函数与有理函数

更新 2026年10月7日

函数是一条规则：给它一个输入，就恰好给出一个输出。这个定义决定了哪些输入可以用、什么时候规则可以倒着走，以及为什么有些图形会有缺口。

f(x) 是什么意思？

f(x) 是函数 f 在输入为 x 时的输出，不是 f 乘以 x。求值时，把输入代入规则里的每一个 x。若 $f\left(x\right)=x^2-3x$f(x) = x² − 3x，则 f(5) 是 $5^2-3\times 5=25-15=10$5² − 3 × 5 = 25 − 15 = 10。x 只是一个占位符号，所以任何数或式子都可以取代它：f(a + 1) 的意思是 ${\left(a+1\right)}^2-3\left(a+1\right)$(a + 1)² − 3(a + 1)。这个记法的好处是把输入和输出放进同一个符号，所以 f(5) = 10 这样的表述同时记下了两者。负的输入要加括号：f(−2) 是 ${\left(-2\right)}^2-3\times \left(-2\right)=4+6=10$(−2)² − 3 × (−2) = 4 + 6 = 10，少了括号，${\left(-2\right)}^2$(−2)² 就变成 −4。可以用图形检验一个值：点 (5, 10) 在曲线 y = f(x) 上，因为 x 为 5 时，y 就是输出。

若 f(x) = 2x + 1，则 f(3) = 2 × 3 + 1 = 7。同样地，f(a + 1) = 2a + 3。

详见 函数记号。

怎么求定义域和值域？

定义域是函数接受的输入所成的集合，值域是它产生的输出所成的集合。求定义域时，先从所有实数出发，再去掉每一个会破坏规则的值：分母不能为零，根号内不能是负数，对数的输入必须为正。对 $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}+1$f(x) = √(x − 3) + 1，根号内需要 $x-3\ge 0$x − 3 ≥ 0，所以定义域是 $x\ge 3$x ≥ 3。根号的值最小是 0，出现在 x = 3，所以最小的输出是 0 + 1 = 1，值域是 $y\ge 1$y ≥ 1。这些规则之所以存在，是因为每种运算在范围之外都没有定义。实际情境可能把定义域缩得更小，例如长度必须为正。值域通常要靠图形或规则的形状来判断，而不是列出禁用的值。用一个值来检验：x = 7 得到 $\sqrt{4}+1$√4 + 1，也就是 3，落在值域之内。

再看两个例子：$f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-2\right)}$f(x) = 1/(x − 2) 的定义域是除了 2 以外的所有实数。$f\left(x\right)=\sqrt{x-5}$f(x) = √(x − 5) 的定义域是 $x\ge 5$x ≥ 5。

对 $f\left(x\right)=x^2$f(x) = x²，每个输入都允许，但平方永远不会是负数，所以值域是 $y\ge 0$y ≥ 0。

详见 定义域和值域。

由几段组成的函数

分段函数在定义域的每一段上使用不同的规则。求值时，先找出输入落在哪一段，再用那一段的规则。边界归属于不等式含有“等于”的那条规则。

两条规则在边界上的值相同时，各段衔接处就没有跳跃。要做到这一点，先算出每条规则在边界上的值，令两个值相等，再解出未知的常数。

详见 分段函数、画分段函数的图象和让分段函数连续。

复合函数与反函数

复合函数把一个函数的输出，当作另一个函数的输入。fg(x) 表示 f(g(x))：先套用 g，再套用 f。若 f(x) = x + 1 且 $g\left(x\right)=x^2$g(x) = x²，则 fg(2) = f(4) = 5，但 gf(2) = g(3) = 9。

反函数把原函数还原：若 f 把 3 送到 10，则 $f^{-1}$f⁻¹ 把 10 送回 3。要求反函数，就把步骤的顺序倒过来，并把每一步换成它的相反运算。f(x) = 3x + 1 先乘以 3 再加 1，所以 $f^{-1}$f⁻¹ 先减 1 再除以 3：$f^{-1}\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{3}$f⁻¹(x) = (x − 1)/3。

