微分法则

更新 2026年10月7日

用第一原理求导很慢。每一条法则，都是把那个极限针对一种式子的形状算过一次。真正的功夫在于认出形状：幂、乘积、商，还是一个函数套在另一个函数里。

$\frac{dy}{dx}$dy/dx 到底是什么意思？

$\frac{dy}{dx}$dy/dx 是在某一个瞬间 y 随 x 改变的速率，也就是某一点切线的斜率。要求它，就取一条弦的斜率，再让弦缩短。看 $y=x^2$y = x²：从 x 到 x + h 的弦上升了 ${\left(x+h\right)}^2-x^2$(x + h)² − x²，也就是 $2xh+h^2$2xh + h²，除以水平距离 h 剩下 2x + h。当 h 缩到 0，它稳定在 2x，所以在 x = 3 处斜率是 6。这个值是精确的，不是估计值：每条弦的斜率都是 2x + h，而 2x 是它们全都趋近的唯一一个数。立方需要多一点代数，但不需要新的想法，因为 ${\left(x+h\right)}^3-x^3$(x + h)³ − x³ 除以 h 是 $3x^2+3xh+h^2$3x² + 3xh + h²，它稳定在 $3x^2$3x²。检查一下：从 3 到 5 的弦斜率是 (25 − 9) ÷ 2 = 8，等于 6 + 2，也就是切线斜率加上 h。

莱布尼茨写成 $\frac{dy}{dx}$dy/dx，拉格朗日写成 f'(x)，读作“f 撇”。单独出现的 $\frac{d}{dx}$d/dx 是一个指令：对后面跟着的东西求导。

用第一原理时，写出步长 h 对应的上升量，除以 h，化简，然后才让 h 趋近 0。

详见 导数作为极限、导数的记法和用定义求导。

导数在哪里不存在？

只要曲线没有唯一的一条切线，导数就不存在：在尖角、在垂直切线处，或在断开处。看 y = |x| 在 0 处。从 0 到 h 的弦斜率是 |h| ÷ h，对每个正的 h 都是 1，对每个负的 h 都是 −1。两侧趋近不同的值，而导数是一个极限，只有两侧一致时才存在。垂直切线以另一种方式失效。对 x 的立方根在 0 处，到 8 的弦斜率是 $2÷8=\frac{1}{4}$2 ÷ 8 = 1/4，到 1 的弦斜率是 1，到 $\frac{1}{8}$1/8 的弦斜率是 4，所以这些值无限增大。在跳跃处，函数连连续都不是，弦的斜率在那里也会爆增。离开尖角，|x| 就是一条直线，从 2 到 3 的弦斜率是 3 − 2 = 1，这就是它在那里的导数。

y = |x| 在 0 处没有导数。左侧斜率是 −1，右侧是 +1。

什么是幂法则？

幂法则说 $x^n$xⁿ 的导数是 $n{x}^{n-1}$nxⁿ⁻¹：把次方拿下来当乘数，再把次方减一。对于 $y=x^4$y = x⁴，$\frac{dy}{dx}=4x^3$dy/dx = 4x³，在 x = 2 处斜率是 $4\times 2^3=32$4 × 2³ = 32。前面的数字留在前面，所以 $5x^3$5x³ 变成 $15x^2$15x²，而和则逐项求导。这条法则来自第一原理：展开 ${\left(x+h\right)}^n$(x + h)ⁿ 得到 $x^n+n{x}^{n-1}h$xⁿ + nxⁿ⁻¹h 加上含 $h^2$h² 及更高次的项，所以弦的斜率是 $n{x}^{n-1}$nxⁿ⁻¹ 加上仍然带着 h 的项，而这些项在极限中消失。法则对每一个实数次方都成立，所以根号和倒数只要多做第一步：把它们改写成幂。于是 $\frac{1}{x^2}$1/x² 就是 $x^{-2}$x⁻²，求导变成 $-2x^{-3}$−2x⁻³。常数的导数是 0，因为 5 就是 $5x^0$5x⁰。检查一下：$x^4$x⁴ 从 2 到 3 的弦斜率是 81 − 16 = 65，远大于 32，因为曲线越来越陡。

$x^5\to 5x^4$x⁵ → 5x⁴. $\frac{1}{x}=x^{-1}\to -x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$1/x = x⁻¹ → −x⁻² = −1/x². $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\to \left(\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)}$√x = x^(1/2) → (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).

