比、速率与比例

更新 2026年9月25日

比是这样一个话题：算术很简单，读题却很难。几乎没有人会把 360 ÷ 9 算错；但很多人会在比是 4:5 的时候去除以 4，因为他们拿一部分去比另一部分，而题目问的其实是部分与整体的比较。

“比”是拿两部分互相比较。“分数”是拿一部分和整体比较。“速率”是比较两个不同单位的量。把这三个概念分清楚，剩下的就只是乘法了。

什么是比？

比比较的是两个或更多部分的大小。比介绍了冒号记法：红 : 蓝 = 2 : 3 表示每 3 颗蓝色棋子就有 2 颗红色棋子。顺序很重要，所以蓝 : 红是 3 : 2。部分与整体的比补上了关键的一步：把各部分加起来求出整体。这里 2 + 3 = 5，所以红色占全部棋子的 $\frac{2}{5}$2/5 ，而不是 $\frac{2}{3}$2/3。如果一个袋子里按这个比装了 20 颗棋子，一份就是 20 ÷ 5 = 4 颗，所以红色有 2 × 4 = 8 颗，蓝色有 3 × 4 = 12 颗。这是因为 20 颗棋子刚好分成 4 组 5 颗，每组 2 红 3 蓝。比的各部分同乘或同除以一个数，比值不变，所以 8 : 12 化简回 2 : 3。把两份加起来可以检验：8 + 12 = 20，正是整袋棋子的数量。

化简比的做法跟约分一样——把每一份都除以它们的公因数，所以 12 : 18 变成 2 : 3——这个办法用到 三项比上也一样不变。比、分数、百分数补全了这张换算表：2 : 3 是整体的 $\frac{2}{5}$2/5，也就是 40%。

按比分配一个数量

先加起来，再除，然后乘出去。把 360 按 4 : $5\to 9$5 → 9 份 $\to$→ 一份是 $40\to$40 → 两份分别是 160 和 200。检验的办法是两份加回去等于原数。

比的线段图是一种让人很难出错的画法：把九个相等的方块分成两组，问题就变得一目了然。它比看上去有用得多——这一页上最刁钻的题目，画出线段图照样能解出来。

合并两个比处理的是有共同中间项的情况。如果 A : B = 2 : 3，B : C = 4 : 5，两个 B 对不上，就把每个比都缩放，直到它们一致：A : B = 8 : 12，B : C = 12 : 15，合起来 A : B : C = 8 : 12 : 15。

归一法是贯穿这一切的通用工具：先求出一个单位，再乘出去。7 本笔记本要 21 元，一本就是 3 元，12 本就是 36 元。它从来不是最快的方法，但也从不出错，所以遇到故意绕人的题目，就该用它。比例系数是同一个想法换了个名字，叫做乘数——把一个量变成它对应量的那个数。

什么是速率？

速率比较的是用不同单位测量的两个量，比如千米和小时，所以它的值带着两个单位。速率介绍了这个概念，速率、总量、单位数把三个数联系起来：速率 × 单位数 = 总量，知道其中两个就能求出第三个。一辆车 3 小时行驶 150 千米，速率就是 150 ÷ 3 = 50 千米/小时。按这个速率，5 小时能开 50 × 5 = 250 千米，行驶 400 千米要 400 ÷ 50 = 8 小时。这是因为稳定的速率每个单位增加的量都一样。相乘之前单位必须一致。用分钟表示的时间要先换成小时：30 分钟是 $\frac{1}{2}$1/2 小时，所以车走了 $50\times \frac{1}{2}=25$50 × 1/2 = 25 千米。单位可以检验做法：千米每小时乘以小时剩下千米，正是答案该有的单位。

比较单位速率是一项实用技能——750 克一盒卖 3.60 元，和 1.2 千克一盒卖 5.40 元相比，换算成每 100 克就是 0.48 元对 0.45 元——超市货架标签上写的正是这个。汇率用的是同样的算法，只是要多留意速率指向哪个方向，这才是真正容易出错的地方。

速度、密度与压强

速度是单位时间走过的距离，这是每个人凭直觉就懂的速率。平均速度是直觉失灵的地方：它是总距离除以总时间，而不是把几个速度取平均。去程 60、回程 30，走的是同一条路，平均下来是 40，不是 45，因为较慢的那一段花的时间是另一段的两倍，所占的分量也就两倍重。

