代数式、指数与根式

更新 2026年10月7日

代数就是用字母代替其中一些数字的算术。它的规则就是算术的规则，只是写成能同时适用于每一个数的形式。

字母代表什么？

代数里的字母代表一个可以变化的数，或一个还不知道的数。数字写在字母旁边表示相乘，所以 3n 表示 3 × n，$n^2$n² 表示 n × n，$\frac{n}{4}$n/4 表示 $n/4$n / 4。详见 代数记法。要求一个式子的值，就把每个字母换成它代表的数，再按运算顺序计算。当 n = 5 时，3n + 2 是 3 × 5 + 2 = 17，$n^2$n² 是 5 × 5 = 25。字母只是占位符，所以算术的每一条规则对它底下的数依然成立。乘方比它前面的乘法先算，所以 $2n^2$2n² 先把 n 平方：n = 5 时它是 2 × 25 = 50，而不是 10 × 10 = 100。用第二个值检验结果：当 n = 1 时，3n + 2 得 3 + 2 = 5。

把数放进字母所在的位置，叫做代入。详见 代入。

解方程时，对等号两边做同样的运算，直到字母单独留在一边。对于 3x + 7 = 22，两边先减 7，再同除以 3：x = 5。详见 解一元一次方程和方程与不等式指南（英文）。

怎么合并同类项？

同类项的字母部分完全相同，次方也相同，合并时把前面的数字相加。字母部分保持不变：3x + 5x = 8x，就像 3 个苹果加 5 个苹果是 8 个苹果。在 4a + 7b − a + 2b 中，a 项合起来是 3a，b 项合起来是 9b，所以式子化简为 3a + 9b。前面的数字叫系数，它数的是字母部分有几份，所以合并只是把这些份数加总。详见 同类项。字母部分不同的项要分开写，所以 3x + 5y 和 $3x+3x^2$3x + 3x² 都不能再化简：x 和 $x^2$x² 是不同的量，就像长度和面积。每个正负号都属于它后面的那一项。用数字试试结果：a = 2、b = 1 时，原式得 8 + 7 − 2 + 2 = 15，3a + 9b 得 6 + 9 = 15。

展开括号

展开一个括号，就是把括号外的项乘以括号内的每一项：4(2x + 3) = 8x + 12。这是分配律，也正是 4 × 23 = 80 + 12 背后的道理。详见 展开括号。

有两个括号时，第一个括号的每一项都要乘以第二个括号的每一项，然后合并同类项：$\left(x+3\right)\left(x+5\right)=x^2+5x+3x+15=x^2+8x+15$(x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15。详见 展开两个括号。

怎么因式分解？

因式分解是把一个和写成一个积，所以它就是反过来的展开。先把每一项的最大公因数提到括号外面。对于 6x + 9，两个数都有因数 3，所以 6x + 9 = 3(2x + 3)。对于 $12x^2+8x$12x² + 8x，两项都含 4x，得到 4x(3x + 2)。这行得通，是因为乘法对加法有分配律：3 个 2x 加 3 个 3，等于 3 个括号。详见 提公因数因式分解。但 $x^2+7x+12$x² + 7x + 12 没有公因数，所以要写成两个括号：找出相乘得 12、相加得 7 的两个数。它们是 3 和 4，因为 3 × 4 = 12 且 3 + 4 = 7，得到 (x + 3)(x + 4)。代一个值来检查：x = 1 时，$12x^2+8x$12x² + 8x 是 12 + 8 = 20，4x(3x + 2) 是 4 × 5 = 20。

要分解 $x^2+bx+c$x² + bx + c，就找相乘得 c、相加得 b 的两个数。对于 $x^2+8x+15$x² + 8x + 15，3 × 5 = 15 且 3 + 5 = 8，所以它等于 (x + 3)(x + 5)。详见 二次式因式分解。

当 $x^2$x² 前面有系数时，这两个数要相乘得 a × c。对于 $2x^2+11x+15$2x² + 11x + 15，a × c 是 30，而 5 + 6 = 11。把中间项拆成 6x + 5x，再两两分组提公因数：2x(x + 3) + 5(x + 3)。括号 (x + 3) 出现了两次，把它提出来：(2x + 5)(x + 3)。详见 分组分解因式和带首项系数的二次式因式分解。

