逻辑与证明

更新 2026年10月7日

证明是一个一次涵盖所有情形的论证，包括永远不会有人去检查的那些情形。检查一千个情形只是证据，证明才能把问题解决。下面的方法就是这种论证可能采取的几种形式。

数学论证由哪些部分组成？

数学论证由几种命题组成。定义固定一个词的意义；它是一种选择，所以无所谓真假。命题是一个不是真就是假的主张。定理是已经证明的命题，引理是为了证明更大的定理而先证出的较小定理，推论则是从定理出发一两步就能得到的结果。把 3 的倍数定义为 3k，其中 k 是整数。那么“两个 3 的倍数的和是 3 的倍数”，在证明了 3a + 3b = 3(a + b) 之后就成为一个定理，而对三个倍数的同样主张就是一个推论。这些名称之所以重要，是因为证明只能使用定义和已经证明的命题。猜想看起来是真的，但还没有证明。一个例子不是证明：6 + 9 = 15 只是说明了这个定理，并没有证明它。

所以争论 1 是不是质数是没有结果的。这个定义把 1 排除在外，是为了让每个正整数都恰好有一种质因数分解。这是一个选择，不是一个发现。

命题可以用 and、or 和 not 连接，而真值表会列出真和假的每一种组合，把每个连接词精确地决定下来。在数学里，or 是包含式的：P or Q 在两者都成立时也是真的。

一个命题的否定恰好在该命题为假时为真，而且不能否定得比这更多。x > 5 的否定是 $x\le 5$x ≤ 5，不是 x < 5，因为 x = 5 从来没有被排除。在否定之下，and 变成 or，or 变成 and。这就是德摩根定律。

详见 定义、命题与定理、逻辑联结词与真值表和命题的否定。

为什么逆否命题成立，逆命题却不一定？

条件命题“若 P 则 Q”只在一种情形下为假：P 为真而 Q 为假。逆否命题“若非 Q 则非 P”恰好也在这个情形下为假，所以只要原命题为真，它就为真。逆命题“若 Q 则 P”在 Q 为真而 P 为假时为假，那是另一种情形，所以原命题为真时它仍可能为假。以“若一个数的末位是 0，则它能被 5 整除”为例。它的逆否命题“若一个数不能被 5 整除，则它的末位不是 0”为真。它的逆命题“若一个数能被 5 整除，则它的末位是 0”为假：15 = 3 × 5 的末位是 5。当两个方向都成立时，这个命题就是“当且仅当”，而且每个方向都需要各自的证明。对原命题而言，打破它的情形永远不会发生：末位是 0 的数是 10 的倍数，而 10 = 2 × 5。

它写成 $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q，其中 P 是前提，Q 是结论。当 P 为假时，条件命题什么都没有承诺，所以不可能被打破。

用符号来写，逆命题是 $Q\Rightarrow P$Q ⇒ P，逆否命题是 not $Q\Rightarrow$Q ⇒ not P。以“若 n 是 4 的倍数，则 n 是偶数”为例，逆命题在 n = 6 时不成立，而逆否命题“若 n 不是偶数，则 n 不是 4 的倍数”为真。

真值表用四行就能判定。$P\Rightarrow Q$P ⇒ Q 与 not $Q\Rightarrow$Q ⇒ not P 这两列在每一行都一致，所以这两个命题在逻辑上是等价的。逆命题和否命题 not $P\Rightarrow$P ⇒ not Q 也以同样的方式成对。

当 P 保证 Q 时，P 对 Q 是充分的；当没有 P 就不可能有 Q 时，P 对 Q 是必要的。当一个条件既充分又必要时，这个命题读作“P 当且仅当 Q”，要证明它就是要证明 $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q 和 $Q\Rightarrow P$Q ⇒ P。漏掉一个方向，主张就没有证完。

