多边形、立体图形与表面积

更新 2026年10月7日

立体图形的体积，来自把它切成你已经会量的小块；表面积则来自把它摊平，再把各个面加起来。下面每一个公式，都是用这两个动作中的一个推出来的。

四边形怎样才算“特殊”？

四边形是有四条直线边的平面图形，它的内角和是 360°，因为一条对角线把它分成两个三角形，2 × 180 = 360。当它保持某些边或角相等时，就会得到特别的名称：长方形有四个直角，平行四边形的对边平行，梯形则只保证有一组对边平行。计算时用的就是这些性质。在一个有 70° 内角的平行四边形里，相邻的角是 180 − 70 = 110 度，而且对角相等。这是平行造成的：每一条边都截过一组平行线，形成的同侧内角和是 180°。名称只保证它所规定的性质。看起来像正方形的图形，在证明它的四条边和四个角都相等之前，不能说它就是正方形，而梯形的两腰也不必一样长。可以用内角和来检验：70 + 110 + 70 + 110 = 360。

这些名称是层层包含的。正方形是四条边都相等的长方形，长方形是四个角都是直角的平行四边形。所以，凡是对每个平行四边形都成立的性质，对每个长方形和每个正方形也成立，一个证明就涵盖了三者。详见 特殊四边形。

菱形的四条边都相等。筝形有两组相邻的边各自相等。这两种图形的对角线都互相垂直，所以面积是两条对角线乘积的一半：面积 $=d_1\times d_2$= d₁ × d₂ / 2。这通常是解筝形题目最快的做法。详见 菱形与风筝形。

怎么求不规则图形的面积？

求不规则图形的面积，可以把它切成你会量的长方形和三角形，再把各块的面积加起来；也可以从较大的图形里减掉缺掉的部分。L 形通常用第二种方法比较快。例如一个 10 m 乘 8 m 的长方形，缺了一个 4 m 乘 3 m 的角：长方形是 10 × 8 = 80 平方米，缺口是 4 × 3 = 12，所以 L 形的面积是 80 − 12 = 68。两种方法都行得通，是因为互不重叠又没有空隙的各块，加起来就是整体。遇到斜着的边，就要用三角形，面积是底乘高的一半，所以底 6 m、高 4 m 的三角形要加上 6 × 4 ÷ 2 = 12。缺少的边长，常常可以用另外两条边相减得到。把 L 形换个方向切，可以检验答案：10 × 5 + 6 × 3 = 68。

任何正确的切法，得到的面积都一样，所以选需要未知边长最少的那一种。详见 组合图形的面积。

怎么求棱柱或圆锥的体积？

棱柱沿着长度方向的截面处处相同，所以它的体积是截面的面积乘以长度。一个截面积为 6 平方厘米、长 10 cm 的三棱柱，体积是 6 × 10 = 60 立方厘米。圆柱是截面为圆的棱柱，截面积是 $\pi r^2$πr²，所以它的体积是 $\pi r^{2}h$πr²h。详见 棱柱与圆柱。这个规则成立，是因为棱柱就是许多完全相同的薄层叠起来。圆锥或棱锥逐渐缩小到一个点，各层越来越小，它的体积恰好是同底同高棱柱的三分之一。一个底面积 12 平方厘米、高 5 cm 的圆锥，体积是 12 × 5 ÷ 3 = 20 立方厘米。要用垂直的高，不是斜着的边。检验一下：同底同高的圆柱是 12 × 5 = 60，而 3 × 20 = 60。

用符号写出来，棱锥或圆锥的体积是 $\frac{1}{3}\times$1/3 × 底面积 × 高，不论底面是什么形状。详见 棱锥与圆锥。

球面上每一点到球心的距离都是 r。球的体积是 $\frac{4}{3}\pi r^3$4/3 πr³。把球刚好放进半径为 r、高为 2r 的圆柱里，球占了圆柱体积的 $\frac{2}{3}$2/3。阿基米德用切片证明了这一点：半球，和一个挖掉圆锥的圆柱，在每个高度的截面积都相等，都是 $\pi \left(r^2-h^2\right)$π(r² − h²)，所以它们的体积相等。圆柱的体积 $\pi r^3$πr³ 减去圆锥的体积 $\frac{\pi r^3}{3}$πr³/3 剩下 $\frac{2}{3}\pi r^3$2/3 πr³ 就是半球的体积，再乘以 2 就是球的体积。详见 球 和 阿基米德与球的体积。

