (5 + 7) ÷ 2 = 6。均值必定落在最小值和最大值之间。
把数据从小到大排好后，中位数就是中间的那个值，所以它只取决于排名，不取决于大小——把x₅移到其他值之外也不会改变中位数
把最后一个值拖到最右边
薪水分别是 22、24、25、26 和 180（千元）：均值是 55.4，中位数是 25。 这间办公室里没有一个人挣的钱接近 55.4，中位数才是老实的概括。
从表格里求平均数
同一个值反复出现时，把它们全部列出来就太浪费了。频数表里的平均数展示了这条捷径：把每个值乘以它的频数，把这些乘积加起来，再除以总频数。中位数则来自频数的累计总数，看中间那一项落在哪里。
分组数据更难处理，因为单个数值都不见了。分组数据的均值假设每个值都落在它所在组的中点，这就让答案成了一个估计值——一个诚实的估计值，也应该这样标注出来。众数组从另一边讲了同样的道理：对分组数据，你能说出人数最多的那一组，却说不出单独一个众数。
你来试试
哪种平均数几乎不受一个特别小的数影响？
哪种平均数几乎不受一个特别大的数影响？
为什么只有平均数还不够？
平均数给出数据的中心，却完全没说数值散布得有多开，而散布程度往往才是关键。离散程度的度量用两组数据说明了这一点。看两名球员三场比赛的得分：一人得了 9、10、11 分，另一人得了 1、10、19 分。两人的均值都是 10，因为 9 + 10 + 11 = 30，1 + 10 + 19 = 30。最简单的离散程度指标是极差，也就是最大值减最小值。第一名球员的极差是 11 − 9 = 2，第二名是 19 − 1 = 18，所以第一名稳定得多。教练要挑一个靠得住的球员，看的正是离散程度。极差有个弱点：一个不寻常的值就能把它撑得很大，这正是为什么常常改用四分位距。求极差之前先把数据排序，因为没排序的列表会把最大值和最小值藏起来。
20/40 在这以下，所以这是中位数
在总数四分之一的高度横着读，再往下找到数值。
极差和四分位距介绍了极差的修正方案。四分位距是上四分位数减去下四分位数，描述的是数据中间一半的散布，一个极端值碰不到它。
百分位数把这个想法推广开来：90% 的数据落在第 90 百分位数以下。四分位数其实就是第 25、第 50 和第 75 百分位数的旧称，生长曲线图、考试成绩和响应时间指标，实际上都是用百分位数来报告的。
累积频数和四分位数
累积频数是计数的累计总和，把它对着每一组的上边界画出来，就得到一条 S 形曲线，能回答任何一个值"有多少个数据低于它"。
从曲线上读四分位数直接从曲线上读出四分位数：沿纵轴走到总数的四分之一，横着走到曲线上，再往下读出数值。同样的操作在二分之一和四分之三处，分别给出中位数和上四分位数。
你来试试
最小值4，最大值29。极差是多少？
读数是14, 18、23，还有一个离群值48。极差是多少？
箱线图看的是什么？
箱线图展示五个数：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值。箱线图把箱子从下四分位数画到上四分位数，在箱子里标出中位数，再从箱子两端拉出须线，一直到最小值和最大值。对于数据 3、5、6、8、10、11 和 14，中位数是 8。下四分位数是下半部分 3、5、6 的中间值，也就是 5；上四分位数是 10、11、14 的中间值，也就是 11。箱子从 5 到 11，它的长度 11 − 5 = 6，就是四分位距。箱子装着数据中间的一半。离群值——超出箱子一个半箱长以外的值——会单独画成一个叉。从左到右读这五个数：它们必须是按顺序排的。
在任何跨度下 中位数 − q1 = q3 − 中位数，所以对称只是线索，从来不是证明
保持箱子两半相等，并让四个区间等宽。
