偏微分

更新 2026年10月7日

利润取决于售价，也取决于卖出多少件，所以它是一个二元函数。偏微分就是处理这类函数的微积分。普通微分的每一条规则依然适用。改变的是几何：图形是一个曲面，而曲面在每个方向上的坡度都不一样。

什么是二元函数？

二元函数接收一对数 (x, y)，传回一个数，写作 f(x, y)。对于 $x^2+y^2$x² + y²，输入 (3, 4) 得到 9 + 16 = 25。输入是平面上的一个点，输出是它上方的高度，所以图形是一个曲面，这里是一个最低点在原点的碗。普通的微积分在这里要小心，因为曲面在每个方向上的坡度都可能不同。等高线有帮助：每一条都是某个固定高度的切片，就像地图上的等高线，而这个碗在高度 25 的切片，是通过 (3, 4)、半径为 5 的圆。有些输入必须排除，这会改变定义域：$\sqrt{x-y}$√(x − y) 需要 $x\ge y$x ≥ y。点 (−3, 4) 的高度相同，因为平方会去掉正负号。详见 二元函数和三维空间中的曲面。

在高度 4 切开碗 $z=x^2+y^2$z = x² + y²，切片是圆 $x^2+y^2=4$x² + y² = 4，半径为 2。详见 等高线。

两个变量时，极限还适用吗？

适用，但在两个变量时，极限必须沿着每一条通往该点的路径都得到同一个值，而不只是从两侧逼近。看原点附近的 $f=2xy/\left(x^2+y^2\right)$f = 2xy / (x² + y²)。沿着 x 轴，f 是 0。沿着直线 y = x，f 是 $2x^2/2x^2$2x² / 2x²，也就是 1。两条路径给出两个值，所以极限不存在。这个值取决于逼近的方向：沿着 y = mx，它在每一个距离上都是 $2m/\left(1+m^2\right)$2m / (1 + m²)。两条路径一致什么也证明不了，所以要证明极限存在需要另一种做法，通常是找一个上界。对于 $x^{2}y/\left(x^2+y^2\right)$x²y / (x² + y²)，它的大小最多是 |y|，而 |y| 趋近 0，所以那个极限是 0。直线 y = 2x 让第一个函数处处等于 $\frac{4}{5}$4/5，分子是 2 × 2 = 4，分母是 1 + 4 = 5。

详见 二元函数的极限。

连续的意思和单变量时一样：函数在某点的极限存在，而且等于函数在那一点的值。详见 二元函数的连续性。

什么是偏导数？

偏导数是 f 在一个方向上的变化率，另一个变量保持不变。求 $\frac{\partial f}{\partial x}$∂f/∂x 时，把 y 当作常数，照常对 x 求导；$\frac{\partial f}{\partial y}$∂f/∂y 则反过来。对于 $x^{2}y+5y^2$x²y + 5y²，$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$∂f/∂x = 2xy，因为 y 是常数因子，而 $5y^2$5y² 是常数；同时 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+10y$∂f/∂y = x² + 10y。在 (1, 2)，x 方向的斜率是 2 × 1 × 2 = 4，y 方向的斜率是 1 + 10 × 2 = 21。固定 y，就是用平行于 x 轴的平面切开曲面，切出来的是一条普通曲线，它的斜率就是 $\frac{\partial f}{\partial x}$∂f/∂x。弯曲的 $\partial$∂ 取代了 d，表示其他变量正被固定住，而不含 x 的项对 x 求导得 0。(1, 2) 和 (2, 2) 的高度分别是 22 和 28，所以这条割线的斜率是 28 − 22 = 6，比 4 大，因为切片是向上弯的。详见 偏导数。

不需要任何新规则。详见 计算偏导数。

设 $f=x^{2}y+y^3$f = x²y + y³。那么 $\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$∂f/∂x = 2xy，因为 y 是常数因子，而 $y^3$y³ 是常数。又 $\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3y^2$∂f/∂y = x² + 3y²，因为 $x^2$x² 是常数因子，而 $y^3$y³ 求导得 $3y^2$3y²。