详见 条件命题、逆命题与否命题、逆否命题、必要条件与充分条件和当且仅当。

量词怎样改变一个命题？

量词说明一个主张涵盖多少个对象。“任意”写成 $\forall$∀，对一个集合里的每个对象提出主张；“存在”写成 $\exists$∃，主张至少有一个对象具有这个性质。它们的证明和推翻方式正好相反。任意的主张需要涵盖每一种情形的论证，而一个反例就能推翻它。存在的主张只需要一个例子，要推翻它则必须排除每一种情形。所以“每个质数都是奇数”败在质数 2 手上，而“有些平方数的末位是 6”可以用 4 × 4 = 16 证明。原因在于否定：任意主张的否定是存在主张。量词的顺序会改变意义。“对每个 x 都有一个更大的 y”对整数是真的，因为 y = x + 1 就行，但“有一个 y 比每个 x 都大”主张有一个最大的数，是假的。要否定一个量化的主张，就把量词互换，再否定它后面的内容。

“每个人都有母亲”和“有一个人是所有人的母亲”用了相同的量词，顺序却相反，而只有第一句是真的。

“每只天鹅都是白的”的否定是“有些天鹅不是白的”，不是“没有天鹅是白的”，后者主张的远多得多。

详见 全称量词与存在量词和量化命题的否定。

证明某件事的标准方法有哪些？

大多数证明用六种方法之一：直接证法、逆否证法、穷举证法、反例反证法、唯一性证明和数学归纳法。直接证法假设前提，经过必然成立的步骤走到结论。要证明两个奇数的乘积是奇数，把它们写成 2a + 1 和 2b + 1；它们的乘积是 4ab + 2a + 2b + 1，也就是 2(2ab + a + b) + 1，所以是奇数。例如 7 × 9 = 63 = 2 × 31 + 1。主张的形式决定方法。当前提能用的信息很少时，例如“若 $n^2$n² 是奇数，则 n 是奇数”，就证明它的逆否命题。少数几种情形适合穷举，错误的主张适合用一个反例，而关于每个整数的主张则适合用归纳法。证明只有在每一步都从前面的步骤推出时才算完整，所以每一行都要说明它的根据。

要证明两个偶数的和是偶数，把它们写成 2a 和 2b。和是 2(a + b)，是 2 乘以一个整数，所以是偶数。

逆否证法改证 not $Q\Rightarrow$Q ⇒ not P，当否定后的命题比较容易处理时，这是正确的选择。要证明若 $n^2$n² 是偶数则 n 是偶数，从“n 是奇数”出发：n = 2k + 1，所以 $n^2=4k^2+4k+1$n² = 4k² + 4k + 1，是奇数。这就证明了主张，不需要再多一步。

穷举证法把主张拆成有限个情形，逐一证明。要先检查这些情形没有遗漏。“n 是偶数或奇数”涵盖每个整数。“n 是质数或合数”就没有，因为 1 两者都不是。

反例反证法用一个失败的情形，结束一个一般性的主张。$n^2+n+41$n² + n + 41 在 n 从 0 到 39 时都是质数，但这什么也证明不了。

主张恰好有一个对象存在，需要两个论证：造出一个符合的对象，再取任意两个符合的对象，证明它们相等。数学归纳法证明一个命题在 n = 1 时成立，而且每一个情形都会推出下一个；它在数列与级数指南中讲解。

详见 直接证明、逆否命题证法、穷举证法、举反例证伪、证明存在性与唯一性和数学归纳法证明：1加到n的和。

两个有名字的计数论证

鸽笼原理说：把比箱子数量还多的对象放进箱子里，必有某个箱子至少装了两个。它证明有一对存在，却不说是哪一对，而这常常就是证明所需要的全部。

用双射计数，是把两个集合一对一配对、没有任何剩下，以证明它们大小相同。一个有 n 个元素的集合有 $2^n$2ⁿ 个子集，因为每个子集恰好对应一串 n 个是或否的选择。

详见 鸽笼原理和用双射计数。

哪些不等式值得记住名字？

有四个不等式值得记住名字：三角不等式、算术平均–几何平均不等式、柯西–施瓦茨不等式，以及指数、多项式与对数的增长顺序。当精确值难以求得或不需要时，它们各自给一个量设置界限。算术平均–几何平均不等式用得最多：对非负的 a 和 b，算术平均 $\frac{a+b}{2}$(a + b)/2 至少等于几何平均 $\sqrt{ab}$√(ab)。取 a = 9、b = 1，(9 + 1) ÷ 2 = 5，$\sqrt{9}=3$√9 = 3，而 $5\ge 3$5 ≥ 3。它成立是因为平方永远不是负的：$\sqrt{a}-\sqrt{b}$√a − √b 的平方至少是 0，整理就得到这个不等式。要相等必须 a = b，这就是这个不等式找到最小值的方式。对 x > 0，$x+\frac{1}{x}\ge 2$x + 1/x ≥ 2，最小值出现在 x = 1，因为 x 和 $\frac{1}{x}$1/x 的几何平均是 1。试一个值：x = 4 时，$4+\frac{1}{4}$4 + 1/4 高于 2。