箱体从 Q₁ 延伸到 Q₃，四分位距 IQR = 15.5，无论箱体变得多窄，它始终包含二十个值中的十个：箱体变窄是密度更高，而不是数据点变少
把中间十个值挤在一起，再把最大值推过栅栏
它的价值在于比较。同一根轴上的两个箱线图，一眼就能看出哪组更高、哪组更稳定、哪组是不是偏斜——这三个问题用文字讲要写一整段。
从箱线图判断是否正态把这种读法变成一个检验：对称分布里，中位数在箱子正中间，两条须线长度相近，所以中位数偏向一端，或者一条须线特别长，都是偏态的证据。这一点以后很重要，因为好几种统计方法要先假设对称，才允许拿来用。
你来试试
下四分位数是 12，上四分位数是 24。箱子有多宽？
用箱线图画出了 100 个数。其中有多少个落在箱子里面？
标准差怎么算，为什么要这样算？
求标准差，先求出每个值离均值有多远，把这些距离平方，求平方的均值，再开平方根。标准差一步步把它搭出来。对于 2、4、4、4、5、5、7 和 9，均值是 40 ÷ 8 = 5。离 5 的距离分别是 −3、−1、−1、−1、0、0、2 和 4，它们的平方加起来是 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32。平方的均值是 32 ÷ 8 = 4，标准差就是它的平方根，2。之所以要平方，是因为均值上下两边的距离总会抵消成 0，而平方永远不会是负数。开平方根是为了把答案换回数据本身的单位。如果所有值都一样，标准差就是 0。答案永远不会比极差还大。
对任何一组数据都有 Σ(x − x̄) = 0，所以在平均能量出什么之前，符号就被去掉了
试着让天平两侧的长度不同。
(x − μ)² = 31.4：距离变为2倍时，条形变为2倍，而平方变为4倍，所以一个远的值会压过好几个近的值
拖动最后一个值，直到它的平方达到100
先说一个更温和的近亲。平均绝对偏差不平方，直接把距离取平均，用绝对值来阻止正负号相互抵消。它更好讲，也确实有用——这就把一个自然的问题问得更尖锐了：既然这样也行，为什么还要平方？
标准差：未分组数据用的是更实用的公式——平方的均值减去均值的平方——只用扫一遍数据就能得到同样的答案，不用扫两遍。标准差：分组数据把它推广到频数表，用频数给每个平方值加权，对分组数据则用组中点，带着和分组均值一样的估计值提醒。
你来试试
2, 2、10, 10 的标准差是多少？
平均数是 6，一个数值是 4。它们的平方距离是多少？
怎么老老实实地比较两组数据？
要公平地比较两组数据，每组都要给出一个集中趋势指标和一个离散程度指标，两组用同一对指标，再说清楚这些数字在数据背景下意味着什么。比较数据集练的正是这套结构。中位数要配四分位距，均值要配标准差。假设两个班考了同一场测验。A 班的中位数是 62，四分位距是 10；B 班的中位数是 55，四分位距是 25。一个好的比较会说：A 班平均考得更高，高出 62 − 55 = 7 分，而且成绩更稳定，因为它中间一半的分数只跨了 10 分，而不是 25 分。数据里有离群值时，用中位数这一对，因为离群值几乎撼动不了它们。一个比较列出四个数却不下任何结论，等于什么都没回答，所以重读一遍你写的内容，确保每个数字都在讲这两个班的事。
A 两行都赢，总体也 A% > B%，因为两种构成相近
让 A 在两行都更好，而总体更差。
把两对指标混着用——中位数配标准差——就是拿一个稳健的中心去配一个不稳健的离散度，离群值就会影响这段描述的一半。
还有一个陷阱，就算每一步算术都对，也照样能落进去。辛普森悖论展示了这样两组数据：疗法 A 在轻症和重症里都胜过疗法 B，合起来算总体却输了——因为两组人数不一样多，重症病例又不成比例地集中在某一种疗法里。算术本身没有一处出错。这一课讲的是：混合人群算出来的平均数，不是其中任何一个人的性质。
你来试试
两组数据的平均数都是 25。其中一组的离散程度小得多。哪一组更稳定？