二阶偏导数呢？

把偏导数再求一次导，就得到二阶偏导数，共有四个：对 x 两次、对 y 两次，以及两个混合的，先 x 后 y 和先 y 后 x。看 $f=x^3{y}^2$f = x³y²，它对 x 的一阶偏导数是 $3x^2{y}^2$3x²y²，对 y 的是 $2x^{3}y$2x³y。再求一次导得到 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=6x{y}^2$∂²f/∂x² = 6xy² 和 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2x^3$∂²f/∂y² = 2x³，而两个混合偏导数都是 $6x^{2}y$6x²y。在 (1, 2)，它们分别是 6 × 1 × 4 = 24、2，以及每个混合偏导数的 12。两个混合偏导数相等，这是混合偏导数定理：只要两者都连续，顺序就不重要，所以只需算出三个。这三个合起来衡量曲面怎么弯曲，而驻点的检定会用到全部三个。换个顺序，$2x^{3}y$2x³y 对 x 求导得 $6x^{2}y$6x²y，而 6 × 1 × 2 = 12，又是 12。详见 高阶偏导数。

看 $f=x^2{y}^3$f = x²y³。那么 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x{y}^3$∂f/∂x = 2xy³，再对 y 求导得 $6x{y}^2$6xy²。另外 $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2{y}^2$∂f/∂y = 3x²y²，再对 x 求导得 $6x{y}^2$6xy²。详见 混合偏导数定理。

链式法则在这里怎么用？

当 x 和 y 都取决于 t 时，z = f(x, y) 会同时因为两个原因而改变，而 $\frac{dz}{dt}$dz/dt 为每个变量加上一项：z 对该变量的偏导数，乘以该变量的变化率。对于 z = xy，其中 $x=t^2$x = t² 且 y = 3t，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=y$∂z/∂x = y 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=x$∂z/∂y = x，而两个变化率是 2t 和 3，所以 $\frac{dz}{dt}=2$dz/dt = 2ty + 3x。在 t = 1 时，x = 1、y = 3，结果是 2 × 3 + 3 × 1 = 9。在很短的时间内，每个变量都让 z 上升“自己的斜率乘以自己的步长”，而小小的上升可以相加。如果 x 和 y 都取决于 s 和 t，那么 $\frac{\partial z}{\partial s}$∂z/∂s 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$∂z/∂t 各有两项，一项经过 x，一项经过 y。只有一个变量时，这个公式就是普通的链式法则。先代入再求导，结果一致：$z=3t^3$z = 3t³ 求导得 $9t^2$9t²，而 9 × 1 = 9。

$\frac{dz}{dt}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dt}\right)$dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt).

把依赖关系画成一棵树，沿每条分支相乘，再把各分支相加。详见 偏导数的链式法则。

什么是梯度向量？

梯度向量 $\nabla f$∇f 以两个偏导数为分量，$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)；它指向上升最陡的方向，它的长度就是那个方向的斜率。对于 $x^2+y^2$x² + y²，$\nabla f=\left(2x,2y\right)$∇f = (2x, 2y)，所以在 (3, 4) 它是 (6, 8)，正对着碗壁往上指，长度为 10，因为 36 + 64 = 100。沿单位向量 u 的斜率是 $\nabla f\cdot u$∇f · u，也就是 $|\nabla f|\cos \theta$|∇f| cos θ，其中 $\theta$θ 是两者的夹角。它在 $\theta =0$θ = 0 时最大，所以梯度是最陡的上坡方向；在直角时它是 0，所以梯度和每条等高线都正交，这里就是半径为 5 的圆。梯度为零表示曲面是平的，没有最陡的方向。沿单位向量 $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$(3/5, 4/5) 的斜率是 $6\times \frac{3}{5}+8\times \frac{4}{5}=10$6 × 3/5 + 8 × 4/5 = 10，也就是梯度的全长。详见 梯度向量。