水箱里的水怎么算？

长方形水箱里的水，本身就是一个长方体。它的长和宽就是水箱的长和宽，高则是水的深度，所以水的体积是 长 × 宽 × 水深。1 升是 1,000 立方厘米，所以一个长 80 cm、宽 50 cm、水深 25 cm 的水箱，装的水是 80 × 50 × 25 = 100,000 立方厘米，也就是 100 升。大多数水箱题目问的是水面上升或下降多少，同一个公式倒过来就能回答：水深的变化，等于体积的变化除以底面积。往那个水箱倒入 20 升（也就是 20,000 立方厘米）的水，水面会上升 20,000 ÷ 4,000 = 5 cm，因为底面积是 80 × 50 = 4,000 平方厘米。长方体的体积 说明这条规则，毫升和升 说明单位的换算。

同一条规则也适用于把立体放进水里的情况。一块 2,000 立方厘米的石头完全沉入水中，会把水位推高和它自己体积相同的量，所以水面上升 2,000 ÷ 4,000 = 0.5 cm。一根立在水底、又露出水面的高柱就不一样了，因为水用不到柱子所占的那部分底面。在一个 60 cm 乘 50 cm、水深 20 cm 的水箱里，立一根底面为 20 cm 乘 25 cm 的柱子，留给水的底面积就只剩 3,000 − 500 = 2,500 平方厘米，所以那 60,000 立方厘米的水，现在深度是 60,000 ÷ 2,500 = 24 cm。这个答案只有在柱子高过 24 cm 时才成立，所以要检查。算出任何答案之前，先把新的水深和水箱的高度比一比：如果比水箱还高，多出来的部分就溢出去了。全程都用厘米和立方厘米计算，最后才换成升。

水在水箱之间流动时，体积不变，只有底面积不同。两个在底部用管子相连的水箱，最后水深会相同，所以水深等于总体积除以总底面积。一个底面积 2,000 平方厘米、水深 30 cm 的水箱，与一个底面积 1,000 平方厘米的空水箱相连，水的总体积是 60,000 立方厘米，两个水箱最后的水深都是 60,000 ÷ 3,000 = 20 cm。

水龙头以固定的速率注水，例如每分钟 8 升，在侧壁垂直的水箱里，水深就会以固定的速度上升：第一个水箱每分钟上升 8,000 ÷ 4,000 = 2 cm。水深对时间的图形是一条直线，它的斜率等于注水速率除以底面积。两个水龙头同时注水，速率相加；一个注水、另一个排水，速率相减；上面比较窄的水箱，在窄的部分水面上升得更快，所以它的图形是两段直线，到水箱变窄的地方会变得更陡。速率 和 折线图 各自说明这两个概念。

怎么求表面积？

表面积是立体图形外侧所有面的面积总和，体积则是里面能装多少。求表面积时，先把立体图形摊开成展开图，让每个面都平放，再把各个面的面积加起来。一个长 5 cm、宽 3 cm、高 2 cm 的长方体，有三组相同的面：5 × 3 = 15、5 × 2 = 10、3 × 2 = 6 平方厘米。每个面都有一个对面，所以把总和乘以 2：2 × (15 + 10 + 6) = 62 平方厘米。展开只是移动各个面而不拉伸它们，所以面积不变。曲面必须先摊平，或另用公式：圆柱的侧面摊开是一个长方形，球则完全不能摊平。没有盖子的开口盒子少一个面，所以要把盖子那一面省掉。可以数面数来检查：长方体有六个面，上面的算式用了 2 × 3 = 6。

用字母来写，长方体的表面积是 2(lw + lh + wh)。详见 长方体的表面积。

把圆柱想成一个罐头：有上盖、下底，和弯曲的标签。把标签撕下来，就是一个高为 h 的长方形，它的宽是圆周长 $2\pi r$2πr，所以侧面积是 $2\pi$2πrh。再加上两个圆形底面，每个是 $\pi r^2$πr²，所以整个表面积是 $2\pi r^2+2\pi$2πr² + 2πrh。详见 圆柱的表面积。

圆锥有两种高。垂直高 h 是从底面圆心笔直向上到顶点的高度。斜高 l 是从顶点沿斜面向下到底面圆边缘的长度。半径、垂直高和斜高构成一个直角三角形，所以 $l^2=h^2+r^2$l² = h² + r²，这是毕氏定理。半径 3、垂直高 4 的圆锥，斜高是 5。 详见 圆锥的斜高。

圆锥的侧面积是 $\pi rl$πrl。把它沿着斜高剪开再摊平，会得到一个半径为 l 的扇形，它的弧长就是底面圆周 $2\pi r$2πr，所以它的面积是 $\frac{r}{l}$r/l 乘 $\pi l^2$πl²，也就是 $\pi rl$πrl。再加上底面 $\pi r^2$πr² 就是整个圆锥的表面积。球无法摊平，它的表面积是 $4\pi r^2$4πr²。详见 圆锥与球。