三角不等式说：在任何边长为 a、b、c 的三角形中，$a+b\ge c$a + b ≥ c。写成 $|a+b|\le |a|+|b|$|a + b| ≤ |a| + |b|，它对数、向量和复数都成立。

用符号写，这个不等式是 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$(a + b)/2 ≥ √(ab)，只有在 a = b 时才取等号。证明只是一个平方式：${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$(√a − √b)² ≥ 0，所以 $a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$a − 2√(ab) + b ≥ 0。整理成 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$a + b ≥ 2√(ab)，再把两边除以 2。在面积固定的长方形中，正方形的周长最小。

柯西–施瓦茨不等式说，两个向量的内积至多是它们长度的乘积，$|a\cdot b|\le |a||b|$|a · b| ≤ |a| |b|，因为 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$a · b = |a| |b| cos θ，而余弦值永远不超过 1。

增长顺序说，长期而言，指数会超过任何多项式，而多项式会超过任何对数。很大的次方只会延后交叉点，不会消除它。

详见 三角不等式、算术平均–几何平均不等式、柯西–施瓦茨不等式和多项式、指数与对数增长。

卡住的时候，怎么找出证明？

卡住的时候，用一个解题策略：它是寻找证明的方法，而不是写出证明。有三个策略做了大部分的事：从目标倒推、先解一个更简单的版本，以及从特例走向通则。假设你想求 n 边形的对角线数量。数几个小情形：四边形有 2 条，五边形有 5 条，六边形有 9 条。每个顶点用对角线连到其他 n − 3 个顶点，而每条对角线有两个端点，这提示答案是 $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$n(n − 3)/2。小情形有帮助，因为可以用手检查，而且能显示一般论证必须解释的规律。不过规律不是证明：是计数论证证明了公式，不是那张表。倒推改变了书写的顺序：你从目标找出步骤，再从前提顺着写出证明。用一个数过的情形检验公式：对六边形，6 × 3 ÷ 2 = 9。

从目标倒推，是从结论开始，问什么能产生它，再问什么能产生那个，直到所需的条件是已经知道的事。

先解一个更简单的问题，是把问题缩小到可以用手算，小情形就会显示规则。

从特例走到所有情形，需要一个一般性的论证。依序加奇数得到 1、4、9、16，在有论证涵盖每个 n 之前，这都只是一个猜想。还要检查特例用到的东西，是不是一般情形也有。一个悄悄假设有直角或正数的证明，证明的是比它宣称的更窄的定理。

找出论证的破绽是反方向的技能。在那些经典的 1 = 2 的证明里，错误的结论代表有一步没有根据，而它通常是在 a = b 时除以 a − b，也就是除以 0。

详见 从目标往回推、先解决一个更简单的问题、从特殊情形到一般情形和找出论证中的漏洞。

值得点名的错误

• 证明了逆命题。检查你假设的是哪个命题、得到的又是哪一个。
• 假设了要证明的东西。从结论出发什么也证明不了，除非每一步都可以反过来。
• 否定量词时没有互换它。“全都是”的否定是“至少有一个不是”，绝不是“没有一个是”。
• 把例子当成证明。费马猜想 $2^{2^n}+1$2^(2^n) + 1 永远是质数，在 n = 5 时就不成立。
• 情形没有涵盖全部。穷举证法的好坏，取决于是否检查过这些情形是完整的。
• 在开平方或取绝对值时漏掉一种情形。$x^2=9$x² = 9 有两个解，3 和 −3。把不等式除以负数，不等号要反过来。

接下来往哪里走

直线、角与毕氏定理指南中的几何证明是带图的直接证法，全等、圆定理与变换指南中的圆定理则是一连串这样的证明。归纳法随着它所证明的数列与级数一起展开。鸽笼原理和双射在集合与计数指南中会再度用到。