先把倒数或根号改写成幂，再做同样的两步。

直线 y = mx + c 处处斜率都是 m，所以它的导数是 m。

所以根据和的法则与常数倍法则，$4x^3-7x+2$4x³ − 7x + 2 的导数是 $12x^2-7$12x² − 7。详见 幂法则、一次函数的导数和常数倍法则和和法则。

什么时候用乘积法则？

两个 x 的函数相乘时，用乘积法则。如果 y = uv，那么 $\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$dy/dx = u dv/dx + v du/dx：轮流对每个因式求导，另一个保持不动，再相加。对于 $y=x^2\sin x$y = x² sin x，取 $u=x^2$u = x²、v = sin x，所以 $\frac{dy}{dx}=x^2\cos x+2x\sin x$dy/dx = x² cos x + 2x sin x。这条法则成立，是因为因式的微小变化让长方形 uv 多出两条：u 乘以 v 的变化量，和 v 乘以 u 的变化量，再加上一个除以步长后就消失的角落。三个因式就有三项，每一项只对其中一个因式求导。分式 $\frac{u}{v}$u/v 要用商法则，它的分子是一个减法，所以顺序很重要。用 $y=x\times x^3$y = x × x³ 试试：法则给出 $x^3+3x^3$x³ + 3x³，也就是 $4x^3$4x³，正是 $x^4$x⁴ 的导数，而在 x = 1 处两项相加为 1 + 3 = 4。

$y=x^2\sin x\to x^2\cos x+2x\sin x$y = x² sin x → x² cos x + 2x sin x.

对于分式 $\frac{u}{v}$u/v，商法则是：$\frac{dy}{dx}=($dy/dx = (vu′ $-u{v}^{\prime })/v^2$− uv')/v²。

如果分母只是单一的幂，就改用幂法则：$\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\to -6x^{-3}$3/x² = 3x⁻² → −6x⁻³。详见 乘积法则和商法则。

什么时候用链式法则？

只要一个函数套在另一个函数里，就用链式法则：先对外层函数求导，内层保持不动，再乘以内层的导数。对于 $y={\left(x^2+1\right)}^3$y = (x² + 1)³，外层是立方，内层是 $x^2+1$x² + 1，所以 $\frac{dy}{dx}=3{\left(x^2+1\right)}^2\times 2x$dy/dx = 3(x² + 1)² × 2x。在 x = 1 处斜率是 $6\times 2^2=24$6 × 2² = 24。用莱布尼茨记法，$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$dy/dx = dy/du × du/dx，其中 u 是内层；两个变化率相乘，是因为 x 的一步先在变成 u 时被放大一次，再在变成 y 时又被放大一次。套得更深，每一层就多一个因子，所以 ${\sin }^2\left(3x\right)$sin²(3x) 的导数是 2 sin(3x) × cos(3x) × 3。一次式的内层只贡献它的系数。要确认第一个结果，把立方展开成 $x^6+3x^4+3x^2+1$x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1，求导得 $6x^5+12x^3+6x$6x⁵ + 12x³ + 6x，代入 x = 1：6 + 12 + 6 = 24。

1. 把式子读成“先做这个，再做那个”。${\left(3x+1\right)}^5$(3x + 1)⁵ 的意思是先把 3x 加 1，再把结果取五次方。
2. 对外层求导，内层保持原样：$5{\left(3x+1\right)}^4$5(3x + 1)⁴。
3. 乘以内层的导数，也就是 3：$15{\left(3x+1\right)}^4$15(3x + 1)⁴。

$\sin \left(x^2\right)\to \cos \left(x^2\right)\times 2x$sin(x²) → cos(x²) × 2x.

最后那次乘法，是最常被漏掉的一步。

详见 链式法则。

三角函数怎么求导？

正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，前提是角度用弧度。所以 y = 3 sin x + 2 cos x 的导数是 3 cos x − 2 sin x，在 x = 0 处的斜率是 3 × 1 − 2 × 0 = 3。求导四次会回到正弦：sin、cos、−sin、−cos、sin。这条法则创建在一个极限上：当 h 缩小时，$\sin h/h$sin h / h 趋近 1，而这只在弧度下成立。展开 sin(x + h)，减去 sin x，再除以 h，剩下的恰好是 cos x。用角度的话，那个极限是 $\frac{\pi }{180}$π/180，每个导数都会带着这个因子。角度前面有系数时要用链式法则，所以 sin 5x 的导数是 5 cos 5x，而不是 cos 5x。图形也吻合：正弦在 $\frac{\pi }{2}$π/2 达到最高点，那里切线是平的，余弦是 0；它以斜率 cos 0 = 1 穿过原点往上爬。

证明用到极限与连续（英文）里 sin x / x 的极限。

tan x = sin x / cos x，所以适用商法则。分子是 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$cos²x + sin²x，等于 1，而 $1/{\cos }^{2}x$1 / cos²x 就是 ${\sec }^{2}x$sec²x。