密度（质量除以体积）和压强（力除以面积）是同一个三角形换了标签，这正是把它们放在一起教的用意——一种关系，三个科目。

复合单位换算是物理和数学里都常被跳过的一步。要把分子和分母分开换算：72 km/$h\to 72$h → 72,$000\frac{m}{h}\to 72$000 m/h → 72,000 ÷ 3,$600=20\frac{m}{s}$600 = 20 m/s。两个一起处理，正是出错的地方。

正比和反比

正比中，一个量翻倍，另一个量也跟着翻倍，比值不变。反比中，一个量翻倍，另一个量就减半，乘积不变。

正比是 y = kx，一条过原点的直线。反比是 xy = k：4 个油漆工用 6 天完成的工作，8 个油漆工用 3 天就能完成，因为总工作量——24 个“工人·天”——是不变的。

比例常数就是数字 k 本身，把它写出来，才能把一道比例题变成一个可以求解的方程，而不是一个要靠眼力去发现的规律。按单位值求比例就是把归一法用在这里，一步一步来。

地图比例尺是常数固定的正比，这个记法值得说清楚：1 : 50,000 表示地图上 1 厘米，对应地面上 50,000 厘米——也就是半千米。

比的前后变化问题

方法总是一样的：先找出没有变化的量，再把两个比同时缩放，让这个不变的量在两边写成相同的份数。

改写比来匹配份数教的就是这个缩放动作本身。接下来有三种基本情形，几乎覆盖了这类题目的所有考法：

• 部分不变的比——一个量不动，另一个量在变，所以要让这一部分的数字在两个比里相等。
• 总量不变的比——东西在两组之间转移，但没有进出，所以总量必须相等。
• 差值不变的比——两个量各自增加同样多，就像年龄一样，所以它们之间的差才是不变量。

比的前后变化问题把它们综合到了一起。两人按 5 : 3 分钱。其中一人给出 12 后，两人相等。一开始 2 份的差是 12，而这 12 全部从较大的一份移出，没有进到别处，所以一份是 6，原来两份是 30 和 18。

面积和体积的缩放

面积的缩放是一个让人吃惊两次的结果。把每条长度都放大 3 倍，面积就变成 $3^2=9$3² = 9，因为长和宽都变成了 3 倍。体积则按立方来算。

这就是为什么比例尺 1 : 50,000 的地图，面积比例是 1 : 2,500,000,000，也是为什么把蛋糕烤盘的宽度翻倍，需要的面糊是原来的 4 倍，而不是 2 倍。

应用题里怎么分辨正比和反比？

问自己：第一个量翻倍时，第二个量会怎样？如果也翻倍，就是正比；如果减半，就是反比。3 支笔要 6 元，6 支笔要 12 元：笔的数量翻倍，价钱也翻倍，这是正比。4 个工人粉刷一道篱笆要 6 天，8 个工人要 3 天：工人翻倍，时间减半，这是反比。这个判断之所以有效，是因为正比关系保持商不变，反比关系保持积不变。在买笔的例子里，6 ÷ 3 = 12 ÷ 6 = 2，就是一支笔的价钱。在粉刷篱笆的例子里，4 × 6 = 8 × 3 = 24，就是总的“工人·天”数。要留意固定收费的情况：一辆出租车起步 5 元，每千米再加 2 元，10 千米要 25 元，20 千米要 45 元，距离翻倍并没有让费用翻倍，这种关系两者都不是。

如果题目给出的数据里，商和积都不是常数，那这个关系根本就不是比例关系，无论怎么缩放都不会变得规规矩矩。

值得点名的四个错误

• 拿一份去除，而不是拿总数去除。按 4 : 5 分配，要除以的是 9。每次都先把总数写下来。
• 把两个速度直接取平均。应该是总距离除以总时间。较慢的那一段花的时间更长，所以占的分量更重。
• 只换算复合单位的一半。km/h 换算成 $\frac{m}{s}$m/s 需要分子和分母都换算。
• 用长度的缩放倍数去缩放面积。长度按 k 倍缩放，面积按 $k^2$k²缩放，体积按 $k^3$k³縮放。

接下来学什么

比其实就是用分数来比较部分，而不是描述部分，所以等值分数和带分数指南（英文）是它下面的底层话题，而百分数指南（英文）则是把总量固定成一百的比。给比例常数命名，是迈入代数记法指南（英文）的第一步，而那条过原点的直线，正是方程指南（英文）接手的地方。

在游戏里练习

Math Challenge 把上面每一步都教成一节配图的课程——画出线段图，标出前后不变的量，复合单位的换算分成两个看得见的步骤——全部收在一套 800 多节课程的目录里。