把输入和输出对调，就是把每个点的坐标对调，所以 (3, 10) 变成 (10, 3)。

详见 复合函数和反函数。

变换怎样改变图形？

括号外的改变作用在输出上，图形的移动和字面一致：$y=x^2+3$y = x² + 3 把 $y=x^2$y = x² 的每个点向上移 3。括号内的改变作用在输入上，效果相反：$y={\left(x-3\right)}^2$y = (x − 3)² 把图形向右移 3。会相反，是因为 x 现在必须大 3，才能让括号得到相同的值，所以顶点从 x = 0 移到 x = 3。几个改变同时出现时，先做括号内的，再做括号外的：$y=2{\left(x-3\right)}^2+3$y = 2(x − 3)² + 3 先右移 3，再把每个高度加倍，最后上移 3。用一个点检验：$y=x^2$y = x² 上的 (1, 1) 应该移到 $y={\left(x-3\right)}^2+3$y = (x − 3)² + 3 上的 (4, 4)，确实 ${\left(4-3\right)}^2+3=1+3=4$(4 − 3)² + 3 = 1 + 3 = 4。

伸缩也遵循同样的分法。$y=2x^2$y = 2x² 把每个高度加倍，没有任何点横向移动。$y={\left(2x\right)}^2-4$y = (2x)² − 4 作用在输入上，所以括号在 x 只有一半时就达到原来的值，曲线被压成一半宽。

详见 图象的变换、图象的竖直拉伸和图象的水平拉伸。

指数增长有什么不同？

指数增长每一步乘以同一个因数，线性增长则每一步加上同一个量。倍增 n 次之后，起始量 A 变成 $A\times 2^n$A × 2ⁿ。从 3 开始，每步加 3 得到 6、9、12、15，但每步倍增得到 6、12、24、48。倍增十次等于乘以 1,024，3 × 1,024 = 3,072，而 3 + 10 × 3 = 33。指数函数每一步都比前一步大，因为增加的是目前量的固定比例，所以曲线终究会超过任何一条直线。百分率决定因数：每年增长 10% 就是乘以 $\frac{11}{10}$11/10。因数小于 1 时情况相反：量朝零缩小却永远到不了零，这就是指数衰减。检验数据时，把每一项除以前一项。对 6、12、24、48，每个比值都是 2，而差 6、12、24 一直在变。

半衰期 3 天，表示每 3 天量就减半：80 g 变成 40 g，再变成 20 g，再变成 10 g。

现实中没有东西能永远倍增，因为空间会用完。逻辑斯模型一开始像指数函数一样增长，之后趋于平缓，贴近一个称为承载量的上限。

详见 指数增长、指数衰减、增长与衰减应用题和阻滞增长与环境容纳量。

对数有什么用？

对数给出底数必须乘方到的次数：${\log }_{2}8=3$log₂ 8 = 3，因为 $2^3=8$2³ = 8。取对数是乘方的还原，就像减法是加法的还原。一般来说，y 以 b 为底的对数，是满足 $b^x=y$bˣ = y 的数 x，所以每一个对数的事实，都是把指数的事实倒着读：${\log }_{10}1000=3$log₁₀ 1000 = 3，因为 10 × 10 × 10 = 1,000。对数可以解未知数在指数字置的方程。答案不是整数时，两边取对数，再用幂次法则把次方拉下来：$5^x=30$5ˣ = 30 得到 x log 5 = log 30，所以 x = log 30 / log 5。只有正数才有实数对数，因为正数底数的任何次方都不会是零或负数。把底数乘方到答案来检验：2 × 2 × 2 = 8。

对数定律来自指数定律。同底数的幂相乘，指数相加，$2^3\times 2^4=2^7$2³ × 2⁴ = 2⁷，所以 log(ab) = log a + log b。相除则指数相减：$\log \left(a/b\right)=\log a-\log b$log(a / b) = log a − log b。乘方是重复的乘法，所以指数会移到前面：$\log \left(x^n\right)=n\log x$log(xⁿ) = n log x。

解 $3^x=20$3ˣ = 20：x log 3 = log 20，所以 $x=\log 20/\log 3\approx 2.727$x = log 20 / log 3 ≈ 2.727。