同样的方法得到 $\sec x\to \sec x\tan x$sec x → sec x tan x、$\mathrm{cosec}x\to -\mathrm{cosec}x\cot x$cosec x → −cosec x cot x 和 $\cot x\to -{\mathrm{cosec}}^{2}x$cot x → −cosec²x。详见 三角函数的导数和tan x和倒数比的导数。

e 是什么，为什么重要？

e 是一个约等于 2.718 的数，它让 $y=e^x$y = eˣ 在每一点的斜率都等于它的高度，所以 $e^x$eˣ 的导数就是它自己。每个指数函数 $b^x$bˣ 的斜率都和它的高度成正比；当 $2^x$2ˣ 时这个常数小于 1，当 $3^x$3ˣ 时大于 1，而 e 是两者之间让它恰好等于 1 的底数。这很重要，因为以和大小成正比的速率增长——例如人口和冷却——可以用 $e^x$eˣ 写出，不带任何多余的常数，而它的反函数 ln x 有简单的导数 $\frac{1}{x}$1/x。任何其他底数都是乔装的 e，因为 $b^x=e^{x\ln b}$bˣ = e^(x ln b)，所以链式法则给出导数 $b^x\ln b$bˣ ln b。指数里的系数会乘出来：$e^{3x}$e^(3x) 的导数是 $3e^{3x}$3e^(3x)。切线可以说明这一点：因为斜率等于高度，每条切线都在它的切点左边一个单位处和 x 轴相交，所以 x = 1 处的切线在 1 − 1 = 0 处穿过 x 轴。

对于 ln x，写成 $e^y=x$eʸ = x，两边同时求导：$e^y\frac{dy}{dx}=1$eʸ dy/dx = 1，所以 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$dy/dx = 1/eʸ = 1/x。

以任何 a 为底的对数都是 $\ln x/\ln a$ln x / ln a，所以 ${\log }_{a}x$logₐ x 的导数是 $\frac{1}{\left(x\ln a\right)}$1/(x ln a)。

详见 数e、指数函数和对数函数的导数和$a^x$aˣ 与 ${\log }_{a}x$logₐ x 的微分。

如果方程没有解出 y 呢？

每一项照原样对 x 求导，再解出 $\frac{dy}{dx}$dy/dx；这就是隐函数微分法。含 y 的项照常求导，并根据链式法则多出一个因子 $\frac{dy}{dx}$dy/dx，因为 y 取决于 x。对于圆 $x^2+y^2=25$x² + y² = 25，这得到 $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$2x + 2y dy/dx = 0，所以 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$dy/dx = −x/y，在 (3, 4) 处斜率是 $-\frac{3}{4}$−3/4。几何也吻合：到 (3, 4) 的半径斜率是 $\frac{4}{3}$4/3，切线和半径垂直，而 $\left(\frac{4}{3}\right)\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-1$(4/3) × (−3/4) = −1。同时含有两个字母的项要用乘积法则。对于 xy = 12，求导得 $y+x\frac{dy}{dx}=0$y + x dy/dx = 0，所以 $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$dy/dx = −y/x，在 (3, 4) 处是 $-\frac{4}{3}$−4/3。从来不需要先整理方程，而像 $y^5+y=x$y⁵ + y = x 这样的曲线根本整理不出来。两条曲线都通过 (3, 4)，因为 9 + 16 = 25、3 × 4 = 12。

解之前，先把含 $\frac{dy}{dx}$dy/dx 的项集中到同一边。

$x^2+y^2=25\to 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\to \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$x² + y² = 25 → 2x + 2y dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.

详见 隐函数求导。

反函数怎么求导？

反函数在对应点的斜率是原函数斜率的倒数：如果 f(a) = b，那么 ${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }\left(b\right)=1/f^{\prime }\left(a\right)$(f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a)。看 $f\left(x\right)=x^3$f(x) = x³，其中 f(2) = 8。$x^3$x³ 在 2 处的斜率是 $3\times 2^2=12$3 × 2² = 12，所以立方根在 8 处的斜率是 $\frac{1}{12}$1/12。这行得通，是因为反函数是原函数对直线 y = x 的镜射，而这个镜射把上升和水平距离对调，让每个斜率都上下颠倒。同样的一步可以从 $e^x$eˣ 得出 ln x：$e^x$eˣ 的斜率是 $e^2$e²（在 $\left(2,e^2\right)$(2, e²) 处），所以 ln x 的斜率是 $\frac{1}{e^2}$1/e²（在 $x=e^2$x = e² 处），在那里就是 $\frac{1}{x}$1/x。在 f'(a) = 0 的地方这条规则失效：$x^3$x³ 在 0 处是平的，所以立方根在那里有垂直切线。直接把立方根写成 $x^{\frac{1}{3}}$x^(1/3) 求导，得到 $\left(\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{2}{3}}$(1/3)x^(−2/3)，在 8 处是 $\left(\frac{1}{3}\right)\times \left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}$(1/3) × (1/4) = 1/12。