怎么在纸上画立体图形？

立体图形画在纸上，可以画成从固定方向看的三张平面视图，也可以画成等角点阵纸上的一幅图。俯视图是从正上方看的视图，正视图是从正前方看的视图，侧视图是从侧面看的视图。每张视图都是平的，所以长度可以量得很准。以一个长 4 cm、宽 2 cm、高 3 cm 的长方体来说，俯视图是 4 乘 2 的长方形，正视图是 4 乘 3，侧视图是 2 乘 3。沿着一个方向直直看过去，会看不到那个方向的深度，只留下两个真实的长度。反过来由视图还原立体比较难，因为正方体和圆柱可以有相同的正方形正视图，所以要三张视图一起用。每个长度都会出现在两张视图中，这就是一个检验：长度 4 在俯视图和正视图里都出现，而俯视图的面积是 4 × 2 = 8 平方厘米。

详见 俯视图与立面图。

在等角点阵纸上，立体图形画在同一幅图里：每条棱都沿着三个方向中的一个，从一个点走到下一个点。详见 在点阵上画立体图形。

图形放大或缩小时，面积和体积会怎么变？

把一个图形的每个长度都乘以 k，它的面积会乘以 $k^2$k²，体积会乘以 $k^3$k³。一个棱长 2 cm 的正方体，每个面是 4 平方厘米，体积是 8 立方厘米。把它放大 3 倍，每个面变成 6 × 6 = 36，是原来的 9 倍，体积变成 6 × 6 × 6 = 216，是原来的 27 倍。面积是两个长度相乘，每个长度都放大 k 倍，所以面积放大 k × k 倍。体积是三个长度相乘，所以放大 k × k × k 倍。已知面积比，取平方根就得到长度比；已知体积比，取立方根。体积比为 8 : 27 的两个相似水壶，高度比是 2 : 3。用小正方体检验：27 × 8 = 216，9 × 4 = 36。

把一个箱子的每个长度都加倍：要包住它需要 4 倍的纸，能装的东西是 8 倍。 详见 面积和体积的缩放。

关于立体图形，两个值得知道的结果

欧拉公式说，对任何由平面围成、没有洞的立体图形，顶点数 − 棱数 + 面数 = 2。正方体有 8 个顶点、12 条棱、6 个面：8 − 12 + 6 = 2。把它拉成长方体，这些数目都不变，而四棱锥是 5 − 8 + 5 = 2。详见 多面体的欧拉公式。

正多面体（柏拉图立体）的每个面都是同一种正多边形，而且每个顶点处相会的面数都相同。每个顶点至少要有三个面相会，而且这些角的和必须小于 360°，否则这个顶点就会摊平。正三角形的角是 60°，所以可以有 3、4 或 5 个面相会。正方形的角是 90°，正五边形的角是 108°，所以两者都只能有 3 个面相会。三个正六边形已经凑成 360°，所以正六边形根本无法形成顶点。这样就只剩下恰好五种可能的顶点，而每一种都能做成一个立体。详见 为什么柏拉图立体恰好有五种。

遇到没见过的立体图形，怎么下手？

先判断这个立体的两端是否互相平行。如果是，它就是棱柱，不管截面看起来多奇怪，体积都是截面积乘以长度。如果它逐渐缩小到一个点，它就是棱锥或圆锥，体积是包住它的棱柱的三分之一。

如果两者都不是，例如圆柱上面放一个半球，就在接合处把它拆开，分别处理每一块。体积可以相加，因为各块占据不同的空间。表面积就不能直接相加，因为两块接合时，各自会藏起一个面：半球与圆柱相接的那个圆，不属于任何一边的总表面积。

当同一题要求两个答案时，单位要分开：体积用 cm³，表面积用 cm²。详见 体积与表面积的综合运用。

值得点名的错误

• 把斜高用在体积，或把垂直高用在侧面积。 先用毕氏定理换算：$l^2=h^2+r^2$l² = h² + r²。
• 把体积放大的倍数当成长度的倍数。 长度加倍，体积是原来的 8 倍，不是 2 倍。
• 忘了圆柱的两个底面。 没有盖的管子只有一个曲面。封闭的罐子有三个面：侧面和两个圆。
• 漏掉圆锥或棱锥的三分之一。 逐渐缩小到一个点的立体，体积是包住它的棱柱的三分之一。

这个主题接续 图形、面积与周长，用到 直线、角和毕氏定理里直角三角形的做法，接着通往 全等、圆的定理与变换，缩放规则会在那里以相似立体的面积比与体积比的形式再次出现。