值得一眼认出的恒等式

有三个展开式值得一看就认得。详见 代数恒等式。

• ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$(a + b)² = a² + 2ab + b²
• ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$(a − b)² = a² − 2ab + b²
• $a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$a² − b² = (a + b)(a − b)，即平方差公式，由它可得 $97\times 103=100^2-3^2=9$97 × 103 = 100² − 3² = 9,991。

两个立方的和或差也能分解：$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)。详见 两个立方数的和与差。如果两个式子对每一个 x 都相等，那么它们的 $x^2$x² 项、x 项和常数项分别相等，每个未知数就各得到一条方程。详见 通过比较系数求未知系数。

指数法则有哪些？

指数数的是底数有几个相乘：$2^3=2\times 2\times 2=8$2³ = 2 × 2 × 2 = 8，而不是 6。各条法则都从这个个数推出。同底数的幂相乘，指数相加：$x^3\times x^4=x^7$x³ × x⁴ = x⁷，三个再并排四个。相除则指数相减：$x^5/x^2=x^3$x⁵ / x² = x³，因为有两个互相消去。所以 $2^4\times 2^2$2⁴ × 2² 就是 $2^6$2⁶，而 16 × 4 确实等于 64。详见 指数记法和指数法则。这些法则只在底数相同时适用。$2^3\times 3^2$2³ × 3² 不能合成一个幂，所以要分别算出每一部分：8 × 9 = 72。加法也不遵守这些法则：$2^3+2^3$2³ + 2³ 不是 $2^6$2⁶，因为 8 + 8 = 16，也就是 $2^4$2⁴。在新题目上使用一条法则之前，先用小数字试一试：$3^2\times 3=27$3² × 3 = 27，而 3 × 3 × 3 = 27。

幂的幂，指数相乘：${\left(x^3\right)}^4=x^{12}$(x³)⁴ = x¹²，四组各三个。详见 幂的幂。

减法法则得到 $2^3/2^3=2^0$2³ / 2³ = 2⁰，直接相除则是 8 ÷ 8 = 1，所以 $2^0=1$2⁰ = 1。再往前一步，$2^2/2^3=2^{-1}=\frac{1}{2}$2² / 2³ = 2⁻¹ = 1/2：负指数表示这个幂的倒数。详见 零指数和负指数。

平方根是平方的逆运算，所以 $\sqrt{25}=5$√25 = 5；立方根是立方的逆运算，所以 $\sqrt[3]{27}=3$∛27 = 3。详见 平方和平方根和立方和立方根。

分数指数就是开方：$x^{\frac{1}{2}}\times x^{\frac{1}{2}}=x^1$x^(1/2) × x^(1/2) = x¹，所以 $x^{\frac{1}{2}}$x^(1/2) 是 x 的平方根，而 $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=4$8^(2/3) = (∛8)² = 4。详见 分数指数。

乘方在括号之后、乘法之前计算，所以 $3\times 2^2=12$3 × 2² = 12，而不是 36。详见 运算顺序中的幂。

科学记数法

科学记数法把一个数写成 1 到 10 之间的数乘以 10 的乘幂：$4,700,000=4.7\times 10^6$4,700,000 = 4.7 × 10⁶，以及 $0.00032=3.2\times 10^{-4}$0.00032 = 3.2 × 10⁻⁴。详见 科学记数法。

相乘时，前面的数相乘、10 的指数相加，再把前面的数调回 10 以下：$\left(3\times 10^5\right)\times \left(4\times 10^3\right)=12\times 10^8=1.2\times 10^9$(3 × 10⁵) × (4 × 10³) = 12 × 10⁸ = 1.2 × 10⁹。详见 科学记数法的运算。