计算机只有 ${\log }_{10}$log₁₀ 和 ln，换底公式能从这两个得到其他任何底数：${\log }_{2}N=\log N/\log 2$log₂ N = log N / log 2。ln 是以 $e\approx 2.718$e ≈ 2.718 为底的对数，并且遵守上面所有定律。

详见 指数与对数、对数的运算法则、解指数方程、换底公式和自然对数。

在对数刻度上读数据

对数轴把每个值 v 放在距离 log v 的位置，所以相等的距离代表相等的倍数：1、10、100 和 1000 等距排列。

对数轴可以检验是否为指数增长。若 $y=a\times b^x$y = a × bˣ，两边取对数得到 log y = log a + x log b，这是一条关于 x 的直线。把 log y 对 x 作图：若点排成直线，数据就是指数型，再对斜率和截距还原对数，就能求回 b 和 a。

取对数的那条轴决定模型。幂次律 $y=a{x}^n$y = a xⁿ 在 log y 对 log x 作图时会变成直线，斜率是 n。对数模型 y = a + b ln x 则在 y 对 ln x 作图时变成直线。

详见 对数函数的图象、用对数把增长曲线拉直、用对数把幂律拉直和拟合对数模型。

为什么有些图形会有缺口？

有理函数是一个多项式除以另一个多项式，分母为零的地方没有值，所以图形在那里有缺口。先把分子和分母因式分解，再检查每个使分母为零的因式。若它没有相消，图形就有一条垂直渐近线：$y=\frac{1}{\left(x-3\right)}$y = 1/(x − 3) 在 x = 3 有一条，因为 x 靠近 3 时分母很小，函数值无限增大。若它相消，缺口就只是一个遗漏的点，称为空点。对 $y=\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(x-3\right)}$y = (x² − 9)/(x − 3)，分子是 (x − 3)(x + 3)，所以图形就是直线 y = x + 3，只是 x = 3 的那一点被拿掉，高度是 3 + 3 = 6。这个分式和这条直线，除了 x = 3 以外处处相同。附近的输入可以检验渐近线：$\frac{1}{\left(x-3\right)}$1/(x − 3) 在 $x=3+\frac{1}{100}$x = 3 + 1/100 是 100，在 $x=3-\frac{1}{100}$x = 3 − 1/100 是 −100。

分数只有在分子为零时才为零，所以分子的零点就是 x 截距。

$\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}$(x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2)。相消之后，除了 x = 2 以外，每个 x 都剩下 x + 2，而原式在 x = 2 是 0 ÷ 0。空点是可去间断点；渐近线则无法修补。

离原点很远时，领导项决定图形的形状，所以比较分子和分母的次数。分母次数较高时，曲线贴近 y = 0。次数相等时，曲线贴近领导系数的比：$\frac{\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)}$(2x + 1)/(x − 1) 贴近 y = 2。分子恰好高一次时，曲线改为趋近一条斜线。

长除法可以求出那条线。多项式的除法和数的除法一样：比较领导项、乘回去、相减，再重复。商就是斜渐近线，余式除以除式在很远处会消失。$\frac{\left(x^2+3x+5\right)}{\left(x+1\right)}=x+2+\frac{3}{\left(x+1\right)}$(x² + 3x + 5)/(x + 1) = x + 2 + 3/(x + 1)，所以斜渐近线是 y = x + 2。

详见 零点与竖直渐近线、因子相消留下的空洞、由次数决定水平渐近线、多项式的长除法和用长除法求斜渐近线。

值得点名的错误

• 把 f(x) 当成乘法。f(4) 是把 4 代入 x，而 f(a + b) 不等于 f(a) + f(b)，除非 f(x) = kx。
• 往错的方向平移。f(x + 3) 把图形向左移 3。括号内的改变，效果相反。
• 合成的顺序错了。fg(x) 表示 f(g(x))：先套用 g。
• 相消后没有记下空点。把 $\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}$(x² − 4)/(x − 2) 化简成 x + 2，就丢掉了 x = 2 本来就不被允许这件事。

方程的图形与坐标几何讲的是这些变换所作用的直线和曲线，数列与级数则从指数增长接续到等比级数。相关指南：极限与连续和二次方程与多项式。