这种沿着指定方向的斜率，就是方向导数。详见 方向导数。

在某一点贴着曲面的那个平面，叫做切平面。两个偏导数给出它在 x 和 y 方向上的倾斜程度，这就把它完全确定了。详见 切平面。

怎么求曲面上的极大值和极小值？

在光滑曲面的极大值或极小值处，两个偏导数都等于 0，所以把它们联立求解，再为每个点分类。对于 $f=x^2+2y^2-4x+4y$f = x² + 2y² − 4x + 4y，偏导数 2x − 4 和 4y + 4 只在 (2, −1) 同时为 0，那里的高度是 4 + 2 − 8 − 4 = −6。分类的方法是：把对 x 和对 y 的二阶偏导数相乘，再减去混合偏导数的平方：2 × 4 − 0 = 8，是正数，而对 x 的那个也是正数，所以这是极小值。山顶或谷底的切平面是平的，所以两个斜率在那里都消失。结果为负表示鞍点：对于 $x^2-y^2$x² − y²，在原点得 2 × (−2) − 0 = −4，往一个方向上升，往另一个方向下降。配方可以证实：f 等于 ${\left(x-2\right)}^2+2{\left(y+1\right)}^2-6$(x − 2)² + 2(y + 1)² − 6，永远不会低于 −6。

因为可能出现鞍点，二元函数的二阶导数检定要用到全部三个二阶偏导数。详见 曲面的驻点。

如果变量受到限制呢？

在限制条件 g(x, y) = 0 之下，拉格朗日乘数法可以求出 f 沿着那条曲线的最大值或最小值：令 $\nabla f=\lambda \nabla g$∇f = λ∇g，再把各分量方程和限制条件联立求解。要在直线 x + y = 10 上求 xy 的最大值，取 g = x + y − 10。那么 $\nabla f=\left(y,x\right)$∇f = (y, x) 且 $\nabla g=\left(1,1\right)$∇g = (1, 1)，所以 $y=\lambda$y = λ 且 $x=\lambda$x = λ，这迫使 x = y = 5，最大值为 5 × 5 = 25。如果 $\nabla f$∇f 斜斜地穿过曲线，沿着曲线走一步仍然能让 f 上升，所以在最佳点，两个梯度是平行的。乘数本身也有意义：$\lambda =5$λ = 5 是把 10 调高时，最大值增加的速率。有两个限制条件时，每个条件各有自己的乘数。直线上的其他点都比较小，因为 4 × 6 = 24、3 × 7 = 21。

先用 $\lambda$λ 把各分量方程中的 x 和 y 表示出来，再代入限制条件。详见 拉格朗日乘数法。

怎么在曲面下积分？

在平面的一个区域上积分，就是积分两次，每个变量各一次，得到的是曲面下方的体积。先固定 y 对 x 积分，得到一个截面的面积，再把这些面积对 y 积分。对于 xy 在 x 从 0 到 2、y 从 0 到 3 的长方形上，内层积分是 $\frac{x^{2}y}{2}$x²y/2，代入上下限后得 2y，而 2y 的外层积分是 $y^2$y²，结果是 9。体积由许多薄片组成，每一片是截面积乘以一个很小的厚度，就像面积由许多细长条组成一样。区域不是长方形时，积分的上下限会改变：在 y = x 下方的三角形上，对 y 的内层积分从 0 到 x。这个长方形上的积分还可以拆成乘积，因为 xy 是 x 乘 y，而 $2\times \frac{9}{2}=9$2 × 9/2 = 9。

用符号写，$A\left(y\right)=\int f\left(x,y\right)dx$A(y) = ∫ f(x, y) dx 且 $V=\int A\left(y\right)dy$V = ∫ A(y) dy。详见 曲面下方的体积。

值得点名的错误

• 把每个变量同时求导。不含你所选变量的项，求导得 0。
• 以为斜率只有一个数。斜率取决于方向，所以梯度是一个向量。
• 因为两条路径一致，就认定极限存在。沿着每一条路径逼近，极限都必须相同。
• 把每个驻点都叫做极大值或极小值。鞍点让两个偏导数都等于 0，但两者都不是。
• 在列出拉格朗日方程之前，就把限制条件代入 f。先对原本的 f 和 g 求梯度，再和限制条件联立求解。

延续下来的单变量规则在微分法则（英文）中，优化的想法在微分的应用（英文）中，向量的语言则在向量（英文）中。相关指南：积分的应用与极坐标曲线（英文）。