两组数据的平均数都是 30。其中一组的离散程度小得多。哪一组更稳定？
值得点名的错误
- 把分组均值当成精确值来报告。它是建立在中点假设上的估计值，要这样说明。
- 求中位数之前忘了排序。没排序的列表的中间，不是数据的中间。
- 把中位数和标准差配成一对。中位数配四分位距，均值配标准差——要么整对都稳健，要么都不稳健，别各取一半。
- 把累积频数画在组中点上。累计总数只在上边界才成立。
- 只用集中趋势比较两组数据。均值相等、散布不相等的时候，散布才是故事的全部。
- 因为碍事就删掉一个离群值。在有记录在案的理由怀疑它之前，离群值也是一个数据点。
接下来学什么
这些概括是统计学其余内容所用的词汇表。统计图表指南（英文）讲的是它们所配的图，包括累积频数曲线和直方图。一旦每个研究对象带着两个测量值而不是一个，问题就变成它们是不是一起变动——见散点图、相关与回归指南（英文）。而用样本的均值和标准差，去说一说你没有测量过的总体，整个这件事就是抽样与推断指南（英文）的主题。
在应用里系统学一遍
Math Challenge 把这些内容都教成配图的课程——一份画出来的数据集，一道做出来的计算，还有针对你答错的那道题、而不是随便一道相近题目重新讲一遍的试一试。它们收在一套从最初的数数一直到大学入学统计学的 800 多节课程目录里。
轮到你了
三题试一试，点选作答。
4、7 和 10 的均值
3、9 和 5 的中位数
12、4 和 9 的极差
常见问题
- 什么时候该用中位数而不是均值？
- 只要数据里有极端值或者拖着长尾，就该用中位数，因为均值会被离群值拉着走，中位数不会。房价和收入是最典型的例子：少数几个特别大的数值，把均值拉到大多数人的实际水平之上，而中位数说的是排在中间的那户人家。分布大致对称、或者你需要求总数的时候，才用均值，因为均值乘以个数能还原出总和。
- 标准差到底量的是什么？
- 它量的是一个值到均值的典型距离。先求出每个值到均值的偏差，把它们平方，让正负号不能相互抵消，再求平方的平均数，最后开平方根，回到原来的单位。标准差是 4 厘米，意思是各个值平均离均值大约 4 厘米。它和数据的单位相同，这正是它被引用而不是方差被引用的原因。
- 四分位距要怎么求？
- 把数据排序，求出中位数，再求下半部分的中位数和上半部分的中位数。这两个就是下四分位数和上四分位数，四分位距等于上四分位数减去下四分位数。它描述的是数据中间一半的散布程度，完全不管两头的极端值，这正是它总是和中位数搭配、而不是和均值搭配的原因。
- 为什么从分组频数表里求不出精确的均值？
- 因为分组这个动作本身就丢掉了原始数值。一组记作 20 到 30，里面的数值可能扎堆在 21 附近，也可能扎堆在 29 附近，表格已经不知道是哪种情况。标准做法是假设每个值都落在它所在组的中点，这在平均意义上说得过去，但并不精确，所以分组均值总是作为估计值来报告。同样的局限，也让众数在分组数据里只能是一个组，而不是单独一个众数。
- 辛普森悖论是什么？
- 指的是每个子组里都成立的趋势，一旦把子组合并起来，结论却反过来了。一种疗法可能在轻症和重症里的成功率都更高，合起来算总体成功率却更低，因为各组的人数和病情比例相差很大。这个悖论提醒我们：混合人群算出来的平均数，不是其中任何一个个体的性质，而且把数据合并起来，还可能凭空造出一个哪部分数据都不支持的结论。
- 怎么才算正确地比较两组数据？
- 比较一个集中趋势指标和一个离散程度指标，再说清楚每个数字在具体情境里意味着什么。两个班级测验的均值相同，但如果一个标准差是 3、另一个是 15，情况可能完全不同，因为标准差大的那个班里，既有最好的学生也有最差的学生。只报均值的比较，只回答了一半的问题，而且藏起来的正是那有意思的另一半。