什么是根式？

根式（也叫无理根式）是开不尽的方根，结果既不是整数也不是分数。它的小数永远写不完，所以 $\sqrt{2}$√2 是精确值，而 1.414 只是近似值。化简根式时，把根号里的数拆成一个平方因数和剩下的部分，再把平方因数开出来：$\sqrt{12}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$√12 = √4 × √3 = 2√3。对于 $\sqrt{50}$√50，最大的平方因数是 25，所以 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$√50 = √25 × √2 = 5√2。积的方根等于方根的积，所以可以这样拆。详见 根式。一定要用最大的平方因数；把 $\sqrt{72}$√72 拆成 $\sqrt{4}\times \sqrt{18}$√4 × √18，根号里还留着一个平方数 $\sqrt{18}$√18，还得继续化简到 $6\sqrt{2}$6√2。和不能这样拆：$\sqrt{9}+\sqrt{16}$√9 + √16 是 3 + 4 = 7，但 $\sqrt{9+16}$√(9 + 16) 是 $\sqrt{25}$√25，也就是 5。化简完可以把结果平方来检查：$5\sqrt{2}$5√2 的平方是 25 × 2 = 50，正好是原来的数。

根号里相同的根式可以像同类项一样相加：$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$2√3 + 5√3 = 7√3，而 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$√2 + √3 就保持原样。相乘时把根号合并：$\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$√2 × √8 = √16 = 4。详见 根式的加法与乘法。

分母有理化时，把分子和分母同乘以那个根号：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$1/√3 = √3/3。如果分母是 $2+\sqrt{5}$2 + √5，就改为两者同乘 $2-\sqrt{5}$2 − √5；平方差公式让分母变成 4 − 5 = −1，所以 $\frac{1}{\left(2+\sqrt{5}\right)}=\sqrt{5}-2$1/(2 + √5) = √5 − 2。详见 分母有理化。

代数分数

代数分数遵守一般分数的规则，只多一步：约分之前先因式分解，因为只有整个分子和整个分母共有的因式才能约掉：$\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(x+3\right)}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)}=x-3$(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3。详见 代数分数。

相加需要公分母，就像 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$1/2 + 1/3 一样：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\left(x+y\right)}{xy}$1/x + 1/y = (x + y)/xy。详见 代数分数的加法与乘法。

一步一步化简一个式子

化简 ${\left(2x^2{y}^3\right)}^3/\left(4x^4{y}^2\right)$(2x²y³)³ / (4x⁴y²)。先处理括号，再处理数字，最后逐个处理字母。

1. 展开乘方。括号外的指数作用在括号内的每一个因数上，包括 2：${\left(2x^2{y}^3\right)}^3=8x^6{y}^9$(2x²y³)³ = 8x⁶y⁹。
2. 数字相除：8 ÷ 4 = 2。
3. 逐个字母把指数相减：$x^6/x^4=x^2$x⁶ / x⁴ = x² 和 $y^9/y^2=y^7$y⁹ / y² = y⁷。
4. 写出答案：$2x^2{y}^7$2x²y⁷。

用代入法检查。取 x = 1、y = 2，原式得 $16^3/16=256$16³ / 16 = 256，答案得 2 × 128 = 256。一次相符不能证明答案正确，但一次不符就证明有错。

值得点名的四个错误

• 漏掉中间项。${\left(a+b\right)}^2$(a + b)² 等于 $a^2+2ab+b^2$a² + 2ab + b²，而不是 $a^2+b^2$a² + b²。

• 约掉一个项。在 $\frac{\left(x+3\right)}{3}$(x + 3)/3 中，两个 3 不能约掉；3 不是整个分子的因数。
• 底数不同却把指数相加。$x^3\times y^3$x³ × y³ 等于 ${\left(xy\right)}^3$(xy)³，而不是 $x^6$x⁶。

• 科学记数法超出范围。$12\times 10^8$12 × 10⁸ 要整理成 $1.2\times 10^9$1.2 × 10⁹。

接下来通往哪里

这些规则是解方程的工具，也就是方程与不等式（英文）的主题。一个方根是不是无理数，要在数论中解决；这些规则所推广的算术，则在算术方法中。

相关指南：比、速率与比例。