对于 ${\sin }^{-1}x$sin⁻¹ x，先把反函数拆掉：sin y = x。两边求导：$\cos y\frac{dy}{dx}=1$cos y dy/dx = 1，所以 $\frac{dy}{dx}=1/\cos y$dy/dx = 1 / cos y，再用毕氏定理把 cos y 换成 $\sqrt{1-x^2}$√(1 − x²)。

对 tan y = x 做同样的步骤，得到 $\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²)。这两个导数都是代数式，所以那种形状的积分，答案会是反三角函数。

再求导一次就得到二阶导数，f''(x) 或 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$d²y/dx²：斜率变化的速率。对于 $y=x^2$y = x²，斜率 2x 求导得 2。

二阶导数为正，表示曲线像碗一样向上弯，这正是微分的应用（英文）中判断极大值和极小值的检定。详见 反函数的导数、${\sin }^{-1}x$sin⁻¹ x 与 ${\tan }^{-1}x$tan⁻¹ x 的微分和高阶导数。

什么是双曲函数？

双曲函数由指数函数组成：$\cosh x=\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)}{2}$cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2、$\sinh x=\frac{\left(e^x-e^{-x}\right)}{2}$sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 和 $\tanh x=\sinh x/\cosh x$tanh x = sinh x / cosh x。因为 $e^0$e⁰ 等于 1，所以 cosh 0 = 1、sinh 0 = 0。直接从 $e^x$eˣ 求导，sinh x 的导数是 cosh x，cosh x 的导数是 sinh x，没有负号，这点和余弦不同。名称来自 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$cosh²x − sinh²x = 1：点 (cosh t, sinh t) 落在双曲线 $x^2-y^2=1$x² − y² = 1 上，就像 (cos t, sin t) 落在圆 $x^2+y^2=1$x² + y² = 1 上。大多数恒等式都照抄三角恒等式，但根据奥斯本法则，凡是出现两个正弦相乘的地方，正负号就要改变，所以 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$cos 2x = 1 − 2 sin²x 变成 $\cosh 2x=1+2{\sinh }^{2}x$cosh 2x = 1 + 2 sinh²x。试试 x = ln 2：那么 $e^x=2$eˣ = 2 且 $e^{-x}=\frac{1}{2}$e⁻ˣ = 1/2，所以 $\cosh x=\frac{5}{4}$cosh x = 5/4 且 $\sinh x=\frac{3}{4}$sinh x = 3/4，而 $\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$25/16 − 9/16 = 1。

一条在自身重量下自然下垂的链子会形成 cosh 曲线，叫做悬链线。

要证明 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$cosh²x − sinh²x = 1，把两个定义平方：$e^x$eˣ 和 $e^{-x}$e⁻ˣ 的平方在相减时互相抵消，而中间项 $\frac{1}{2}$1/2 和 $-\frac{1}{2}$−1/2 剩下 1。

tanh x 的导数是 $1/{\cosh }^{2}x$1 / cosh²x，也就是 sech²x。

反双曲函数都是对数。写成 x = sinh y，每一项乘以 $e^y$eʸ，得到一个关于 $e^y$eʸ 的二次方程，解出来，舍去负根，再取对数：arsinh $x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$x = ln(x + √(x² + 1))。arcosh 只保留 $x\ge 0$x ≥ 0，因为 cosh 对每个大于 1 的值都取到两次。详见 sinh、cosh 和 tanh、恒等式 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$cosh²x − sinh²x = 1、sinh x和cosh x的导数、反双曲函数和用对数表示反双曲函数。

值得点名的错误

• 忘了内层的导数。链式法则的最后一步是一次乘法。
• 对乘积逐个因式求导。uv 的导数不是 u'v'。
• 把商法则的分子颠倒。vu′ 在前。
• 用角度。只有在弧度下，sin x 的导数才是 cos x。
• 隐函数微分前先整理方程。没有任何曲线需要这样做，有些曲线根本整理不出来。

这些法则背后的极限在极限与连续（英文）中，导数的用法在微分的应用（英文）中，而把每条法则倒过来用就是积分技巧。相关指南：偏微分。